13. (12分) [2026合肥期末] 如图，点A是x轴上且在原点左侧的一点，点B(2,m)在第一象限，直线BA交y轴于点C(0,2)，$S_{△ AOB}=6$.
(1) $S_{△ COB}=$ ，点A的坐标是(, )，m的值是；
(2)求直线AB的函数表达式；
(3)若直线AB上有一点M，使得 $S_{△ BOM}=\frac{2}{3}S_{△ AOB}$，求点M的坐标.

13.【解】(1)2；-4；0；3
(2)设直线 $AB$ 的函数表达式为 $y=kx+b$,
由(1)可得 $A(-4,0),B(2,3)$,
所以$\begin{cases}-4k+b=0,\\2k+b=3,\end{cases}$所以$\begin{cases}k=\dfrac{1}{2},\\b=2,\end{cases}$
所以直线 $AB$ 的函数表达式为 $y=\dfrac{1}{2}x+2$.
(3)因为 $S_{△ BOM}=\dfrac{2}{3}S_{△ AOB},S_{△ AOB}=6$,所以 $S_{△ BOM}=4$.
因为 $S_{△ COB}=2$, 所以 $S_{△ BOM}=2S_{△ BOC}$,
所以 $BM=2BC$.
当点 $M$ 在点 $C$ 的左侧时,点 $C$ 为 $BM$ 的中点.
因为 $B(2,3),C(0,2)$, 所以 $M(-2,1)$;
当点 $M$ 在点 $B$ 的右侧时,点 $B$ 为点 $C$ 与 $BM$ 的中点所连的线段的中点，
所以 $BM$ 的中点坐标为$(4,4)$,
所以点 $M$ 的坐标为$(6,5)$.
综上所述,点 $M$ 的坐标为$(-2,1)$或$(6,5)$.

【分析】
(1) 求解第一问时，先算$△ COB$的面积：$△ COB$以$OC$为底，高为点$B$到$y$轴的水平距离（即点$B$横坐标的绝对值），代入面积公式即可计算。再求点$A$坐标：用$△ AOB$的面积减去$△ COB$的面积得到$△ AOC$的面积，$△ AOC$以$OC$为底，高为$OA$的长度，据此算出$OA$长，结合$A$在原点左侧得到$A$的坐标。最后求$m$的值：由$A$、$C$两点坐标可得到直线$AB$的解析式，将$B$点横坐标代入解析式即可算出$m$。
(2) 求直线$AB$的函数表达式使用待定系数法，设表达式为$y=kx+b$，代入$A$、$B$两点坐标解二元一次方程组，得到$k$、$b$的值即可。
(3) 先算出$△ BOM$的面积，由于$△ BOM$和$△ COB$有公共顶点$O$，且底边都在直线$AB$上，因此面积比等于底边长的比，可得$BM=2BC$，再分两种情况讨论：点$M$在$C$左侧时，$C$是$BM$的中点；点$M$在$B$右侧时，可通过坐标增量计算$M$坐标，两种情况分别求解即可，注意不要漏解。
【解析】
(1) 已知$C(0,2)$，则$OC=2$，点$B$横坐标为$2$，即点$B$到$y$轴的距离为$2$，因此$S_{△ COB}=\frac{1}{2}× OC × 2=\frac{1}{2}×2×2=2$。
已知$S_{△ AOB}=6$，则$S_{△ AOC}=S_{△ AOB}-S_{△ COB}=6-2=4$，又$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}× OC × |OA|=\frac{1}{2}×2×|OA|=|OA|$，即$|OA|=4$，因为$A$在原点左侧，所以$A$的坐标为$(-4,0)$。
设直线$AB$的解析式为$y=kx+b$，代入$A(-4,0)$、$C(0,2)$得$\begin{cases}-4k+b=0\\b=2\end{cases}$，解得$k=\frac{1}{2}$，即直线解析式为$y=\frac{1}{2}x+2$，将$B(2,m)$代入解析式得$m=\frac{1}{2}×2+2=3$。
(2) 设直线$AB$的函数表达式为$y=kx+b$，
由(1)得$A(-4,0)$，$B(2,3)$，将两点坐标代入表达式得：
$\begin{cases}-4k+b=0\\2k+b=3\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程得$6k=3$，解得$k=\frac{1}{2}$，将$k=\frac{1}{2}$代入$-4k+b=0$得$b=2$，
因此直线$AB$的函数表达式为$y=\frac{1}{2}x+2$。
(3) 因为$S_{△ BOM}=\frac{2}{3}S_{△ AOB}$，且$S_{△ AOB}=6$，所以$S_{△ BOM}=\frac{2}{3}×6=4$。
已知$S_{△ COB}=2$，因此$S_{△ BOM}=2S_{△ BOC}$，由于$△ BOM$和$△ BOC$同高（顶点均为$O$，底边都在直线$AB$上），所以底边长的比为$BM:BC=2:1$，即$BM=2BC$，分两种情况讨论：
①当点$M$在点$C$的左侧时，点$C$为$BM$的中点，设$M(x_1,y_1)$，由中点坐标公式得$\begin{cases}\frac{2+x_1}{2}=0\\\frac{3+y_1}{2}=2\end{cases}$，解得$x_1=-2$，$y_1=1$，即$M(-2,1)$；
②当点$M$在点$B$的右侧时，从$C$到$B$横坐标增量为$2-0=2$，纵坐标增量为$3-2=1$，则从$B$出发沿该方向再走2倍增量即为$M$的坐标，因此$M$的横坐标为$2+2×2=6$，纵坐标为$3+1×2=5$，即$M(6,5)$。
综上，点$M$的坐标为$(-2,1)$或$(6,5)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$；$\boldsymbol{-4}$；$\boldsymbol{0}$；$\boldsymbol{3}$
(2) $\boldsymbol{y=\dfrac{1}{2}x+2}$
(3) $\boldsymbol{(-2,1)}$或$\boldsymbol{(6,5)}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，坐标系中三角形面积计算，分类讨论思想
【点评】
本题是一次函数与几何面积的综合题，基础部分考查一次函数解析式的求解，难点在于第三问需要结合面积关系推导线段长度关系，同时要分情况讨论点的位置，避免出现漏解。
【难度系数】
0.65

