1. 如图,在$△ ABC$中,$∠ A=72°$,$∠ C=46°$,$D$是$AC$上一点,连接$BD$,$DE⊥ AB$于点$E$,$DF⊥ BC$于点$F$.若$DE=DF$,则$∠ DBF$的度数为 ()

A.$20°$
B.$25°$
C.$31°$
D.$35°$

1. C

【分析】
解题思路：第一步，利用三角形内角和定理，结合已知的∠A、∠C的度数，先求出△ABC中∠ABC的度数；第二步，根据DE⊥AB、DF⊥BC且DE=DF的条件，利用角平分线的判定定理，得出BD是∠ABC的角平分线；第三步，所求∠DBF是∠ABC的一半，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ ABC = 180° - ∠ A - ∠ C = 180° -72° -46°=62°$
∵ $DE⊥ AB$，$DF⊥ BC$，且$DE=DF$
∴ BD是$∠ ABC$的角平分线（角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）
∴ $∠ DBF = \frac{1}{2}∠ ABC = \frac{1}{2}×62°=31°$
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的判定；角平分线的定义
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是通过“到角两边距离相等的点在角平分线上”判断出BD的角平分线属性，再结合三角形内角和计算角度，主要考查学生对基础定理的理解和应用能力。
【难度系数】
0.8

2. 如图，$△ ABC$的三边$AB$，$BC$，$CA$的长分别为30，40，50，$AO$，$BO$，$CO$分别是三个内角的平分线，则$S_{△ AOB}:S_{△ BOC}:S_{△ AOC}$等于（）

A.$3:4:5$
B.$1:2:3$
C.$2:3:4$
D.$1:1:1$

2. A

【分析】
要求三个三角形的面积比，首先回忆三角形面积公式为$\frac{1}{2}×底×高$。观察可知$△ AOB$、$△ BOC$、$△ AOC$的底分别是$△ ABC$的三边AB、BC、CA，它们的高都是点O到对应边的距离。已知O是三个内角平分线的交点，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此点O到$△ ABC$三边的距离相等，即三个三角形的高相等，此时面积比就等于对应底边长的比，代入三边长度化简即可得到结果。
【解析】
解：$\because AO、BO、CO$分别是$△ ABC$三个内角的平分线，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
$\therefore$点O到AB、BC、AC三边的距离相等，设这个距离为$h$。
根据三角形面积公式可得：
$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× AB × h$，
$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}× BC × h$，
$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}× AC × h$，
$\therefore S_{△ AOB}:S_{△ BOC}:S_{△ AOC}=AB:BC:AC=30:40:50=3:4:5$。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线性质的典型应用，解题关键是明确三角形内角平分线的交点到三边距离相等，将面积比转化为对应底边长的比，大幅简化计算过程。
【难度系数】
0.7

3. 如图所示，这是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在。

3. △ABC的三条角平分线的交点处

【分析】
解题时先明确题目要求：找到△ABC内到三条边距离都相等的点。我们可以结合角平分线的性质推导：角平分线上的点到角两边的距离相等，若要同时到三条边距离相等，该点需要同时在三个内角的角平分线上，而三角形的三条角平分线交于同一点，因此这个交点就是满足条件的位置。
【解析】
根据角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
1. 若某点在∠A的角平分线上，则它到AB、AC两条边的距离相等；
2. 若该点同时在∠B的角平分线上，则它到AB、BC两条边的距离相等；
此时该点到AB、AC、BC三边的距离都相等，又因为三角形的三条内角平分线交于一点，因此满足条件的点就是△ABC三条角平分线的交点。
【答案】
△ABC的三条角平分线的交点处
【知识点】
角平分线的性质；三角形角平分线的交点特征
【点评】
本题属于角平分线性质的实际应用类题目，解题核心是理解到角两边距离相等的点在角的平分线上，结合三角形三条角平分线交于一点的规律即可求解。
【难度系数】
0.8

4. ★★[2026亳州模拟]如图，$DE⊥ AB$于点$E$，$DF⊥ AC$于点$F$，若$BD=CD$，$BE=CF$，则下列结论：①$DE=DF$；②$AD$平分$∠ BAC$；③$∠ C+∠ ABD=180°$；④$AC-AB=2BE$，其中正确的结论序号为。

