3. 如图，A,F,C,D四个点在同一直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，AC=DF，AB=DE。
求证：BF//CE。

【证明】在$\mathrm{Rt}△ ABC$与$\mathrm{Rt}△ DEF$中,$\begin{cases} AC=DF, \\ AB=DE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ DEF(\mathrm{HL}),\therefore ∠ A=∠ D$.
$\because AC=DF,\therefore AC-FC=DF-FC$,即$AF=DC$.
在$△ ABF$与$△ DEC$中,$\begin{cases} AF=DC, \\ ∠ A=∠ D, \\ AB=DE, \end{cases}$
$\therefore △ ABF≌△ DEC(\mathrm{SAS}),\therefore ∠ AFB=∠ DCE$,
$\therefore ∠ BFC=∠ ECF,\therefore BF// CE$.

【分析】
要证$BF// CE$，根据平行线的判定定理，只需证明$BF$、$CE$被直线$AD$所截形成的内错角$∠ BFC=∠ ECF$即可。由于$∠ BFC$是$∠ AFB$的补角、$∠ ECF$是$∠ DCE$的补角，因此只需证明$∠ AFB=∠ DCE$，即证明$△ AFB≌△ DCE$。要证这组三角形全等，已知$AB=DE$，还需得到$∠ A=∠ D$和$AF=DC$：首先利用已知的直角、$AC=DF$、$AB=DE$，通过HL判定$\mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ DEF$，即可得到$∠ A=∠ D$；再结合$AC=DF$，两边同时减去公共线段$FC$就能得到$AF=DC$，满足SAS判定全等的条件，得到对应角相等后即可推出平行。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$与$\mathrm{Rt}△ DEF$中,$\begin{cases} AC=DF, \\ AB=DE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ DEF(\mathrm{HL}),\therefore ∠ A=∠ D$.
$\because AC=DF,\therefore AC-FC=DF-FC$,即$AF=DC$.
在$△ ABF$与$△ DEC$中,$\begin{cases} AF=DC, \\ ∠ A=∠ D, \\ AB=DE, \end{cases}$
$\therefore △ ABF≌△ DEC(\mathrm{SAS}),\therefore ∠ AFB=∠ DCE$,
$\therefore ∠ BFC=∠ ECF,\therefore BF// CE$.
【答案】

【知识点】
HL判定三角形全等，SAS判定三角形全等，平行线的判定
【点评】
本题是全等三角形性质与判定、平行线判定的综合题，可采用“由结论倒推所需条件，结合已知正向推导”的思路解题，能够帮助学生巩固几何证明的逻辑推导能力。
【难度系数】
0.65

4. 如图，$∠ BAE=∠ CAF=90°$，$EC$，$BF$相交于点$M$，$AE=AB$，$AC=AF$.
(1)求证：$EC=BF$，$EC⊥ BF$.
(2)若$∠ BAE=∠ CAF=m°(m≠90)$，其他条件不变，则(1)中的结论还成立吗？请说明理由.

(1)【证明】$\because ∠ BAE=∠ CAF=90°,\therefore ∠ CAE=∠ BAF$.
在$△ CAE$和$△ FAB$中,$\begin{cases} AE=AB, \\ ∠ EAC=∠ BAF, \\ AC=AF, \end{cases}$
$\therefore △ CAE≌△ FAB(\mathrm{SAS}),\therefore EC=BF$.
设$AC$与$BF$交于点$O$,
$\because △ CAE≌△ FAB,\therefore ∠ AFO=∠ OCM$.
又$\because ∠ AOF=∠ COM,∠ CAF=90°$,
$\therefore ∠ OMC=∠ CAF=90°,\therefore EC⊥ BF$.
(2)【解】(1)中的结论$EC=BF$成立,结论$EC⊥ BF$不成立.理由如下:
$\because ∠ BAE=∠ CAF=m°,\therefore ∠ EAC=∠ BAF$.
在$△ CAE$和$△ FAB$中,$\begin{cases} AE=AB, \\ ∠ EAC=∠ BAF, \\ AC=AF, \end{cases}$
$\therefore △ CAE≌△ FAB(\mathrm{SAS}),\therefore EC=BF.\therefore$ 结论$EC=BF$成立.
设$AC$与$BF$交于点$N$,由$△ CAE≌△ FAB$,得$∠ AFN=∠ MCN$,
又$\because ∠ ANF=∠ CNM,∠ CAF = m°, \therefore ∠ CMN=∠ CAF=m°$.
$\because m≠90,\therefore$ 结论$EC⊥ BF$不成立.

【分析】
(1) 要证$EC=BF$，可证$EC$和$BF$所在的$△ CAE$与$△ FAB$全等：已知$AE=AB$、$AC=AF$，只需证夹角$∠ CAE=∠ BAF$，由$∠ BAE=∠ CAF=90°$，两个角同时加公共角$∠ BAC$即可得角相等，用SAS即可证全等，得到边相等。要证$EC⊥ BF$，即证两线夹角为$90°$，利用全等得对应角$∠ AFB=∠ ACE$，结合对顶角相等，根据三角形内角和可推出两线夹角等于$∠ CAF=90°$，即可得垂直。
(2) 当角度为$m°$时，仍可通过角的和差得到$∠ CAE=∠ BAF$，因此$△ CAE≌△ FAB$仍成立，故$EC=BF$的结论不变；但此时推导得到的两线夹角为$m°$，当$m≠90$时，垂直结论不成立。
【解析】
(1) 证明：$\because ∠ BAE=∠ CAF=90°,\therefore ∠ BAE+∠BAC=∠ CAF+∠BAC$，即$∠ CAE=∠ BAF$。
在$△ CAE$和$△ FAB$中,$\begin{cases} AE=AB, \\ ∠ EAC=∠ BAF, \\ AC=AF, \end{cases}$
$\therefore △ CAE≌△ FAB(\mathrm{SAS}),\therefore EC=BF$。
设$AC$与$BF$交于点$O$,
$\because △ CAE≌△ FAB,\therefore ∠ AFO=∠ OCM$。
又$\because ∠ AOF=∠ COM$（对顶角相等），结合三角形内角和为$180°$，
$\therefore ∠ OMC=∠ CAF=90°,\therefore EC⊥ BF$。
(2) 解：(1)中的结论$EC=BF$成立，结论$EC⊥ BF$不成立。理由如下：
$\because ∠ BAE=∠ CAF=m°,\therefore ∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC$，即$∠ EAC=∠ BAF$。
在$△ CAE$和$△ FAB$中,$\begin{cases} AE=AB, \\ ∠ EAC=∠ BAF, \\ AC=AF, \end{cases}$
$\therefore △ CAE≌△ FAB(\mathrm{SAS}),\therefore EC=BF$，故$EC=BF$的结论成立。
设$AC$与$BF$交于点$N$,由$△ CAE≌△ FAB$,得$∠ AFN=∠ MCN$,
又$\because ∠ ANF=∠ CNM$（对顶角相等），
$\therefore ∠ CMN=∠ CAF=m°$。
$\because m≠90,\therefore ∠CMN≠90°$，故$EC⊥ BF$的结论不成立。
【答案】
(1) $EC=BF$且$EC⊥BF$，得证；(2) $EC=BF$成立，$EC⊥BF$不成立。
【知识点】
全等三角形的判定与性质、垂直的判定、角的和差运算
【点评】
本题是全等三角形手拉手模型的典型习题，解题核心是通过角的和差得到全等所需的相等夹角，利用全等性质推导线段和角的关系，需注意角度变化时垂直结论会随之改变，要结合参数的取值判断结论是否成立。
【难度系数】
0.7