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10. [2026西安期中]如图，直线$l_1:y=-x+2$与x轴交于点B，直线$l_2$经过点$D(0,5)$，与直线$l_1$交于点$C(-1,m)$，且与x轴交于点A，在$l_2$上存在一点P，使三角形ABP的面积是三角形ABC面积的$\frac{2}{3}$，则点P的坐标为
$(-\dfrac{3}{2},2)$或$(-\dfrac{7}{2},-2)$
。答案
10. $(-\dfrac{3}{2},2)$或$(-\dfrac{7}{2},-2)$ 【点拨】易得 $m=-(-1)+2=3$,所以 $C(-1,3)$.设直线 $l_2$ 的表达式为 $y=kx+b$,将 $C(-1,3),D(0,5)$ 的坐标代入 $y=kx+b$,得 $\begin{cases} -k+b=3,\\ b=5, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=2,\\ b=5, \end{cases}$ 所以直线 $l_2$ 的表达式为 $y=2x+5$.在 $y=-x+2$ 中,当 $y=0$ 时,$x=2$,所以 $B(2,0)$.在 $y=2x+5$ 中,当 $y=0$ 时,$x=-\dfrac{5}{2}$,所以 $A(-\dfrac{5}{2},0)$,所以 $AB=2-(-\dfrac{5}{2})=\dfrac{9}{2}$,所以 $S_{\mathrm{三角形}ABC}=\dfrac{1}{2}AB· y_C=\dfrac{1}{2}×\dfrac{9}{2}×3=\dfrac{27}{4}$.因为三角形 ABP 的面积是三角形 ABC 面积的 $\dfrac{2}{3}$,所以 $S_{\mathrm{三角形}ABP}=\dfrac{2}{3}S_{\mathrm{三角形}ABC}=\dfrac{2}{3}×\dfrac{27}{4}=\dfrac{9}{2}$.因为 $S_{\mathrm{三角形}ABP}=\dfrac{1}{2}AB·|y_P|=\dfrac{1}{2}×\dfrac{9}{2}·|y_P|=\dfrac{9}{2}$,所以 $|y_P|=2$,所以 $y_P=2$ 或 $y_P=-2$,当 $y_P=2$ 时,$2x+5=2$,解得 $x=-\dfrac{3}{2}$,即 $P(-\dfrac{3}{2},2)$,当 $y_P=-2$ 时,$2x+5=-2$,解得 $x=-\dfrac{7}{2}$,即 $P(-\dfrac{7}{2},-2)$.综上所述,点 P 的坐标为 $(-\dfrac{3}{2},2)$ 或 $(-\dfrac{7}{2},-2)$.
解析
【分析】
解题可按以下步骤思考：①先利用点C在直线$l_1$上，代入$l_1$的解析式求出m的值，得到点C的坐标；②已知直线$l_2$过D、C两点，用待定系数法求出$l_2$的函数解析式；③分别求出直线$l_1$与x轴交点B、直线$l_2$与x轴交点A的坐标，计算AB的长度；④先计算$△ ABC$的面积，再根据两个三角形的面积关系求出$△ ABP$的面积；⑤由于$△ ABP$和$△ ABC$同底AB，面积比等于高（即点的纵坐标的绝对值）的比，求出点P的纵坐标，最后代入$l_2$的解析式求出横坐标，注意纵坐标有正负两种情况，避免漏解。
【解析】
1. 求点C的坐标
∵点$C(-1,m)$在直线$l_1:y=-x+2$上
∴将$x=-1$代入解析式得：$m=-(-1)+2=3$，即$C(-1,3)$
2. 求直线$l_2$的解析式
设直线$l_2$的表达式为$y=kx+b$，将$C(-1,3)$、$D(0,5)$代入得：
$\begin{cases} -k+b=3 \\ b=5 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=2 \\ b=5 \end{cases}$
∴直线$l_2$的解析式为$y=2x+5$
3. 求A、B两点坐标
对于直线$l_1:y=-x+2$，令$y=0$，得$0=-x+2$，解得$x=2$，
∴$B(2,0)$
对于直线$l_2:y=2x+5$，令$y=0$，得$0=2x+5$，解得$x=-\dfrac{5}{2}$，
∴$A(-\dfrac{5}{2},0)$
4. 计算AB长度和$△ ABC$的面积
$AB=2-(-\dfrac{5}{2})=\dfrac{9}{2}$
$S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2} × AB × |y_C| = \dfrac{1}{2} × \dfrac{9}{2} × 3 = \dfrac{27}{4}$
5. 根据面积关系求点P坐标
