11（2026·盐城射阳期中）如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5 cm，瓶内液体已经过半，最大深度$CD=7$ cm，则截面圆中弦$AB$的长为（）。

A.4 cm
B.$4\sqrt{6}$ cm
C.$2\sqrt{21}$ cm
D.$2\sqrt{29}$ cm

11. C

12(2025·苏州期中)如图，$\odot O$的直径$CD=10\ \mathrm{cm}$，$AB$是$\odot O$的弦，$AB⊥ CD$，垂足为$M$，$OM:OC=3:5$，则$AB=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$

12. 8

13(2025·徐州期中)如图，$OA=OB$，$AB$交$\odot O$于点$C,D$，$OE$是半径，且$OE⊥ AB$于点$F$。
(1)求证:$AC=BD$；
(2)若$CD=6$，$EF=1$，求$\odot O$的半径。

13. (1) $\because OE ⊥ AB$,CD 为$\odot O$ 的弦,$\therefore CF=DF$.
$\because OA=OB,OE ⊥ AB, \therefore AF=BF$,
$\therefore AF-CF=BF-DF, \therefore AC=BD$.
(2) 如图,连接 OC,
$\because OE ⊥ AB$,CD 为$\odot O$ 的弦,
$\therefore CF=\frac{1}{2}CD=3$,
$∠ OFC=90°$,
$\therefore CO^2=CF^2+OF^2$.
设$\odot O$ 的半径是 r,
$\therefore r^2=3^2+(r-1)^2$,解得 $r=5$,
$\therefore \odot O$ 的半径是 5.

14(2025·连云港外国语学校月考)如图(2)是根据图(1)中的石拱桥的实物图画出的几何图形,桥的主桥拱是圆弧形,设$\overset{\frown}{AB}$所在圆的圆心为O,拱顶为点C,$OC⊥ AB$交AB于点D,连接OB.当桥下水面宽$AB=8\ \mathrm{m}$时,$CD=2\ \mathrm{m}$.
(1)求这座石拱桥主桥拱的半径.
(2)有一条宽为7 m,高出水面1 m的矩形渔船,请你判断一下,此渔船能否顺利通过这座拱桥?并说明理由.

14. (1) $\because OC ⊥ AB,AB=8\ \mathrm{m}$
$\therefore AD=BD=4\ \mathrm{m},∠ ODB=90°$.
设主桥拱半径为 R,则 $OB=OC=R$,
$\therefore OD=OC-CD=R-2$.
在$\mathrm{Rt}△ OBD$ 中,由勾股定理,得 $OD^2+BD^2=OB^2$,
$\therefore (R-2)^2+4^2=R^2$,解得 $R=5$.
故这座石拱桥主桥拱的半径为 5 m.
(2)此渔船不能顺利通过这座拱桥,理由如下:
设 CD 的中点为 E,过点 E 作 CD 的垂线交$\overset{\frown}{AB}$ 于 M,N,连接 ON.
$\because CD=2\ \mathrm{m},\therefore CE=DE=1\ \mathrm{m}$,
由(1)可知 $OC=5\ \mathrm{m},\therefore OE=OC-CE=4\ \mathrm{m}$,
在$\mathrm{Rt}△ OEN$ 中,由勾股定理,得 $EN=\sqrt{ON^2-OE^2}=3$,
$\therefore MN=2EN=6＜7$,$\therefore$ 此渔船不能顺利通过这座桥.
归纳总结 本题主要考查了垂径定理,勾股定理,熟练掌握垂径定理,灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键.

15 垂径定理模型(2026·无锡东林中学期中改编)小明和小丽在一次综合实践活动中,尝试用一张矩形纸条测量马克杯杯口的直径.他们的方法是:将纸条拉直并紧贴杯口,纸条的上下边沿分别与杯口相交于A,B,C,D四点.小丽利用刻度尺测量纸条的宽7 cm,AB=8 cm,CD=6 cm,请你根据上述数据计算杯子的直径.

15. 设圆心为点 O,连接 CO,BO,过圆心作 $EF ⊥ AB$,如图.
$\because EF=7\ \mathrm{cm},AB=8\ \mathrm{cm},CD=6\ \mathrm{cm}$,
$\therefore CF=DF=\frac{1}{2}CD=3\ \mathrm{cm},AE=BE=\frac{1}{2}AB=4\ \mathrm{cm}$.
设 $OF=a$,那么 $OE=7-a$.
$\because EF ⊥ AB,AB // CD$,
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ OFC$ 与$\mathrm{Rt}△ OEB$ 中,$OB^2=OC^2$,
$\therefore a^2+3^2=(7-a)^2+4^2$,
解得 $a=4,\therefore OC=5,\therefore$ 杯子的直径为 $2OC=10\ \mathrm{cm}$.