1. 一次函数$y=kx+b$的图象如图所示，则这个函数的表达式为 （）

A.$y=2x+4$
B.$y=2x-4$
C.$y=-2x+4$
D.$y=-2x-4$

1.C

【分析】
要求一次函数的表达式，有两种常用思路：一是用待定系数法，先从图像中找到两个坐标明确的点，代入$y=kx+b$得到关于$k$、$b$的二元一次方程组，解出$k$、$b$即可得到解析式；二是排除法，先根据一次函数的增减性判断$k$的符号，再根据图像与$y$轴的交点判断$b$的符号，排除错误选项后即可得到答案。
【解析】
方法一：待定系数法
由图像可知，一次函数的图象经过点$(1,2)$和$(2,0)$，将两点坐标代入$y=kx+b$，可得方程组：
$\begin{cases}k + b = 2\\2k + b = 0\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$k=-2$；
将$k=-2$代入$k+b=2$，得$-2+b=2$，解得$b=4$。
因此函数表达式为$y=-2x+4$。
方法二：排除法
一次函数图象从左到右下降，说明$y$随$x$的增大而减小，因此$k＜0$，可排除$k=2$的A、B选项；
一次函数图象与$y$轴交于正半轴，说明截距$b＞0$，可排除$b=-4$的D选项，最终选C。
【答案】
C
【知识点】
一次函数图象性质；待定系数法；解二元一次方程组
【点评】
本题是一次函数的基础常考题，既可以通过待定系数法严谨计算求解，也可以结合图像性质用排除法快速得到答案，能够很好地巩固一次函数图象与解析式的对应关系。
【难度系数】
0.8

2. 传承数学文化 象棋 象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久.如图所示是某次对弈的残图，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”“仕”分别位于点$(-2,-1)$，$(-3,1)$的位置，则在同一坐标系下，图象经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数表达式为（）

A.$y=x+1$
B.$y=x-1$
C.$y=2x+1$
D.$y=2x-1$

2.A

【分析】
解题可分三步开展：第一步，根据已知的“帅”$(-2,-1)$、“仕”$(-3,1)$的坐标，明确平面直角坐标系的正方向（向右为x轴正方向，向上为y轴正方向），且每个网格边长为1个单位长度；第二步，通过数网格确定棋子“马”的坐标；第三步，利用待定系数法，将“帅”和“马”的坐标代入一次函数一般式，求解系数即可得到对应的函数表达式。
【解析】
根据“帅”位于$(-2,-1)$，“仕”位于$(-3,1)$，可知坐标系内1格对应1个单位长度，向右为x轴正方向，向上为y轴正方向，数网格可得“马”的坐标为$(2,3)$。
设经过点$(-2,-1)$和$(2,3)$的一次函数表达式为$y=kx+b\ (k≠0)$，将两点坐标代入得方程组：
$\begin{cases} -2k + b = -1 \\ 2k + b = 3 \end{cases}$
两式相加消去$k$，得$2b=2$，解得$b=1$；
将$b=1$代入$-2k + b = -1$，得$-2k+1=-1$，解得$k=1$。
因此该一次函数表达式为$y=x+1$，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
点的坐标确定；待定系数法；求一次函数解析式
【点评】
本题结合中国象棋传统文化设计，情景新颖，核心考查平面直角坐标系中点的定位能力，以及用待定系数法求一次函数解析式的掌握程度，解题关键是准确确定“马”的坐标，计算时注意二元一次方程组求解的准确性即可。
【难度系数】
0.75

3.若三点(1,4),(2,7),(a,10)在同一直线上,则a的值等于（）

A.－1
B.0
C.3
D.4

3.C

【分析】
已知三点在同一直线上，说明三点均满足该直线对应的一次函数表达式。解题时先利用前两个已知点的坐标，通过待定系数法求出直线的一次函数解析式，再将第三个点的坐标代入解析式，建立关于a的一元一次方程，求解即可得到a的值。
【解析】
设过点(1,4)、(2,7)的直线解析式为$ y=kx+b $（$ k≠0 $），将两点坐标分别代入解析式可得：
$\begin{cases}k + b = 4 \\2k + b = 7\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$ k=3 $，将$ k=3 $代入$ k+b=4 $，解得$ b=1 $，因此直线解析式为$ y=3x+1 $。
因为点$ (a,10) $在这条直线上，所以将$ x=a $，$ y=10 $代入解析式得：
$ 3a + 1 = 10 $
解得$ a=3 $。
【答案】
C
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数的基础应用题型，解题核心是掌握待定系数法求函数解析式的方法，明确直线上的点的坐标满足对应的函数表达式，整体计算难度较低。
【难度系数】
0.8