∵$S_{△ ABP}=\dfrac{2}{3}S_{△ ABC}$
∴$S_{△ ABP}=\dfrac{2}{3} × \dfrac{27}{4} = \dfrac{9}{2}$
又
∵$S_{△ ABP}=\dfrac{1}{2} × AB × |y_P|$
代入得：$\dfrac{1}{2} × \dfrac{9}{2} × |y_P| = \dfrac{9}{2}$
解得$|y_P|=2$，即$y_P=2$或$y_P=-2$
①当$y_P=2$时，代入$y=2x+5$得：$2=2x+5$，解得$x=-\dfrac{3}{2}$，此时$P(-\dfrac{3}{2},2)$
②当$y_P=-2$时，代入$y=2x+5$得：$-2=2x+5$，解得$x=-\dfrac{7}{2}$，此时$P(-\dfrac{7}{2},-2)$
【答案】
$(-\dfrac{3}{2},2)$或$(-\dfrac{7}{2},-2)$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与面积计算
【点评】
本题综合考查一次函数的相关运算，解题核心是利用同底三角形的面积比等于对应高的比简化计算，解题时要注意纵坐标绝对值的应用，避免漏掉纵坐标为负的情况造成漏解。
【难度系数】
0.6
解题可按以下步骤思考：①先利用点C在直线$l_1$上，代入$l_1$的解析式求出m的值，得到点C的坐标；②已知直线$l_2$过D、C两点，用待定系数法求出$l_2$的函数解析式；③分别求出直线$l_1$与x轴交点B、直线$l_2$与x轴交点A的坐标，计算AB的长度；④先计算$△ ABC$的面积，再根据两个三角形的面积关系求出$△ ABP$的面积；⑤由于$△ ABP$和$△ ABC$同底AB，面积比等于高（即点的纵坐标的绝对值）的比，求出点P的纵坐标，最后代入$l_2$的解析式求出横坐标，注意纵坐标有正负两种情况，避免漏解。
【解析】
1. 求点C的坐标
∵点$C(-1,m)$在直线$l_1:y=-x+2$上
∴将$x=-1$代入解析式得：$m=-(-1)+2=3$，即$C(-1,3)$
2. 求直线$l_2$的解析式
设直线$l_2$的表达式为$y=kx+b$，将$C(-1,3)$、$D(0,5)$代入得：
$\begin{cases} -k+b=3 \\ b=5 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=2 \\ b=5 \end{cases}$
∴直线$l_2$的解析式为$y=2x+5$
3. 求A、B两点坐标
对于直线$l_1:y=-x+2$，令$y=0$，得$0=-x+2$，解得$x=2$，
∴$B(2,0)$
对于直线$l_2:y=2x+5$，令$y=0$，得$0=2x+5$，解得$x=-\dfrac{5}{2}$，
∴$A(-\dfrac{5}{2},0)$
4. 计算AB长度和$△ ABC$的面积
$AB=2-(-\dfrac{5}{2})=\dfrac{9}{2}$
$S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2} × AB × |y_C| = \dfrac{1}{2} × \dfrac{9}{2} × 3 = \dfrac{27}{4}$
5. 根据面积关系求点P坐标
∵$S_{△ ABP}=\dfrac{2}{3}S_{△ ABC}$
∴$S_{△ ABP}=\dfrac{2}{3} × \dfrac{27}{4} = \dfrac{9}{2}$
又
∵$S_{△ ABP}=\dfrac{1}{2} × AB × |y_P|$
代入得：$\dfrac{1}{2} × \dfrac{9}{2} × |y_P| = \dfrac{9}{2}$
解得$|y_P|=2$，即$y_P=2$或$y_P=-2$
①当$y_P=2$时，代入$y=2x+5$得：$2=2x+5$，解得$x=-\dfrac{3}{2}$，此时$P(-\dfrac{3}{2},2)$
②当$y_P=-2$时，代入$y=2x+5$得：$-2=2x+5$，解得$x=-\dfrac{7}{2}$，此时$P(-\dfrac{7}{2},-2)$
【答案】
$(-\dfrac{3}{2},2)$或$(-\dfrac{7}{2},-2)$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与面积计算
【点评】
本题综合考查一次函数的相关运算，解题核心是利用同底三角形的面积比等于对应高的比简化计算，解题时要注意纵坐标绝对值的应用，避免漏掉纵坐标为负的情况造成漏解。
【难度系数】
0.6
11. 如图,在直角坐标系中,点$A(2,m)$在直线$y=2x-\frac{5}{2}$上,过点A的直线交y轴于点$B(0,3)$.