4. ①②③④
【点拨】$\because DE⊥AB$于点$E$,$DF⊥AC$于点$F$,$\therefore ∠E=∠DFC=90°$. 在$\mathrm{Rt}△BDE$和$\mathrm{Rt}△CDF$中，$\because \begin{cases} BD=CD,\\ BE=CF, \end{cases}$ $\therefore \mathrm{Rt}△BDE≌\mathrm{Rt}△CDF(\mathrm{HL}),\therefore DE=DF$,故①正确；
$\because DE⊥AB,DF⊥AC$,且$DE=DF$,$\therefore AD$平分$∠BAC$,故②正确；$\because \mathrm{Rt}△BDE≌\mathrm{Rt}△CDF$,$\therefore ∠EBD=∠C$.
又$\because ∠EBD+∠ABD=180°$,$\therefore ∠C+∠ABD=180°$,故③正确;在$\mathrm{Rt}△ADE$和$\mathrm{Rt}△ADF$中,$\begin{cases} AD=AD,\\ DE=DF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ADE≌\mathrm{Rt}△ADF(\mathrm{HL}),\therefore AE=AF$,$\therefore AB+BE=AC-FC$,$\therefore AC-AB=BE+FC=2BE$,故④正确.
综上所述,正确的结论序号为①②③④.

【分析】
我们可以从已知条件入手逐步验证四个结论：首先根据垂直、BD=CD、BE=CF证明Rt△BDE和Rt△CDF全等，验证结论①；再结合角平分线的判定定理，由DE=DF验证结论②；接着利用全等三角形对应角相等，结合平角的性质推导角的数量关系，验证结论③；最后再证明Rt△ADE和Rt△ADF全等，通过线段和差转化验证结论④，逐个判断即可。
【解析】
1. 验证结论①：
∵$DE⊥AB$，$DF⊥AC$，
∴$∠E=∠DFC=90°$
在$\mathrm{Rt}△BDE$和$\mathrm{Rt}△CDF$中，$\begin{cases} BD=CD\\ BE=CF \end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△BDE≌\mathrm{Rt}△CDF(\mathrm{HL})$，可得$DE=DF$，故①正确。
2. 验证结论②：
∵$DE⊥AB$，$DF⊥AC$，且已证$DE=DF$
根据角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，可得$AD$平分$∠BAC$，故②正确。
3. 验证结论③：
由$\mathrm{Rt}△BDE≌\mathrm{Rt}△CDF$，得$∠EBD=∠C$
又
∵$∠EBD+∠ABD=180°$，代入等量可得$∠C+∠ABD=180°$，故③正确。
4. 验证结论④：
在$\mathrm{Rt}△ADE$和$\mathrm{Rt}△ADF$中，$\begin{cases} AD=AD\\ DE=DF \end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ADE≌\mathrm{Rt}△ADF(\mathrm{HL})$，得$AE=AF$
∵$AE=AB+BE$，$AF=AC-FC$，且已知$BE=CF$
∴$AB+BE=AC-BE$，整理得$AC-AB=2BE$，故④正确。
【答案】
①②③④
【知识点】
直角三角形全等判定，角平分线的判定，全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形的基础综合题，解题核心是通过两次证明直角三角形全等，得到角、线段的等量关系，再结合角平分线判定、平角性质、线段和差关系逐一验证结论即可。
【难度系数】
0.6

5. 一题多解 已知点C是$∠ MAN$平分线上的一点，$∠ BCD$的两边CB,CD分别与射线AM,AN相交于B,D两点，且$∠ ABC+∠ ADC=180°$.过点C作$CE⊥ AB$，垂足为E.
(1)如图①，求证:$BC=DC$;
(2)如图②，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB,AD与BE之间的等量关系，并说明理由；
(3)如图③，在(2)的条件下，若$∠ MAN=60°$,连接BD,作$∠ ABD$的平分线BF交AD于点F,交AC于点O,连接DO并延长交AB于点G.若$BG=1$,$DF=2$,请直接写出线段DB的长.

