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3. 如图,在$△ ABC$中,D为BC的中点,若$AC=3$,$AD=4$,则AB的长不可能是 (
A.5
B.6
C.7
D.8
A
)A.5
B.6
C.7
D.8
答案
A 【点拨】如图
,延长 AD 至点 H,使 AD=DH=4,则AH=8.连接 BH.∵D 为 BC 的中点,
∴BD=CD.
在△ADC和△HDB中,
$\{\begin{array}{l} AD=HD,\\ ∠ADC=∠HDB,\\ CD=BD,\end{array} $
∴△ADC≌△HDB(SAS),
∴AC=BH=3.
在△ABH 中,AH−BH＜AB＜AH+BH,
∴5＜AB＜11.故选 A.
解析
【分析】
遇到三角形中线相关问题时，优先考虑用倍长中线的辅助线方法构造全等三角形，将已知的AC、AD两条边转移到同一个三角形中，再利用三角形三边关系求出AB的取值范围，最后结合选项判断出不可能的长度即可。
【解析】
如图，延长AD至点H，使AD=DH=4，则AH=AD+DH=8，连接BH。
∵D为BC的中点，
∴BD=CD。
在△ADC和△HDB中：
$\{\begin{array}{l} AD=HD\\ ∠ADC=∠HDB\\ CD=BD\end{array} $
∴△ADC≌△HDB（SAS）
∴AC=BH=3。
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，在△ABH中满足AH-BH＜AB＜AH+BH，
代入数值计算得：$8-3＜AB＜8+3$，即$5＜AB＜11$。
结合选项可知AB的长不可能是5，故选A。
【答案】A
【知识点】
倍长中线构造全等，全等三角形的性质，三角形三边关系
【点评】
本题是三角形中线类的典型题型，核心是掌握倍长中线的辅助线构造方法，通过全等三角形实现边的转移，再结合三边关系求解未知边的范围，该方法在三角形的证明和计算中应用十分广泛。
【难度系数】
0.7
遇到三角形中线相关问题时，优先考虑用倍长中线的辅助线方法构造全等三角形，将已知的AC、AD两条边转移到同一个三角形中，再利用三角形三边关系求出AB的取值范围，最后结合选项判断出不可能的长度即可。
【解析】
如图
，延长AD至点H，使AD=DH=4，则AH=AD+DH=8，连接BH。∵D为BC的中点，
∴BD=CD。
在△ADC和△HDB中：
$\{\begin{array}{l} AD=HD\\ ∠ADC=∠HDB\\ CD=BD\end{array} $
∴△ADC≌△HDB（SAS）
∴AC=BH=3。
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，在△ABH中满足AH-BH＜AB＜AH+BH，
代入数值计算得：$8-3＜AB＜8+3$，即$5＜AB＜11$。
结合选项可知AB的长不可能是5，故选A。
【答案】A
【知识点】
倍长中线构造全等，全等三角形的性质，三角形三边关系
【点评】
本题是三角形中线类的典型题型，核心是掌握倍长中线的辅助线构造方法，通过全等三角形实现边的转移，再结合三边关系求解未知边的范围，该方法在三角形的证明和计算中应用十分广泛。
【难度系数】
0.7
4. 如图，AD是$△ ABC$的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且$∠ CAD = ∠ AFE$. 求证：$AC=BF$.
答案
【证明】如图
,延长 AD 到 M,使 DM=AD,连接 BM,∵AD 是△ABC 的中线,
∴CD=BD.
在△ADC和△MDB中,$\{\begin{array}{l} DC=DB,\\ ∠ADC=∠MDB,\\ DA=DM,\end{array} $
∴△ADC≌△MDB(SAS),
∴BM=AC,∠CAD=∠M.
又
∵∠CAD = ∠AFE,∠AFE = ∠BFD,
∴∠BFD=∠M.
过点 B 作 BG⊥DM 于点 G,
则∠BGF=∠BGM=90°.
在△BGF和△BGM中,
$\{\begin{array}{l} ∠BFG=∠M,\\ ∠BGF=∠BGM,\\ BG=BG,\end{array} $
∴△BGF≌△BGM(AAS),
∴BF=BM,
∴AC=BF.