(1)求$m$的值和直线AB的函数表达式;
(2)若点$P(t,y_1)$在线段AB上,点$Q(t-1,y_2)$在直线$y=2x-\frac{5}{2}$上,求$y_1 - y_2$的最大值.
(1)求$m$的值和直线AB的函数表达式;
(2)若点$P(t,y_1)$在线段AB上,点$Q(t-1,y_2)$在直线$y=2x-\frac{5}{2}$上,求$y_1 - y_2$的最大值.
答案
11.【解】(1)把点 $A(2,m)$ 的坐标代入 $y=2x-\dfrac{5}{2}$,解得 $m=\dfrac{3}{2}$.设直线 AB 的函数表达式为 $y=kx+b$,把 $A(2,\dfrac{3}{2}),B(0,3)$ 的坐标代入,得 $\begin{cases} 2k+b=\dfrac{3}{2},\\ b=3, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=-\dfrac{3}{4},\\ b=3. \end{cases}$ 所以直线 AB 的函数表达式为 $y=-\dfrac{3}{4}x+3$.(2)因为点 $P(t,y_1)$ 在线段 AB 上,所以 $y_1=-\dfrac{3}{4}t+3(0≤ t≤2)$.因为点 $Q(t-1,y_2)$ 在直线 $y=2x-\dfrac{5}{2}$ 上,所以 $y_2=2(t-1)-\dfrac{5}{2}=2t-\dfrac{9}{2}$.所以 $y_1-y_2=-\dfrac{3}{4}t+3-(2t-\dfrac{9}{2})=-\dfrac{11}{4}t+\dfrac{15}{2}$.因为 $-\dfrac{11}{4}＜0$,所以 $y_1-y_2$ 随 $t$ 的增大而减小.所以当 $t=0$ 时,$y_1-y_2$ 的值最大,最大值为 $\dfrac{15}{2}$.
解析
【分析】
(1)求m的值时，因为点A在直线$y=2x-\dfrac{5}{2}$上，将点A的横坐标$x=2$代入该直线解析式即可求出m；求直线AB的函数表达式时，已知直线过A、B两点，采用待定系数法，设解析式为$y=kx+b$，代入两点坐标得到关于k、b的方程组，解方程组即可得到k、b的值，从而得到解析式。
(2)先根据点P在线段AB上，将$x=t$代入直线AB的解析式得到$y_1$关于t的表达式，同时确定t的取值范围是$0\le t\le2$；再将点Q的横坐标$x=t-1$代入直线$y=2x-\dfrac{5}{2}$得到$y_2$关于t的表达式；然后计算$y_1-y_2$，整理为关于t的一次函数，根据一次项系数的正负判断函数的增减性，最后在t的取值范围内取对应的值求出最大值即可。
【解析】
(1) 将点$A(2,m)$代入$y=2x-\dfrac{5}{2}$，得：
$m=2×2-\dfrac{5}{2}=\dfrac{3}{2}$
设直线AB的函数表达式为$y=kx+b$，将$A(2,\dfrac{3}{2})$、$B(0,3)$代入得：
$\begin{cases}2k + b = \dfrac{3}{2} \\ b = 3\end{cases}$
把$b=3$代入第一个方程，得$2k+3=\dfrac{3}{2}$，解得$k=-\dfrac{3}{4}$
所以直线AB的函数表达式为$y=-\dfrac{3}{4}x+3$。
(2)
∵点$P(t,y_1)$在线段AB上，
∴$y_1=-\dfrac{3}{4}t+3$，且t的取值范围为$0\le t\le2$。
∵点$Q(t-1,y_2)$在直线$y=2x-\dfrac{5}{2}$上，
∴$y_2=2(t-1)-\dfrac{5}{2}=2t-\dfrac{9}{2}$。
则$y_1-y_2=(-\dfrac{3}{4}t+3)-(2t-\dfrac{9}{2})=-\dfrac{11}{4}t+\dfrac{15}{2}$。
∵$-\dfrac{11}{4}＜0$，
∴$y_1-y_2$随t的增大而减小，
∴当$t=0$时，$y_1-y_2$取得最大值，最大值为$\dfrac{15}{2}$。
【答案】