5. (1)【证明】证法1:如图①,过点$ C $作$ CF⊥AN $,垂足为$ F $.
$\because AC$平分$∠MAN$,$CE⊥AB$,$CF⊥AN$,$\therefore CE=CF$,$∠CEB=∠CFD=90°$.
$\because ∠ABC+∠ADC=180°$,$∠CDF+∠ADC=180°$,$\therefore ∠ABC=∠CDF$.
在$△BCE$和$△DCF$中,$\because \begin{cases} ∠CBE=∠CDF,\\ ∠CEB=∠CFD=90°,\\ CE=CF, \end{cases}$
$\therefore △BCE≌△DCF(\mathrm{AAS}),\therefore BC=DC$.

证法2:如图②,在射线$ AM $上取一点$ O $,使$ AO=AD $.
在$△ACD$和$△ACO$中,$\because \begin{cases} AD=AO,\\ ∠DAC=∠OAC,\\ AC=AC, \end{cases}$
$\therefore △ACD≌△ACO$,$\therefore CD=CO$,$∠ADC=∠AOC$.
又$\because ∠ABC+∠ADC=180°$,$∠AOC+∠COB=180°$,$\therefore ∠COB=∠OBC$.
又$\because ∠CEO=∠CEB=90°$,$CE=CE$,$\therefore △CEO≌△CEB$,$\therefore CO=CB$,$\therefore BC=DC$.
(2)【解】$AD-AB=2BE$. 理由如下:如图③,过点$ C $作$ CF⊥AD $,垂足为$ F $. $\because AC$平分$∠MAN$,$CE⊥AB$,$\therefore CE=CF$. $\because ∠ABC + ∠ADC = 180°$,$∠ABC + ∠CBE=180°$,$\therefore ∠CDF=∠CBE$.
在$△BCE$和$△DCF$中,$\because \begin{cases} ∠CBE=∠CDF,\\ ∠CEB=∠CFD=90°,\\ CE=CF, \end{cases}$
$\therefore △BCE≌△DCF(\mathrm{AAS}),\therefore DF=BE$.
$\because CE=CF$,$AC=AC$,$\therefore \mathrm{Rt}△ACF≌\mathrm{Rt}△ACE(\mathrm{HL})$,$\therefore AF=AE$,$\therefore AD=AF+DF=AE+DF=AB+BE+DF=AB+2BE$,$\therefore AD-AB=2BE$.
(3)线段$ DB $的长为3. 【点拨】如图④,在$ BD $上截取$ BH=BG $,连接$ OH $.
$\because BO$平分$∠ABD$,$\therefore ∠OBH=∠OBG$.
又$\because OB=OB$,$\therefore △OBH≌△OBG(\mathrm{SAS})$,$\therefore ∠OHB=∠OGB$,$∠BOH=∠BOG$.
$\because AO$是$∠MAN$的平分线,$BO$是$∠ABD$的平分线,
$\therefore$点$ O $到$ AD$,$AB$,$BD $的距离相等,$\therefore DO$是$∠ADB$的平分线,$\therefore ∠ODH=∠ODF$. $\because ∠OHB = ∠ODH + ∠DOH$,$∠OGB = ∠ODF + ∠DAB$,$\therefore ∠DOH = ∠DAB=60°$,
$\therefore ∠GOH=120°$,$\therefore ∠BOG=∠BOH=60°$,
$\therefore ∠DOF=∠BOG=60°$,$\therefore ∠DOH=∠DOF$.
在$△ODH$和$△ODF$中,$\because \begin{cases} ∠DOH=∠DOF,\\ OD=OD,\\ ∠ODH=∠ODF, \end{cases}$
$\therefore △ODH≌△ODF(\mathrm{ASA}),\therefore DH=DF$,
$\therefore DB=DH+BH=DF+BG=2+1=3$.