14.(16分) 如图，直线$l_1:y=2x+1$与直线$l_2:y=mx+4$相交于点$P(1,b)$.
(1)求$b,m$的值；
(2)垂直于$x$轴的直线$x=a$与直线$l_1,l_2$分别交于点$C,D$，若线段$CD$的长为2，求$a$的值.

14.【解】(1)因为点 $P(1,b)$ 在直线 $l_1:y=2x+1$ 上,所以$b=2×1+1=3$.
因为点 $P(1,3)$ 在直线 $l_2:y=mx+4$ 上，
所以 $3=m+4$. 所以 $m=-1$.
(2)由(1)知直线 $l_2$ 的表达式为 $y=-x+4$.
易得 $y_C=2a+1,y_D=4-a$.
因为 $CD=2$,所以 $|2a+1-(4-a)|=2$,
解得 $a=\dfrac{1}{3}$ 或 $a=\dfrac{5}{3}$.

【分析】
(1) 按照点和函数图象的关系，函数图象上的点的坐标满足对应的函数解析式，因此先将点P的横坐标代入l₁的解析式求出b的值，得到点P的完整坐标后，再代入l₂的解析式即可求出m的值。
(2) 垂直于x轴的直线上所有点的横坐标相同，因此将x=a分别代入两条直线的解析式，可得到C、D两点的纵坐标；竖直线段的长度等于两点纵坐标差的绝对值，据此列绝对值方程求解，即可得到a的值，注意绝对值方程有两个解，不要漏解。
【解析】
(1) 因为点$P(1,b)$在直线$l_1:y=2x+1$上，将$x=1$代入解析式：
$b=2×1+1=3$，即点P的坐标为$(1,3)$。
又因为点$P(1,3)$在直线$l_2:y=mx+4$上，将$x=1、y=3$代入解析式：
$3=m+4$，解得$m=-1$。
(2) 由(1)可得直线$l_2$的解析式为$y=-x+4$。
直线$x=a$与$l_1$的交点C的坐标为$(a,2a+1)$，与$l_2$的交点D的坐标为$(a,-a+4)$。
已知$CD=2$，则两点纵坐标差的绝对值为2，列方程：
$|(2a+1)-(-a+4)|=2$
化简得$|3a-3|=2$，分两种情况求解：
① 当$3a-3=2$时，$3a=5$，解得$a=\frac{5}{3}$；
② 当$3a-3=-2$时，$3a=1$，解得$a=\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) $b=3$，$m=-1$；
(2) $a$的值为$\frac{1}{3}$或$\frac{5}{3}$。
【知识点】
一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求参数，坐标与线段长度转化
【点评】
本题属于一次函数基础题型，考察核心是函数图象与点坐标的对应关系，解题时要注意竖直线段长度计算需加绝对值，避免出现漏解的情况，熟练掌握一次函数基础性质即可顺利作答。
【难度系数】
0.7

15. (16分) 新考法分类讨论法 已知一次函数$y=2x-4$的图象与$x$轴、$y$轴分别相交于$A,B$两点，点$P$在该函数的图象上，点$P$到$x$轴、$y$轴的距离分别是$d_1,d_2$.
(1)当$d_1+d_2=3$时，求点$P$的坐标；
(2)若在线段$AB$上存在无数个$P$点，使得$d_1+ad_2=4(a$为常数$)$，求$a$的值.