解析
【分析】
要证明AC=BF，两条线段位置分散，没有直接的全等关系，因此需要通过辅助线转化线段。已知AD是△ABC的中线，针对带中线的几何证明题，优先考虑“倍长中线法”构造全等三角形，将AC转化为和它相等的线段，再证明该线段与BF相等即可。具体思路：①倍长AD构造全等三角形，把AC转移为BM；②结合已知角相等和对顶角相等，推导得到角的等量关系；③证明BF和BM所在的三角形全等，得到BF=BM，最后等量代换得到结论。
【解析】
证明：如图，延长AD到M，使DM=AD，连接BM，
∵AD是△ABC的中线，
∴CD=BD。
在△ADC和△MDB中，
$\begin{cases} DC=DB\\ ∠ADC=∠MDB\\ DA=DM \end{cases}$
∴△ADC≌△MDB（SAS），
∴BM=AC，∠CAD=∠M。
∵∠CAD = ∠AFE，∠AFE = ∠BFD（对顶角相等），
∴∠BFD=∠M。
过点B作BG⊥DM于点G，
则∠BGF=∠BGM=90°。
在△BGF和△BGM中，
$\begin{cases} ∠BFG=∠M\\ ∠BGF=∠BGM\\ BG=BG \end{cases}$
∴△BGF≌△BGM（AAS），
∴BF=BM，
又
∵BM=AC，
∴AC=BF。
【答案】
证明：如图，延长 AD 到 M,使 DM=AD,连接 BM,
∵AD 是△ABC 的中线,
∴CD=BD.
在△ADC和△MDB中,$\begin{cases} DC=DB,\\ ∠ADC=∠MDB,\\ DA=DM,\end{cases} $
∴△ADC≌△MDB(SAS),
∴BM=AC,∠CAD=∠M.
又
∵∠CAD = ∠AFE,∠AFE = ∠BFD,
∴∠BFD=∠M.
过点 B 作 BG⊥DM 于点 G,
则∠BGF=∠BGM=90°.
在△BGF和△BGM中,
$\begin{cases} ∠BFG=∠M,\\ ∠BGF=∠BGM,\\ BG=BG,\end{cases} $
∴△BGF≌△BGM(AAS),
∴BF=BM,
∴AC=BF.
【知识点】
全等三角形判定与性质，三角形中线性质，倍长中线法
【点评】
本题是构造全等三角形的典型题型，当题干给出中线条件，待证的线段关系较为分散时，可使用倍长中线法转移线段，将分散的条件集中到同一个三角形中，再结合角的等量关系推导即可解题。
【难度系数】
0.6
要证明AC=BF，两条线段位置分散，没有直接的全等关系，因此需要通过辅助线转化线段。已知AD是△ABC的中线，针对带中线的几何证明题，优先考虑“倍长中线法”构造全等三角形，将AC转化为和它相等的线段，再证明该线段与BF相等即可。具体思路：①倍长AD构造全等三角形，把AC转移为BM；②结合已知角相等和对顶角相等，推导得到角的等量关系；③证明BF和BM所在的三角形全等，得到BF=BM，最后等量代换得到结论。
【解析】
证明：如图
，延长AD到M，使DM=AD，连接BM，∵AD是△ABC的中线，
∴CD=BD。
在△ADC和△MDB中，
$\begin{cases} DC=DB\\ ∠ADC=∠MDB\\ DA=DM \end{cases}$
∴△ADC≌△MDB（SAS），
∴BM=AC，∠CAD=∠M。
∵∠CAD = ∠AFE，∠AFE = ∠BFD（对顶角相等），
∴∠BFD=∠M。
过点B作BG⊥DM于点G，
则∠BGF=∠BGM=90°。
在△BGF和△BGM中，
$\begin{cases} ∠BFG=∠M\\ ∠BGF=∠BGM\\ BG=BG \end{cases}$
∴△BGF≌△BGM（AAS），
∴BF=BM，
又
∵BM=AC，
∴AC=BF。
【答案】
证明：如图
，延长 AD 到 M,使 DM=AD,连接 BM,∵AD 是△ABC 的中线,
∴CD=BD.
在△ADC和△MDB中,$\begin{cases} DC=DB,\\ ∠ADC=∠MDB,\\ DA=DM,\end{cases} $
∴△ADC≌△MDB(SAS),
∴BM=AC,∠CAD=∠M.
又
∵∠CAD = ∠AFE,∠AFE = ∠BFD,
∴∠BFD=∠M.
过点 B 作 BG⊥DM 于点 G,
则∠BGF=∠BGM=90°.
在△BGF和△BGM中,
$\begin{cases} ∠BFG=∠M,\\ ∠BGF=∠BGM,\\ BG=BG,\end{cases} $
∴△BGF≌△BGM(AAS),
∴BF=BM,
∴AC=BF.
