1[2025黑龙江哈尔滨期末,中]如图,线段AB的长为20 cm,O是线段AB的中点,P,Q是线段AB上的动点,点P沿A→B→A以4 cm/s的速度向终点A运动,点Q沿B→A以2 cm/s的速度向终点A运动.若P,Q两点同时出发,则当OP=OQ时,运动时间为 ()

A.0 s、10 s或$\frac{5}{3}$ s
B.0 s、5 s或$\frac{10}{3}$ s
C.0 s、$\frac{10}{3}$ s、$\frac{20}{3}$ s或10 s
D.0 s、5 s、$\frac{5}{3}$ s或$\frac{10}{3}$ s

因为线段AB的长为20 cm,O是线段AB的中点,所以$AO=\frac{1}{2}AB=10$ cm.设运动时间为t s,则BQ=2t cm,所以AQ=AB-BQ=(20-2t) cm,所以OQ=|AQ-AO|=|20-2t-10|=|10-2t| cm.分两种情况讨论:①当点P沿A→B运动时,点P到达点B需要的时间为20÷4=5(s),当0≤t≤5时,AP=4t cm,所以OP=|AO-AP|=|10-4t| cm.因为OP=OQ,所以|10-4t|=|10-2t|,所以10-4t=10-2t或10-4t=2t-10,解得t=0或$t=\frac{10}{3}$.②当点P沿B→A运动时,易得5＜t≤10,BP=(4t-20) cm,所以AP=AB-BP=20-(4t-20)=(40-4t) cm,所以OP=|AP-AO|=|40-4t-10|=|30-4t| cm.因为OP=OQ,所以|30-4t|=|10-2t|,所以30-4t=10-2t或30-4t=2t-10,解得t=10或$t=\frac{20}{3}$.综上所述,当OP=OQ时,运动时间为0 s、$\frac{10}{3}$ s、$\frac{20}{3}$ s或10 s.故选C.
关键点拨
分两种情况讨论:①当点P沿A→B运动时;②当点P沿B→A运动时.

2[2025重庆沙坪坝区质检,中]已知点C在线段AB上,且$AC=2BC$,线段DE在线段AB上运动(点D,E不与点A,B重合,且点D在点E的左侧),$AB=15$,$DE=6$.
(1)当点E为BC的三等分点时,求线段AD的长;
(2)点F(不与点A,B,C重合)在线段AB上,且$AF=3AD$,$CF=3$,求线段AE的长.

(1)因为AC=2BC,AB=15,所以$AC=\frac{2}{3}×15=10$,$BC=\frac{1}{3}×15=5$.当点E靠近点C时,如图(1)所示.

因为点E为BC的三等分点,所以$CE=\frac{1}{3}CB=\frac{5}{3}$,所以$DC=DE-CE=6-\frac{5}{3}=\frac{13}{3}$,所以$AD=AC-DC=10-\frac{13}{3}=\frac{17}{3}$.当点E靠近点B时,如图(2)所示.

因为点E为BC的三等分点,所以$CE=\frac{2}{3}CB=\frac{10}{3}$,所以$DC=6-\frac{10}{3}=\frac{8}{3}$,所以$AD=AC-DC=10-\frac{8}{3}=\frac{22}{3}$.综上,线段AD的长为$\frac{17}{3}$或$\frac{22}{3}$.
(2)分两种情况:①如图(3),当点F在点C右侧时,

因为AC=10,CF=3,所以AF=AC+CF=10+3=13.因为AF=3AD,所以$AD=\frac{1}{3}AF=\frac{13}{3}$.因为DE=6,所以$AE=AD+DE=\frac{13}{3}+6=\frac{31}{3}$.
②如图(4),当点F在点C左侧时,

因为AC=10,CF=3,所以AF=AC-CF=10-3=7.因为AF=3AD,所以$AD=\frac{1}{3}AF=\frac{7}{3}$,所以$AE=AD+DE=\frac{7}{3}+6=\frac{25}{3}$.
综上所述,AE的长为$\frac{31}{3}$或$\frac{25}{3}$.
思路分析
(1)由已知AC = 2BC,AB = 15,求出AC=10,BC=5. 根据点E为BC的三等分点,分情况作图并分类讨论,即可作答.
(2)根据题意,分两种情况讨论:①当点F在点C左侧时,②当点F在点C的右侧时,利用线段的和差倍分计算即可.

3[2025福建福州期末,中]如图,线段AB的长为24,动点P从点A出发,以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动,M为AP的中点,设点P的运动时间为x秒.
(1)当x=5时,求BM的长.
(2)当P在线段AB上运动时,2BM-PB是定值吗?如果是,请求出该定值;如果不是,请说明理由.
(3)当P在射线AB上运动时,N为BP的中点,求MN的长.


放马过来鸭

(1)当x=5时,AP=2×5=10.因为M为AP的中点,所以$AM=\frac{1}{2}AP=5$,所以BM=AB-AM=19,所以BM的长为19.
(2)当P在线段AB上运动时,2BM-PB是定值.由题意知,$AM=\frac{1}{2}AP$,BM=AB-AM,所以2BM-PB=2(AB-AM)-(AB-AP)=2AB-AP-AB+AP=AB=24,所以2BM-PB是定值,定值为24.
(3)当P在线段AB上运动时,如图(1).

由题意知,$PN=\frac{1}{2}BP$,$MP=\frac{1}{2}AP$,所以$MN=MP+NP=\frac{1}{2}(AP+BP)=\frac{1}{2}AB=12$.
当P在线段AB的延长线上运动时,如图(2).

由题意知,$PN=\frac{1}{2}BP$,$MP=\frac{1}{2}AP$,所以$MN=MP-NP=\frac{1}{2}(AP-BP)=\frac{1}{2}AB=12$.
综上,MN的长为12.