1 下列说法正确的有().

A.经过圆心的线段是直径
B.直径是同一个圆中最长的弦
C.长度相等的两条弧是等弧
D.弧分为优弧和劣弧

1.B

2（2026·镇江京口区期中）游乐场里有诸多有趣的项目，大摆锤便是其中之一.如图，大摆锤OB以O为圆心前后摆动，大摆锤底端前后摆动1次的运动轨迹可以看作$\overset{\frown}{AC}$，连接AC，交OB于点D，已知OB⊥AC，且点B为AC的中点，AC=16 m，BD=4 m，则大摆锤的长度为（）.
（第2题）

A.8 m
B.12 m
C.10 m
D.9 m

2.C

3 新情境 打造泥水平衡盾构机 根据江心洲地质水文条件量身打造的“新时代号”泥水平衡盾构机，是目前世界上最先进的盾构设备之一，被誉为“国之重器”。如图(1)，盾构机核心部件——刀盘的形状是一个圆形。如图(2)，当机器暂停时，刀盘露在地上部分的跨度 $ AB = 12 \, \mathrm{m} $，拱高(弧的中点到弦的距离 $ CD $) $ 3 \, \mathrm{m} $，求盾构机刀盘的半径。

3. 如图，设 $OA=OC=r \, \mathrm{m}$.
$\because OC⊥ AB$，
$\therefore AD=DB=\frac{1}{2}AB=6 \, \mathrm{m}.$
$\because OA^2=AD^2+OD^2,$
$\therefore r^2=6^2+(r-3)^2,\therefore r=7.5.$
故盾构机刀盘的半径为 $7.5 \, \mathrm{m}.$

4（湖北襄阳四中自主招生改编）如图，在半径为10的$\odot O$中，$∠ AOB=90°$，C为OB的中点，AC的延长线交$\odot O$于点D，求线段CD的长。

4. 如图，过点 $O$ 作 $OH⊥ AD$ 于点 $H$，
$\therefore AH=DH=\frac{1}{2}AD.$
$\because C$ 为 $OB$ 的中点，
$\therefore OC=\frac{1}{2}OB=5.$
$\because ∠ AOB=90°,$
$\therefore AC=\sqrt{OA^2+OC^2}=\sqrt{10^2+5^2}=5\sqrt{5}.$
$\because S_{△ AOC}=\frac{1}{2}OA· OC=\frac{1}{2}AC· OH,$
$\therefore 10×5=5\sqrt{5}OH,$
$\therefore OH=2\sqrt{5},$
$\therefore AH=\sqrt{OA^2-OH^2}=\sqrt{10^2-(2\sqrt{5})^2}=4\sqrt{5},$
$\therefore AD=2AH=8\sqrt{5},\therefore CD=AD-AC=8\sqrt{5}-5\sqrt{5}=3\sqrt{5}.$

5（2026·浙江杭州西湖区期中）如图，AB是$\odot O$的直径，CD是$\odot O$的弦，$AB ⊥ CD$于点E，$OE=DE=2$，点F是$\odot O$上一动点，连接CF，DF，G是DF的中点，连接EG，当线段EG取得最大值时，点G到弦CD的距离是（）。

A.$\frac{5}{2}$
B.$2$
C.$\sqrt{2}$
D.$1+\sqrt{2}$

5.B
[解析]$\because CD$ 是$\odot O$的弦,$AB⊥ CD$ 于点 $E$,$\therefore CE=DE.$
$\because$ 点 $G$ 是 $DF$ 的中点，
$\therefore EG=\frac{1}{2}CF,EG// CF.$
当 $CF$ 为直径时,$EG$ 取最大值，
如图,此时,$OE=CE=2,∠ CDF=90°,$
$\therefore ∠ OCE=∠ COE=45°,$
$\therefore ∠ DEG=∠ OCE=45°,$
$\therefore GD=DE=2,$
$\therefore$ 当线段 $EG$ 取得最大值时,点 $G$ 到弦 $CD$ 的距离是 2. 故选 B.
归纳总结 本题考查了垂径定理、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质、直径为圆的最长弦,关键是确定 $EG$ 取最大值时 $CF$ 的位置.

6 △ABC 内接于半径为5的⊙O，且BC边长是6，则△ABC的面积最大值是。

6.27

7 如图,在平面直角坐标系中,已知点A(1,0),B(1−a,0),C(1+a,0)(a＞0),点P在以D(4,4)为圆心,1为半径的圆上运动,且始终满足∠BPC=90°,则a的最大值是.

7.6
[解析]如图,连接 $AP.$
$\because A(1,0),B(1-a,0),C(1+a,0)(a＞0),$
$\therefore AB=1-(1-a)=a,CA=a+1-1=a,\therefore AB=AC.$
$\because ∠ BPC=90°,\therefore PA=AB=AC=a.$
连接 $AD$ 并延长交$\odot D$于点 $P'$,此时 $AP'$ 最长，
$\because A(1,0),D(4,4),\therefore AD=\sqrt{(4-1)^2+4^2}=5,$
$\therefore AP'=5+1=6.$ 故 $a$ 的最大值为 6.

8 如图，$\odot O$在$△ ABC$三边上截得的弦长相等，即$DE=FG=MN$，$∠ A=50°$，则$∠ BOC$为().

A.$100°$
B.$110°$
C.$115°$
D.$120°$

8.C