4. 跨学科题 [2025 苏州] 声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度$v(\mathrm{m/s})$与温度$t(°\mathrm{C})$部分对应数值如下表：

研究发现$v,t$满足公式$v=at+b$($a,b$为常数，且$a≠0$).当温度$t$为$15\ °\mathrm{C}$时，声音传播的速度$v$为
（）

A.$333\ \mathrm{m/s}$
B.$339\ \mathrm{m/s}$
C.$341\ \mathrm{m/s}$
D.$342\ \mathrm{m/s}$

4.B 【点拨】因为 $v,t$ 满足公式 $v=at+b$,所以由表格数据可得 $\begin{cases} 10a+b=336,\\ b=330, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} a=0.6,\\ b=330, \end{cases}$ 即 $v=0.6t+330$.当温度 $t$ 为 $15\ ℃$ 时,$v=0.6×15+330=339(\mathrm{m/s})$.

【分析】
题目给出声速$v$和温度$t$满足一次函数关系$v=at+b$，要求$t=15℃$时的$v$值，解题思路如下：首先使用待定系数法求参数$a$、$b$的值，从表格中选取两组对应的$t$、$v$数值代入表达式，得到关于$a$、$b$的二元一次方程组，解方程组得到$a$、$b$后确定完整的函数表达式，最后将$t=15$代入表达式计算即可得到对应的$v$值。选数时优先选取$t=0$的组，可直接得到$b$的值，简化计算。
【解析】
已知$v$与$t$满足一次函数关系$v=at+b$，从表格中选取两组数据：当$t=0{°}\mathrm{C}$时，$v=330\mathrm{m/s}$；当$t=10{°}\mathrm{C}$时，$v=336\mathrm{m/s}$。
将两组数据代入表达式得方程组：
$\begin{cases}b=330 \\10a + b = 336\end{cases}$
把$b=330$代入第二个方程，得$10a + 330 = 336$，解得$a=0.6$。
因此一次函数表达式为$v=0.6t + 330$。
当$t=15{°}\mathrm{C}$时，代入表达式得：
$v=0.6×15 + 330 = 9 + 330 = 339(\mathrm{m/s})$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数求值；二元一次方程组求解
【点评】
本题结合物理中声速与温度的关系考查一次函数的实际应用，解题核心是掌握待定系数法求一次函数表达式的方法，计算难度较低，只要准确代入数据计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8

2.确定方法:将两对已知变量的对应值分别代入$y=kx+b$,建立关于$k,b$的两个方程,通过解方程(组),求出$k,b$的值,从而确定其表达式.
长13.5 cm.当所挂物体的质量为5 kg时,弹簧的长度为cm.

5. 15 【点拨】设 $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式为 $y=kx+b(k≠0)$,由题意,得 $\begin{cases} 12.5=b,\\ 13.5=2k+b, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=0.5,\\ b=12.5, \end{cases}$ 故 $y$ 与 $x$ 之间的表达式为 $y=0.5x+12.5$,所以当 $x=5$ 时,$y=0.5×5+12.5=15$.

【分析】
本题属于一次函数的实际应用问题，弹簧总长度与所挂物体质量满足一次函数关系，解题需采用待定系数法：第一步先设出一次函数表达式$y=kx+b(k≠0)$（其中$y$为弹簧总长度，单位为cm，$x$为所挂物体质量，单位为kg）；第二步代入两组已知的对应值：不挂物体时弹簧原长12.5cm（即$x=0$时$y=12.5$）、所挂物体质量为2kg时弹簧长13.5cm（即$x=2$时$y=13.5$），建立关于$k$、$b$的二元一次方程组；第三步解方程组得到$k$、$b$的值，确定函数表达式；最后将$x=5$代入表达式计算即可得到所求弹簧长度。
【解析】
设弹簧总长度$y$（单位：cm）与所挂物体质量$x$（单位：kg）的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$。
由题意可得：当不挂物体（$x=0$）时，弹簧原长为12.5cm，即$b=12.5$；当所挂物体质量为2kg时，弹簧长度为13.5cm，代入得方程组：
$\begin{cases} 12.5=b\\ 13.5=2k+b \end{cases}$
把$b=12.5$代入第二个方程，得$13.5=2k+12.5$，解得$k=0.5$。
因此$y$与$x$的函数表达式为$y=0.5x+12.5$。
当所挂物体质量$x=5\ \mathrm{kg}$时，代入表达式计算：
$y=0.5×5+12.5=2.5+12.5=15$
【答案】
15
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数应用；解二元一次方程组
【点评】
本题结合弹簧伸长的生活场景，考查待定系数法的实际应用，解题核心是准确找到两组对应值确定一次函数表达式，再代入自变量的值求解对应的函数值，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.8