(1) $m=\dfrac{3}{2}$，直线AB的函数表达式为$y=-\dfrac{3}{4}x+3$；
(2) $y_1-y_2$的最大值为$\dfrac{15}{2}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数的性质，一次函数最值计算
【点评】
本题是一次函数的常规综合题，既考查了点在直线上的坐标特征、待定系数法求解析式的基础方法，也结合一次函数的增减性考查最值求解，解题时需要注意线段上的点的自变量有取值范围，避免忽略范围导致最值计算错误。
【难度系数】
0.7
(1)求m的值时，因为点A在直线$y=2x-\dfrac{5}{2}$上，将点A的横坐标$x=2$代入该直线解析式即可求出m；求直线AB的函数表达式时，已知直线过A、B两点，采用待定系数法，设解析式为$y=kx+b$，代入两点坐标得到关于k、b的方程组，解方程组即可得到k、b的值，从而得到解析式。
(2)先根据点P在线段AB上，将$x=t$代入直线AB的解析式得到$y_1$关于t的表达式，同时确定t的取值范围是$0\le t\le2$；再将点Q的横坐标$x=t-1$代入直线$y=2x-\dfrac{5}{2}$得到$y_2$关于t的表达式；然后计算$y_1-y_2$，整理为关于t的一次函数，根据一次项系数的正负判断函数的增减性，最后在t的取值范围内取对应的值求出最大值即可。
【解析】
(1) 将点$A(2,m)$代入$y=2x-\dfrac{5}{2}$，得：
$m=2×2-\dfrac{5}{2}=\dfrac{3}{2}$
设直线AB的函数表达式为$y=kx+b$，将$A(2,\dfrac{3}{2})$、$B(0,3)$代入得：
$\begin{cases}2k + b = \dfrac{3}{2} \\ b = 3\end{cases}$
把$b=3$代入第一个方程，得$2k+3=\dfrac{3}{2}$，解得$k=-\dfrac{3}{4}$
所以直线AB的函数表达式为$y=-\dfrac{3}{4}x+3$。
(2)
∵点$P(t,y_1)$在线段AB上，
∴$y_1=-\dfrac{3}{4}t+3$，且t的取值范围为$0\le t\le2$。
∵点$Q(t-1,y_2)$在直线$y=2x-\dfrac{5}{2}$上，
∴$y_2=2(t-1)-\dfrac{5}{2}=2t-\dfrac{9}{2}$。
则$y_1-y_2=(-\dfrac{3}{4}t+3)-(2t-\dfrac{9}{2})=-\dfrac{11}{4}t+\dfrac{15}{2}$。
∵$-\dfrac{11}{4}＜0$，
∴$y_1-y_2$随t的增大而减小，
∴当$t=0$时，$y_1-y_2$取得最大值，最大值为$\dfrac{15}{2}$。
【答案】
(1) $m=\dfrac{3}{2}$，直线AB的函数表达式为$y=-\dfrac{3}{4}x+3$；
(2) $y_1-y_2$的最大值为$\dfrac{15}{2}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数的性质，一次函数最值计算
【点评】
本题是一次函数的常规综合题，既考查了点在直线上的坐标特征、待定系数法求解析式的基础方法，也结合一次函数的增减性考查最值求解，解题时需要注意线段上的点的自变量有取值范围，避免忽略范围导致最值计算错误。
【难度系数】
0.7
12. 阅读材料:通过一次函数的学习,当已知直线上两个点的坐标时,可以用待定系数法,求出这个一次函数的表达式.有这样一个问题:如图①,直线$ l_1 $的表达式为$ y=-2x+4 $,直线$ l_1 $与x轴、y轴交于A,B两点,若直线$ l_2 $与直线$ l_1 $关于y轴对称,求直线$ l_2 $的表达式.下面是解题思路.
第一步:求出直线$ l_1 $与x轴的交点A的坐标为(2,0),与y轴的交点B的坐标为(0,4);
第二步:求点A关于y轴的对称点C的坐标为(-2,0);
第三步:由点B(0,4),点C(-2,0),利用待定系数法,可得直线$ l_2 $的表达式为$ y=2x+4 $.