【知识点】
全等三角形判定与性质，三角形中线性质，倍长中线法
【点评】
本题是构造全等三角形的典型题型，当题干给出中线条件，待证的线段关系较为分散时，可使用倍长中线法转移线段，将分散的条件集中到同一个三角形中，再结合角的等量关系推导即可解题。
【难度系数】
0.6
5. [2026 连云港期中]阅读材料,解决问题:
(1)【方法探究】数学课上,老师提出如下问题:“如图①,在△ABC中,若AB=10,AC=8,求BC边上的中线AD的取值范围.”同学们经过思考、讨论,提出如下解决方法:延长AD到点E,使DE=AD,再连接BE,利用三角形全等及三角形三边的关系即可求出中线AD的取值范围,请你帮助同学们写出完整的解题过程.
(2)【问题解决】如图②,在△ABC中,D是BC边上的中点,DE⊥DF于点D,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF,则BE+CF
(3)【拓展应用】如图③,△ABC,△ADE都是等腰直角三角形,其中∠BAC=∠DAE=90°,分别连接CD,BE,作AM⊥CD,垂足为M,延长AM交BE于点N.
①求证:点N是BE的中点;
②若AN=4,则CD=
(1)【方法探究】数学课上,老师提出如下问题:“如图①,在△ABC中,若AB=10,AC=8,求BC边上的中线AD的取值范围.”同学们经过思考、讨论,提出如下解决方法:延长AD到点E,使DE=AD,再连接BE,利用三角形全等及三角形三边的关系即可求出中线AD的取值范围,请你帮助同学们写出完整的解题过程.
(2)【问题解决】如图②,在△ABC中,D是BC边上的中点,DE⊥DF于点D,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF,则BE+CF
＞
EF(填“=”“＞”或“＜”).(3)【拓展应用】如图③,△ABC,△ADE都是等腰直角三角形,其中∠BAC=∠DAE=90°,分别连接CD,BE,作AM⊥CD,垂足为M,延长AM交BE于点N.
①求证:点N是BE的中点;
②若AN=4,则CD=
8
.答案
(1)【解】
∵AD 是 BC 边上的中线,
∴BD=CD.
又
∵∠ADC=∠BDE,AD=DE,
∴△BDE≌△CDA(SAS),
∴BE=AC=8.
在△ABE 中,由三角形的三边关系,得 AB−BE＜AE＜AB+BE,
∴10−8＜AE＜10+8,即 2＜2AD＜18,
∴1＜AD＜9.
(2)＞ 【点拨】如图①
,延长 FD 至点 M,使 DM=DF,连接 BM,EM,同(1)得△BMD≌△CFD,∴BM=CF.
∵DE⊥DF,
∴∠EDM=∠EDF=90°.
又
∵DF=DM,DE=DE,
∴△EMD≌△EFD.
∴EM=EF.在△BME 中,由三角形的三边关系,得 BE+BM＞EM,
∴BE+CF＞EF.
(3)①【证明】过点 B 作 BF//AE 交 AN 的延长线于点 F,如图②
.∵AM⊥CD,
∴∠BAC=∠AMC=90°,
∴∠4=90°−∠MAC=∠3.
同理∠1=∠2.
∵BF//AE,
∴∠F=∠2,
∴∠F=∠1.
∵AB=AC,
∴△ABF≌△CAD(AAS),
∴AF=CD,BF=AD.
∵AD=AE,
∴BF=AE.
∵∠F=∠2,∠FNB=∠ANE,
∴△FNB≌△ANE(AAS),
∴BN=EN,即点 N 是 BE 的中点.
②8 【点拨】
∵△FNB≌△ANE,
∴AN=FN.
∵AF=CD,
∴CD=2AN=8.
