1. 如图,点$A,D,C,F$在同一条直线上,$AD=CF$,
$AB=DE,BC=EF$.
(1)求证:$△ ABC≌△ DEF$;
(2)若$∠ A=55°,∠ B=88°$,求$∠ F$的度数.

(1)【证明】$\because AD=CF$,
$\therefore AD+DC=CF+DC$,即$AC=DF$.
在$△ ABC$和$△ DEF$中,$\begin{cases} AB=DE, \\ BC=EF, \\ AC=DF, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ DEF(\mathrm{SSS})$.
(2)【解】在$△ ABC$中,$\because ∠ A=55°,∠ B=88°$,
$\therefore ∠ ACB=180°-55°-88°=37°$.
$\because △ ABC≌△ DEF,\therefore ∠ F=∠ ACB=37°$.

【分析】
(1) 要证明△ABC≌△DEF，已知AB=DE、BC=EF，还缺少一组对应边相等的条件。已知AD=CF，且A、D、C、F在同一直线上，给AD和CF同时加上公共线段DC，即可得到AC=DF，满足三边对应相等的SSS全等判定条件，即可完成证明。
(2) 要求∠F的度数，根据全等三角形对应角相等的性质，可知∠F和△ABC中的∠ACB相等，因此先利用三角形内角和为180°，在△ABC中用180°减去已知的∠A和∠B的度数，算出∠ACB的度数，即可得到∠F的度数。
【解析】
(1) 证明：
$\because AD=CF$，
$\therefore AD+DC=CF+DC$，即$AC=DF$。
在$△ ABC$和$△ DEF$中，
$\begin{cases}AB=DE, \\BC=EF, \\AC=DF,\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ DEF(\mathrm{SSS})$。
(2) 解：
在$△ ABC$中，根据三角形内角和为$180°$，
$∠ ACB=180°-∠ A-∠ B=180°-55°-88°=37°$。
由(1)得$△ ABC≌△ DEF$，根据全等三角形对应角相等，
$\therefore ∠ F=∠ ACB=37°$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\boldsymbol{37°}$
【知识点】
全等三角形SSS判定，三角形内角和定理，全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形的基础应用题，解题的核心是先通过线段和的关系得到全等判定所需的对应边，再结合三角形内角和与全等的性质求解角度，能有效巩固全等三角形判定、性质的基础运用。
【难度系数】
0.85

2. 如图①,已知在$△ AOC$中,$∠ AOC=90°$,$CD$平分$∠ ACO$交$AO$于点$D$,$B$是$CO$延长线上一点,连接$BD$并延长交$AC$于点$E$,且$∠ CAO=∠ CBD$.
(1)求证:$AC=BC$;
(2)求证:$DO=DE$;
(3)如图②,若点$F$在$CE$上,点$G$在$OC$上,且满足$∠ GDF=\frac{1}{2}∠ EDO$,试判断$EF$,$FG$,$OG$的数量关系,并证明你的结论.

(1)【证明】$\because CD$平分$∠ ACO,\therefore ∠ BCD=∠ ACD$.
在$△ CBD$和$△ CAD$中,$\begin{cases} ∠ CBD=∠ CAD, \\ ∠ BCD=∠ ACD, \\ CD=CD, \end{cases}$
$\therefore △ CBD≌△ CAD(\mathrm{AAS}),\therefore AC=BC$.
(2)【证明】$\because △ CBD≌△ CAD,\therefore BD=AD$.
在$△ ADE$和$△ BDO$中,$\begin{cases} ∠ ADE=∠ BDO, \\ AD=BD, \\ ∠ A=∠ B, \end{cases}$
$\therefore △ ADE≌△ BDO(\mathrm{ASA})$,
$\therefore DO=DE$.
(3)【解】$FG=EF+OG$,证明如下:在$OB$上截取$OH=EF$,连接$DH$,如图所示.
$\because △ ADE≌△ BDO,\therefore ∠ AED=∠ BOD.\because ∠ AOC=90°,\therefore ∠ BOD=90°,\therefore ∠ BOD=∠ AED=90°$,
$\therefore ∠ DOH=∠ DEF=90°$.
在$△ DOH$和$△ DEF$中,
$\begin{cases} OD=ED, \\ ∠ DOH=∠ DEF, \\ OH=EF, \end{cases}$ $\therefore △ DOH ≌ △ DEF (\mathrm{SAS})$,
$\therefore ∠ ODH=∠ EDF,DH=DF.\because ∠ GDF=\frac{1}{2}∠ EDO$,
$\therefore ∠ ODH+∠ ODG=∠ EDF+∠ ODG=\frac{1}{2}∠ EDO$,
$\therefore ∠ HDG = ∠ GDF, \therefore$ 在 $△ HDG$ 和 $△ FDG$ 中,
$\begin{cases} DH=DF, \\ ∠ HDG=∠ FDG, \\ DG=DG, \end{cases}$,$\therefore △ HDG≌△ FDG(\mathrm{SAS}),\therefore HG=FG.\because HG=OG+OH,\therefore FG=OG+OH,\therefore FG=EF+OG$.