6. 一次函数$y=kx+b$的图象经过点$A(2,3)$，每当$x$增加1个单位长度时，$y$增加3个单位长度，则此函数图象向上平移2个单位长度得到的图象对应的函数表达式是（）

A.$y=-3x-5$
B.$y=3x-3$
C.$y=3x+1$
D.$y=3x-1$

6.D

【分析】
解题时先根据x和y的变化规律确定一次函数的斜率k，再将已知点A的坐标代入原函数表达式求出常数项b，得到原一次函数的解析式，最后根据一次函数平移“上加下减”的规则，求出向上平移2个单位后的函数表达式，对应选项即可。
【解析】
1. 求一次函数的斜率k：
由题可知，x每增加1个单位，y增加3个单位，根据一次函数的性质，斜率$k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{3}{1}=3$，因此原函数可写为$y=3x+b$。
2. 求常数项b：
将点$A(2,3)$代入$y=3x+b$，得：
$3=3×2 + b$
解得$b=3-6=-3$
因此原一次函数表达式为$y=3x-3$。
3. 求平移后的函数表达式：
一次函数图象向上平移2个单位，遵循“上加下减”的平移规则，即给原函数的常数项加2，可得平移后的表达式：
$y=3x-3+2=3x-1$
【答案】
D
【知识点】
一次函数性质，待定系数法求解析式，一次函数平移
【点评】
本题属于一次函数基础考查题，核心是理解一次函数斜率的含义，熟练掌握待定系数法求解析式的方法以及函数平移的规律，是对一次函数核心基础知识点的综合考察。
【难度系数】
0.8

7. 在平面直角坐标系中有两条直线$ l_1,l_2 $，直线$ l_1 $所对应的函数表达式为$ y=x+1 $，如果将坐标纸折叠，使$ l_1 $与$ l_2 $重合，此时点$ (1,0) $与点$ (0,1) $也重合，则直线$ l_2 $所对应的函数表达式为（）

A.$ y=-x-1 $
B.$ y=-x+1 $
C.$ y=x-1 $
D.$ y=x+1 $

7.C

【分析】
这是一道结合折叠性质求一次函数解析式的题目，解题思路分为三步：首先，折叠后两点重合，说明折痕是这两点的对称轴，我们先根据点(1,0)和(0,1)的位置确定折痕所在的直线；其次，折叠后$l_1$与$l_2$重合，说明$l_2$是$l_1$关于折痕的对称直线，我们可以在$l_1$上取两个点，求出它们关于折痕的对称点，这两个对称点就在$l_2$上；最后，用待定系数法代入两个对称点的坐标，就能求出$l_2$的函数表达式。
【解析】
1. 确定折痕所在直线：
折叠后点$(1,0)$与点$(0,1)$重合，观察两点坐标可知，两点的横纵坐标互换，说明它们关于直线$y=x$对称，因此本次折叠的折痕为直线$y=x$。
2. 求$l_2$上的两个点：
在直线$l_1:y=x+1$上取两个点：
① 令$x=0$，得$y=1$，即点$A(0,1)$在$l_1$上，点$A$关于$y=x$的对称点为$A'(1,0)$，则$A'$在$l_2$上；
② 令$x=-1$，得$y=0$，即点$B(-1,0)$在$l_1$上，点$B$关于$y=x$的对称点为$B'(0,-1)$，则$B'$在$l_2$上。
3. 用待定系数法求$l_2$的解析式：
设直线$l_2$的函数表达式为$y=kx+b$，将$A'(1,0)$、$B'(0,-1)$代入得：
当$x=0$时，$y=-1$，因此$b=-1$；
将$(1,0)$和$b=-1$代入得：$0 = k×1 -1$，解得$k=1$。
因此直线$l_2$的函数表达式为$y=x-1$。
【答案】
C
【知识点】
1. 一次函数解析式求解
2. 轴对称的性质
3. 折叠的性质
【点评】
本题将折叠变换与一次函数结合，解题的核心是明确折叠的本质是轴对称，先确定对称轴，再利用对称点的坐标特征得到目标直线上的点，进而求出解析式，能较好地考查学生的知识迁移能力和数形结合思想。
【难度系数】
0.65