(1)参考解题思路和结论,解决问题:直线$ y=-x+2 $关于y轴对称的直线的表达式为
(2)如图②,若过点(-1,0)且平行于y轴的直线叫作直线$ x=-1 $,直线$ l_3 $与直线$ y=-2x+4 $关于直线$ x=-1 $对称,求直线$ l_3 $的表达式;
(3)如图③,直线$ l_4 $与直线$ y=-2x+4 $关于直线$ y=x $对称,求直线$ l_4 $的表达式.
第一步:求出直线$ l_1 $与x轴的交点A的坐标为(2,0),与y轴的交点B的坐标为(0,4);
第二步:求点A关于y轴的对称点C的坐标为(-2,0);
第三步:由点B(0,4),点C(-2,0),利用待定系数法,可得直线$ l_2 $的表达式为$ y=2x+4 $.
(1)参考解题思路和结论,解决问题:直线$ y=-x+2 $关于y轴对称的直线的表达式为
$y=x+2$
;(2)如图②,若过点(-1,0)且平行于y轴的直线叫作直线$ x=-1 $,直线$ l_3 $与直线$ y=-2x+4 $关于直线$ x=-1 $对称,求直线$ l_3 $的表达式;
(3)如图③,直线$ l_4 $与直线$ y=-2x+4 $关于直线$ y=x $对称,求直线$ l_4 $的表达式.
答案
12.【解】(1)$y=x+2$ 【点拨】由 $y=-x+2$ 得,当 $x=0$ 时,$y=2$;当 $y=0$ 时,$x=2$,所以直线 $y=-x+2$ 与 x 轴,y 轴的交点坐标分别为$(2,0),(0,2)$.易知点$(2,0),(0,2)$ 关于 y 轴对称的点的坐标分别为$(-2,0),(0,2)$.设直线 $y=-x+2$ 关于 y 轴对称的直线的表达式为 $y=k_1x+b_1$,所以 $\begin{cases} -2k_1+b_1=0,\\ b_1=2, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k_1=1,\\ b_1=2, \end{cases}$ 所以直线 $y=-x+2$ 关于 y 轴对称的直线的表达式为 $y=x+2$.(2)易知直线 $y=-2x+4$ 与 $x=-1$ 的交点坐标为$(-1,6)$,点 $A(2,0)$ 关于直线 $x=-1$ 对称的点的坐标为$(-4,0)$.设直线 $l_3$ 的表达式为 $y=kx+b$,所以 $\begin{cases} -k+b=6,\\ -4k+b=0, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=2,\\ b=8, \end{cases}$ 所以直线 $l_3$ 的表达式为 $y=2x+8$.(3)易知$(2,0),(0,4)$ 关于直线 $y=x$ 对称的点的坐标分别为$(0,2),(4,0)$.设直线 $l_4$ 的表达式为 $y=ax+c$,所以 $\begin{cases} c=2,\\ 4a+c=0, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} a=-\dfrac{1}{2},\\ c=2, \end{cases}$ 所以直线 $l_4$ 的表达式为 $y=-\dfrac{1}{2}x+2$.