【分析】
(1) 要证明$AC=BC$，可通过证明两条边所在的$△ CBD$和$△ CAD$全等来推导。已知CD平分$∠ ACO$可得$∠ BCD=∠ ACD$，题目给出$∠ CAO=∠ CBD$，再加上公共边$CD$，满足AAS全等的判定条件，即可证全等得到对应边相等。
(2) 要证明$DO=DE$，可先利用(1)中全等结论得到$BD=AD$，结合对顶角$∠ ADE=∠ BDO$、已知的$∠ CAO=∠ CBD$，用ASA判定$△ ADE≌△ BDO$，即可得到对应边$DO=DE$。
(3) 探究三条线段的数量关系，通常采用截长补短法构造全等三角形。本题可在$OB$上截取$OH=EF$，先证明$△ DOH$和$△ DEF$全等，得到对应角、边相等，再结合$∠ GDF=\frac{1}{2}∠ EDO$的条件，推导得出$∠ HDG=∠ GDF$，进而证明$△ HDG≌△ FDG$，最后通过线段等量代换即可得到三者的数量关系。
【解析】
(1) 证明：$\because CD$平分$∠ ACO$，$\therefore ∠ BCD=∠ ACD$。
在$△ CBD$和$△ CAD$中，
$\begin{cases} ∠ CBD=∠ CAD, \\ ∠ BCD=∠ ACD, \\ CD=CD, \end{cases}$
$\therefore △ CBD≌△ CAD(\mathrm{AAS})$，$\therefore AC=BC$。
(2) 证明：$\because △ CBD≌△ CAD$，$\therefore BD=AD$。
在$△ ADE$和$△ BDO$中，
$\begin{cases} ∠ ADE=∠ BDO, \\ AD=BD, \\ ∠ DAE=∠ DBO, \end{cases}$
$\therefore △ ADE≌△ BDO(\mathrm{ASA})$，
$\therefore DO=DE$。
(3) 解：$FG=EF+OG$，证明如下：
在$OB$上截取$OH=EF$，连接$DH$，如图所示。
$\because △ ADE≌△ BDO$，$\therefore ∠ AED=∠ BOD$。
$\because ∠ AOC=90°$，$\therefore ∠ BOD=90°$，$\therefore ∠ BOD=∠ AED=90°$，即$∠ DOH=∠ DEF=90°$。
在$△ DOH$和$△ DEF$中，
$\begin{cases} OD=ED, \\ ∠ DOH=∠ DEF, \\ OH=EF, \end{cases}$
$\therefore △ DOH ≌ △ DEF (\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ ODH=∠ EDF$，$DH=DF$。
$\because ∠ GDF=\frac{1}{2}∠ EDO$，
$\therefore ∠ ODH+∠ ODG=∠ EDF+∠ ODG=\frac{1}{2}∠ EDO$，即$∠ HDG = ∠ GDF$。
在$△ HDG$和$△ FDG$中，
$\begin{cases} DH=DF, \\ ∠ HDG=∠ FDG, \\ DG=DG, \end{cases}$
$\therefore △ HDG≌△ FDG(\mathrm{SAS})$，$\therefore HG=FG$。
$\because HG=OG+OH$，且$OH=EF$，
$\therefore FG=EF+OG$。
【答案】
(1) $AC=BC$，得证；
(2) $DO=DE$，得证；
(3) $FG=EF+OG$，辅助线如图：
【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，截长补短法
【点评】
本题是全等三角形的综合应用题，前两问是基础的全等证明，直接利用已知条件结合全等判定定理即可求证；第三问为线段和差类问题，需要通过截长补短构造全等三角形实现线段的等量代换，对辅助线的构造能力有一定要求，能有效考查全等相关知识的掌握程度。
【难度系数】
0.6