8.已知两个一次函数$y_1,y_2$的图象相互平行，它们的部分自变量与相应的函数值如下表，则$m$的值是（）

A.$-\dfrac{1}{3}$
B.$-3$
C.$-1$
D.$1$

8.C 【点拨】根据题意可得,$n-3=-5-t=1-5$,所以 $n=-1,t=-1$,所以 $y_1$ 的图象经过点$(0,3),(2,-1)$,设 $y_1=kx+b$,则 $\begin{cases} 2k+b=-1,\\ b=3, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=-2,\\ b=3, \end{cases}$ 所以 $y_1=-2x+3$,当 $y_1=5$ 时,$5=-2x+3$,解得 $x=-1$,即 $m=-1$,故选 C.

【分析】
解题的核心是利用一次函数平行的性质：两个互相平行的一次函数，一次项系数k相等，因此两个函数的差值$y_2-y_1$为固定常数（与自变量x无关）。第一步先通过x=m时两个函数的函数值算出这个固定差值，再利用差值求出n和t的值，得到$y_1$的两个已知点坐标，用待定系数法求出$y_1$的解析式，最后将$y_1=5$代入解析式，求解得到的x值就是m。
【解析】
∵一次函数$y_1$、$y_2$的图象互相平行，
∴它们的一次项系数k相等，因此对任意自变量x，$y_2-y_1$为定值。
当x=m时，$y_2-y_1=1-5=-4$，即该固定差值为-4。
当x=0时，$n-3=-4$，解得$n=-1$；
当x=2时，$-5-t=-4$，解得$t=-1$。
由此可知$y_1$的图象经过点(0,3)和(2,-1)，设$y_1=kx+b(k≠0)$：
将(0,3)代入解析式，得$b=3$；
将(2,-1)和$b=3$代入解析式，得$2k+3=-1$，解得$k=-2$。
因此$y_1$的解析式为$y_1=-2x+3$。
当$y_1=5$时，代入解析式得：$5=-2m+3$，解得$m=-1$。
【答案】
C
【知识点】
1.一次函数平行的性质 2.待定系数法求一次函数解析式 3.一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数的基础综合题，解题突破口是利用平行一次函数的差值为定值的性质快速求出未知函数值，再结合待定系数法求解析式，最后根据函数值求对应自变量，要求熟练掌握一次函数的相关性质和基本解法。
【难度系数】
0.6

9. [2025 河北] 在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点.如图，正方形 EFGH 与正方形 OABC 的顶点均为整点.若只将正方形 EFGH 平移，使其内部(不含边界)有且只有 A,B,C 三个整点，则平移后点 E 的对应点坐标为 ()

A.$(\dfrac{7}{5},\dfrac{11}{5})$
B.$(\dfrac{8}{5},\dfrac{23}{10})$
C.$(\dfrac{3}{2},2)$
D.$(\dfrac{3}{2},\dfrac{9}{4})$