15.【解】(1)设 $P(m,2m-4)$,所以 $d_1+d_2=|m|+|2m-4|$.
当 $0≤ m≤2$ 时,$d_1+d_2=m+4-2m=4-m=3$,
解得 $m=1$,此时 $P_1(1,-2)$;
当 $m＞2$ 时,$d_1+d_2=m+2m-4=3$,
解得 $m=\dfrac{7}{3}$,此时 $P_2(\dfrac{7}{3},\dfrac{2}{3})$;
当 $m＜0$ 时,易得点 $P$ 不存在，
综上,点 $P$ 的坐标为$(1,-2)$或$(\dfrac{7}{3},\dfrac{2}{3})$.
(2)对于一次函数 $y=2x-4$,令 $x=0$,得 $y=-4$;令 $y=0$,得 $x=2$,所以 $A(2,0),B(0,-4)$.
因为点 $P$ 在线段 $AB$ 上,所以 $0≤ m≤2$.
所以 $d_1=4-2m,d_2=m$.
因为 $d_1+ad_2=4$,
所以 $4-2m+am=4$,即$(a-2)m=0$.
因为有无数个 $P$ 点,即$(a-2)m=0$ 有无数个解，
所以 $a-2=0$,即 $a=2$.

【分析】
(1) 因为点P在一次函数$y=2x-4$上，可先设P的坐标为$(m,2m-4)$，点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值，因此$d_1+d_2=|m|+|2m-4|$。解绝对值方程需要先找绝对值的零点$m=0$和$m=2$，将数轴分为$m＜0$、$0≤m≤2$、$m＞2$三个区间，分别去掉绝对值符号求解，再验证解是否符合对应区间的要求，即可得到P点坐标。
(2) 先求出A、B两点坐标，确定线段AB上点的横坐标范围为$0≤m≤2$，此时可直接去掉绝对值用含m的式子表示$d_1、d_2$，代入$d_1+ad_2=4$得到关于m的方程。“存在无数个P点”说明该方程对区间内所有m都成立，因此含m项的系数为0，即可求出a的值。
【解析】
(1)设 $P(m,2m-4)$，所以 $d_1+d_2=|m|+|2m-4|$。
当 $0≤ m≤2$ 时，$d_1+d_2=m+4-2m=4-m=3$，
解得 $m=1$，此时 $P_1(1,-2)$；
当 $m＞2$ 时，$d_1+d_2=m+2m-4=3$，
解得 $m=\dfrac{7}{3}$，此时 $P_2(\dfrac{7}{3},\dfrac{2}{3})$；
当 $m＜0$ 时，$d_1+d_2=-m+4-2m=4-3m=3$，解得$m=\dfrac{1}{3}$，与$m＜0$矛盾，故点 $P$ 不存在。
综上，点 $P$ 的坐标为$(1,-2)$或$(\dfrac{7}{3},\dfrac{2}{3})$。
(2)对于一次函数 $y=2x-4$，令 $x=0$，得 $y=-4$；令 $y=0$，得 $x=2$，所以 $A(2,0),B(0,-4)$。
因为点 $P$ 在线段 $AB$ 上，所以 $0≤ m≤2$。
所以 $d_1=4-2m,d_2=m$。
因为 $d_1+ad_2=4$，
所以 $4-2m+am=4$，即$(a-2)m=0$。
因为有无数个 $P$ 点，即$(a-2)m=0$ 有无数个解，
所以 $a-2=0$，即 $a=2$。
【答案】
(1) $(1,-2)$或$(\dfrac{7}{3},\dfrac{2}{3})$；(2) $a=2$
【知识点】
一次函数的性质，绝对值方程求解，含参一次方程解的判定
【点评】
本题重点考查分类讨论思想的应用，解题时要注意距离为非负数，需用绝对值表示，分情况讨论时要验证解是否符合对应取值范围；第二问要准确理解“无数个解”的含义，即方程对区间内所有自变量都成立，从而推导参数的取值。
【难度系数】
0.65