解析
【分析】
(1) 直接在含AD的三角形中无法用三边关系求范围，采用倍长中线法：延长AD到E使DE=AD，构造全等三角形将AC转化为BE，把AB、BE、AE放入同一个△ABE中，利用三角形三边关系求AE的范围，再推导AD的范围。
(2) 类比(1)的构造思路，D是BC中点，延长FD到M使DM=DF，构造全等将CF转化为BM，再证明EM=EF，最后在△BME中用三边关系比较BE+CF与EF的大小。
(3) ①要证N是BE中点即证BN=EN，过B作BF//AE交AN延长线于F，先利用同角的余角相等推导角相等，证明△ABF≌△CAD得BF=AD，结合AD=AE得BF=AE，再证△FNB≌△ANE即可得BN=EN；②由全等性质得AF=CD，且AF=2AN，代入AN的数值即可求出CD的长。
【解析】
(1) 解：
∵AD 是 BC 边上的中线，
∴BD=CD。
又
∵∠ADC=∠BDE，AD=DE，
∴△BDE≌△CDA(SAS)，
∴BE=AC=8。
在△ABE 中，由三角形的三边关系，得 AB−BE＜AE＜AB+BE，
∴10−8＜AE＜10+8，即 2＜2AD＜18，
∴1＜AD＜9。
(2) 解：如图①，延长 FD 至点 M，使 DM=DF，连接 BM，EM，同(1)得△BMD≌△CFD，
∴BM=CF。
∵DE⊥DF，
∴∠EDM=∠EDF=90°。
又
∵DF=DM，DE=DE，
∴△EMD≌△EFD。
∴EM=EF。在△BME 中，由三角形的三边关系，得 BE+BM＞EM，
∴BE+CF＞EF。
(3) ①证明：过点 B 作 BF//AE 交 AN 的延长线于点 F，如图②。
∵AM⊥CD，
∴∠BAC=∠AMC=90°，
∴∠4=90°−∠MAC=∠3。
同理∠1=∠2。
∵BF//AE，
∴∠F=∠2，
∴∠F=∠1。
∵AB=AC，
∴△ABF≌△CAD(AAS)，
∴AF=CD，BF=AD。
∵AD=AE，
∴BF=AE。
∵∠F=∠2，∠FNB=∠ANE，
∴△FNB≌△ANE(AAS)，
∴BN=EN，即点 N 是 BE 的中点。
②解：
∵△FNB≌△ANE，
∴AN=FN。
∵AF=CD，
∴CD=2AN=2×4=8。
【答案】
(1) $1＜AD＜9$
(2) $＞$
(3) ①证明见解析；②$8$
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 三角形三边关系
3. 倍长中线构造全等
【点评】
本题围绕构造全等三角形的常用方法逐层递进设计问题，从基础的倍长中线求线段范围，到方法迁移比较线段大小，再到拓展构造全等证明中点、求线段长度，掌握构造全等的常见辅助线做法是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.6
(1) 直接在含AD的三角形中无法用三边关系求范围，采用倍长中线法：延长AD到E使DE=AD，构造全等三角形将AC转化为BE，把AB、BE、AE放入同一个△ABE中，利用三角形三边关系求AE的范围，再推导AD的范围。
(2) 类比(1)的构造思路，D是BC中点，延长FD到M使DM=DF，构造全等将CF转化为BM，再证明EM=EF，最后在△BME中用三边关系比较BE+CF与EF的大小。
(3) ①要证N是BE中点即证BN=EN，过B作BF//AE交AN延长线于F，先利用同角的余角相等推导角相等，证明△ABF≌△CAD得BF=AD，结合AD=AE得BF=AE，再证△FNB≌△ANE即可得BN=EN；②由全等性质得AF=CD，且AF=2AN，代入AN的数值即可求出CD的长。
【解析】
(1) 解：
∵AD 是 BC 边上的中线，
∴BD=CD。
又
∵∠ADC=∠BDE，AD=DE，
∴△BDE≌△CDA(SAS)，
∴BE=AC=8。
在△ABE 中，由三角形的三边关系，得 AB−BE＜AE＜AB+BE，
∴10−8＜AE＜10+8，即 2＜2AD＜18，
∴1＜AD＜9。
(2) 解：如图①
，延长 FD 至点 M，使 DM=DF，连接 BM，EM，同(1)得△BMD≌△CFD，∴BM=CF。
∵DE⊥DF，
∴∠EDM=∠EDF=90°。
又
∵DF=DM，DE=DE，
∴△EMD≌△EFD。
∴EM=EF。在△BME 中，由三角形的三边关系，得 BE+BM＞EM，
∴BE+CF＞EF。
(3) ①证明：过点 B 作 BF//AE 交 AN 的延长线于点 F，如图②
。∵AM⊥CD，
∴∠BAC=∠AMC=90°，
∴∠4=90°−∠MAC=∠3。
同理∠1=∠2。
∵BF//AE，
∴∠F=∠2，
∴∠F=∠1。
∵AB=AC，
∴△ABF≌△CAD(AAS)，
∴AF=CD，BF=AD。
∵AD=AE，
∴BF=AE。
∵∠F=∠2，∠FNB=∠ANE，
∴△FNB≌△ANE(AAS)，
∴BN=EN，即点 N 是 BE 的中点。
②解：
∵△FNB≌△ANE，
∴AN=FN。
∵AF=CD，
∴CD=2AN=2×4=8。
【答案】
(1) $1＜AD＜9$
(2) $＞$
(3) ①证明见解析；②$8$
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 三角形三边关系
3. 倍长中线构造全等
【点评】
本题围绕构造全等三角形的常用方法逐层递进设计问题，从基础的倍长中线求线段范围，到方法迁移比较线段大小，再到拓展构造全等证明中点、求线段长度，掌握构造全等的常见辅助线做法是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.6