9.A 【点拨】设直线 FG 的表达式为 $y=kx+b$,代入$(-1,1),(0,-1)$,所以 $\begin{cases} 1=-k+b,\\ -1=b, \end{cases}$ 所以 $\begin{cases} k=-2,\\ b=-1, \end{cases}$ 所以直线 FG 的表达式为 $y=-2x-1$.因为 $E(1,2)$,A. 当平移后点 E 的对应点坐标为 $(\dfrac{7}{5},\dfrac{11}{5})$ 时,平移方式为向右平移 $\dfrac{2}{5}$ 个单位长度,向上平移 $\dfrac{1}{5}$ 个单位长度,所以直线 FG 平移后的表达式为 $y=-2(x-\dfrac{2}{5})-1+\dfrac{1}{5}=-2x$,此时经过原点,对应的 EH 经过整点$(2,1)$,符合题意; B. 当平移后点 E 的对应点坐标为 $(\dfrac{8}{5},\dfrac{23}{10})$ 时,平移方式为向右平移 $\dfrac{3}{5}$ 个单位长度,向上平移 $\dfrac{3}{10}$ 个单位长度,所以直线 FG 平移后的表达式为 $y=-2(x-\dfrac{3}{5})-1+\dfrac{3}{10}=-2x+\dfrac{1}{2}$,此时原点在 FG 下方,对应的 EH 在整点$(2,1)$ 上方,即整点$(2,1)$ 在正方形内部,不符合题意; C. 当平移后点 E 的对应点坐标为 $(\dfrac{3}{2},2)$ 时,平移方式为向右平移 $\dfrac{1}{2}$ 个单位长度,所以直线 FG 平移后的表达式为 $y=-2(x-\dfrac{1}{2})-1=-2x$,此时点$(2,0)$ 在正方形内部,不符合题意; D. 当平移后点 E 的对应点坐标为 $(\dfrac{3}{2},\dfrac{9}{4})$ 时,平移方式为向右平移 $\dfrac{1}{2}$ 个单位长度,向上平移 $\dfrac{1}{4}$ 个单位长度,所以直线 FG 平移后的表达式为 $y=-2(x-\dfrac{1}{2})-1+\dfrac{1}{4}=-2x+\dfrac{1}{4}$,此时点$(2,1)$ 在正方形内部,不符合题意.故选 A.

【分析】
解题首先确定原正方形EFGH顶点的坐标，利用待定系数法求出边FG所在直线的表达式；再根据每个选项给出的平移后E的坐标，确定平移的距离（左右平移、上下平移的距离）；接下来按照一次函数平移“左加右减自变量，上加下减常数项”的规律，求出平移后FG的直线表达式，结合对边EH的位置，判断正方形内部（不含边界）的整点是否只有A、B、C三个，排除不符合的选项即可得到答案。
【解析】
由图可知原E点坐标为$(1,2)$，边FG经过点$(-1,1)$和$(0,-1)$，正方形OABC的目标整点为$C(0,1)$、$B(1,1)$、$A(1,0)$。
1. 求原直线FG的表达式
设直线FG的解析式为$y=kx+b$，将$(-1,1)$、$(0,-1)$代入得：
$\begin{cases} 1=-k+b\\ -1=b \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=-2\\ b=-1 \end{cases}$，即直线FG的解析式为$y=-2x-1$。
2. 逐个分析选项：
选项A：平移后E的对应点为$(\dfrac{7}{5},\dfrac{11}{5})$，可知向右平移$\dfrac{7}{5}-1=\dfrac{2}{5}$个单位，向上平移$\dfrac{11}{5}-2=\dfrac{1}{5}$个单位。
平移后FG解析式为$y=-2(x-\dfrac{2}{5})-1+\dfrac{1}{5}=-2x$，此时FG过原点，对边EH经过整点$(2,1)$，正方形内部仅含A、B、C三个整点，符合要求。
选项B：平移后E对应点为$(\dfrac{8}{5},\dfrac{23}{10})$，可知向右平移$\dfrac{3}{5}$个单位，向上平移$\dfrac{3}{10}$个单位。
平移后FG解析式为$y=-2(x-\dfrac{3}{5})-1+\dfrac{3}{10}=-2x+\dfrac{1}{2}$，此时原点在FG下方，EH在整点$(2,1)$上方，整点$(2,1)$在正方形内部，不符合要求。
选项C：平移后E对应点为$(\dfrac{3}{2},2)$，可知向右平移$\dfrac{1}{2}$个单位，无上下平移。
平移后FG解析式为$y=-2(x-\dfrac{1}{2})-1=-2x$，此时整点$(2,0)$在正方形内部，不符合要求。
选项D：平移后E对应点为$(\dfrac{3}{2},\dfrac{9}{4})$，可知向右平移$\dfrac{1}{2}$个单位，向上平移$\dfrac{1}{4}$个单位。
平移后FG解析式为$y=-2(x-\dfrac{1}{2})-1+\dfrac{1}{4}=-2x+\dfrac{1}{4}$，此时整点$(2,1)$在正方形内部，不符合要求。
综上只有选项A符合条件。
【答案】
A
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数平移，整点的判断
【点评】
本题综合考查一次函数与图形平移的结合应用，需要结合平移规律逐一验证选项，渗透了数形结合的思想，对坐标运算和逻辑判断能力有一定要求。
【难度系数】
0.6