解析
【分析】
解决一次函数关于某条直线对称求解析式的问题，通用思路如下：1.先找到原直线上2个计算简便的特征点，通常取直线与x轴、y轴的交点；2.根据对应对称轴的性质，求出这两个特征点关于对称轴对称的点的坐标；3.由于对称后的直线经过这两个对称点，利用待定系数法将两点坐标代入一次函数一般式，解方程组求出系数，即可得到对称后直线的表达式。
【解析】
(1) 对于直线$y=-x+2$：
当$x=0$时，$y=2$，得与y轴交点为$(0,2)$；当$y=0$时，$x=2$，得与x轴交点为$(2,0)$。
两点关于y轴对称的点坐标为$(0,2)$、$(-2,0)$。
设所求直线表达式为$y=k_1x+b_1$，代入两点坐标得：
$\begin{cases} -2k_1+b_1=0\\ b_1=2 \end{cases}$，解得$\begin{cases} k_1=1\\ b_1=2 \end{cases}$，即直线表达式为$y=x+2$。
(2) 先求原直线$y=-2x+4$上的特征点：
当$x=-1$时，$y=-2×(-1)+4=6$，即原直线与对称轴$x=-1$的交点为$(-1,6)$，该点在$l_3$上；
原直线与x轴交点$A(2,0)$，到直线$x=-1$的距离为3，故其关于$x=-1$的对称点坐标为$(-4,0)$。
设直线$l_3$表达式为$y=kx+b$，代入两点坐标得：
$\begin{cases} -k+b=6\\ -4k+b=0 \end{cases}$，解得$\begin{cases} k=2\\ b=8 \end{cases}$，即$l_3$的表达式为$y=2x+8$。
(3) 原直线$y=-2x+4$与坐标轴交点为$(2,0)$、$(0,4)$，点关于直线$y=x$对称时横纵坐标互换，故两点的对称点坐标为$(0,2)$、$(4,0)$。
设直线$l_4$表达式为$y=ax+c$，代入两点坐标得：
$\begin{cases} c=2\\ 4a+c=0 \end{cases}$，解得$\begin{cases} a=-\dfrac{1}{2}\\ c=2 \end{cases}$，即$l_4$的表达式为$y=-\dfrac{1}{2}x+2$。
【答案】
(1)$\boldsymbol{y=x+2}$；(2)$\boldsymbol{y=2x+8}$；(3)$\boldsymbol{y=-\dfrac{1}{2}x+2}$
【知识点】
待定系数法求解析式；坐标对称的性质；一次函数的性质
【点评】
本题围绕一次函数的对称变换设置问题，解题核心是掌握不同对称方式下点的坐标变化规律，结合待定系数法即可求解，选择与坐标轴的交点作为特征点能有效简化计算过程。
【难度系数】
0.7
解决一次函数关于某条直线对称求解析式的问题，通用思路如下：1.先找到原直线上2个计算简便的特征点，通常取直线与x轴、y轴的交点；2.根据对应对称轴的性质，求出这两个特征点关于对称轴对称的点的坐标；3.由于对称后的直线经过这两个对称点，利用待定系数法将两点坐标代入一次函数一般式，解方程组求出系数，即可得到对称后直线的表达式。
【解析】
(1) 对于直线$y=-x+2$：
当$x=0$时，$y=2$，得与y轴交点为$(0,2)$；当$y=0$时，$x=2$，得与x轴交点为$(2,0)$。
两点关于y轴对称的点坐标为$(0,2)$、$(-2,0)$。
设所求直线表达式为$y=k_1x+b_1$，代入两点坐标得：
$\begin{cases} -2k_1+b_1=0\\ b_1=2 \end{cases}$，解得$\begin{cases} k_1=1\\ b_1=2 \end{cases}$，即直线表达式为$y=x+2$。
(2) 先求原直线$y=-2x+4$上的特征点：
当$x=-1$时，$y=-2×(-1)+4=6$，即原直线与对称轴$x=-1$的交点为$(-1,6)$，该点在$l_3$上；
原直线与x轴交点$A(2,0)$，到直线$x=-1$的距离为3，故其关于$x=-1$的对称点坐标为$(-4,0)$。
设直线$l_3$表达式为$y=kx+b$，代入两点坐标得：
$\begin{cases} -k+b=6\\ -4k+b=0 \end{cases}$，解得$\begin{cases} k=2\\ b=8 \end{cases}$，即$l_3$的表达式为$y=2x+8$。
(3) 原直线$y=-2x+4$与坐标轴交点为$(2,0)$、$(0,4)$，点关于直线$y=x$对称时横纵坐标互换，故两点的对称点坐标为$(0,2)$、$(4,0)$。
设直线$l_4$表达式为$y=ax+c$，代入两点坐标得：
$\begin{cases} c=2\\ 4a+c=0 \end{cases}$，解得$\begin{cases} a=-\dfrac{1}{2}\\ c=2 \end{cases}$，即$l_4$的表达式为$y=-\dfrac{1}{2}x+2$。
【答案】
(1)$\boldsymbol{y=x+2}$；(2)$\boldsymbol{y=2x+8}$；(3)$\boldsymbol{y=-\dfrac{1}{2}x+2}$
【知识点】
待定系数法求解析式；坐标对称的性质；一次函数的性质
【点评】
本题围绕一次函数的对称变换设置问题，解题核心是掌握不同对称方式下点的坐标变化规律，结合待定系数法即可求解，选择与坐标轴的交点作为特征点能有效简化计算过程。
【难度系数】
0.7