【分析】
(1) 要证明$BC=DC$，可通过构造全等三角形证明：已知AC是$∠MAN$的角平分线，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，可过点C作$CF⊥AN$，得到$CE=CF$；再结合$∠ABC+∠ADC=180°$推出$∠CBE=∠CDF$，即可用AAS证明$△BCE≌△DCF$得到结论；也可通过截长法，在AM上截取$AO=AD$，先证$△ACD≌△ACO$，再推导$CO=CB$，等量代换得证。
(2) 探究$AB、AD、BE$的等量关系，仍可借助角平分线的性质作辅助线：过点C作$CF⊥AD$，先证$△BCE≌△DCF$得到$DF=BE$，再证$Rt△ACF≌Rt△ACE$得到$AF=AE$，通过线段的和差代换即可得到三者的数量关系。
(3) 求$DB$的长可采用截长补短法：在$BD$上截取$BH=BG$，先证$△OBH≌△OBG$，再结合角平分线的判定得到$DO$平分$∠ADB$，进而证明$△ODH≌△ODF$，得到$DH=DF$，即可推出$BD=BG+DF$，代入数值计算即可。
【解析】
(1) 证法1:如图①,过点$ C $作$ CF⊥AN $,垂足为$ F $.
$\because AC$平分$∠MAN$,$CE⊥AB$,$CF⊥AN$,$\therefore CE=CF$,$∠CEB=∠CFD=90°$.
$\because ∠ABC+∠ADC=180°$,$∠CDF+∠ADC=180°$,$\therefore ∠ABC=∠CDF$.
在$△BCE$和$△DCF$中,$\because \begin{cases} ∠CBE=∠CDF,\\ ∠CEB=∠CFD=90°,\\ CE=CF, \end{cases}$
$\therefore △BCE≌△DCF(\mathrm{AAS}),\therefore BC=DC$.

证法2:如图②,在射线$ AM $上取一点$ O $,使$ AO=AD $.
在$△ACD$和$△ACO$中,$\because \begin{cases} AD=AO,\\ ∠DAC=∠OAC,\\ AC=AC, \end{cases}$
$\therefore △ACD≌△ACO$,$\therefore CD=CO$,$∠ADC=∠AOC$.
又$\because ∠ABC+∠ADC=180°$,$∠AOC+∠COB=180°$,$\therefore ∠COB=∠OBC$.
又$\because ∠CEO=∠CEB=90°$,$CE=CE$,$\therefore △CEO≌△CEB$,$\therefore CO=CB$,$\therefore BC=DC$.
(2) 线段关系为$AD-AB=2BE$，理由如下:
如图③,过点$ C $作$ CF⊥AD $,垂足为$ F $.
$\because AC$平分$∠MAN$,$CE⊥AB$,$\therefore CE=CF$.
$\because ∠ABC + ∠ADC = 180°$,$∠ABC + ∠CBE=180°$,$\therefore ∠CDF=∠CBE$.
在$△BCE$和$△DCF$中,$\because \begin{cases} ∠CBE=∠CDF,\\ ∠CEB=∠CFD=90°,\\ CE=CF, \end{cases}$
$\therefore △BCE≌△DCF(\mathrm{AAS}),\therefore DF=BE$.
$\because CE=CF$,$AC=AC$,$\therefore \mathrm{Rt}△ACF≌\mathrm{Rt}△ACE(\mathrm{HL})$,$\therefore AF=AE$,
$\therefore AD=AF+DF=AE+DF=AB+BE+DF=AB+2BE$,$\therefore AD-AB=2BE$.
(3) 如图④,在$ BD $上截取$ BH=BG $,连接$ OH $.
$\because BO$平分$∠ABD$,$\therefore ∠OBH=∠OBG$.
又$\because OB=OB$,$\therefore △OBH≌△OBG(\mathrm{SAS})$,$\therefore ∠OHB=∠OGB$,$∠BOH=∠BOG$.
$\because AO$是$∠MAN$的平分线,$BO$是$∠ABD$的平分线,
$\therefore$点$ O $到$ AD$,$AB$,$BD $的距离相等,$\therefore DO$是$∠ADB$的平分线,$\therefore ∠ODH=∠ODF$.
$\because ∠OHB = ∠ODH + ∠DOH$,$∠OGB = ∠ODF + ∠DAB$,
$\therefore ∠DOH = ∠DAB=60°$,
$\therefore ∠GOH=120°$,$\therefore ∠BOG=∠BOH=60°$,
$\therefore ∠DOF=∠BOG=60°$,$\therefore ∠DOH=∠DOF$.
在$△ODH$和$△ODF$中,$\because \begin{cases} ∠DOH=∠DOF,\\ OD=OD,\\ ∠ODH=∠ODF, \end{cases}$
$\therefore △ODH≌△ODF(\mathrm{ASA}),\therefore DH=DF$,
$\therefore DB=DH+BH=DF+BG=2+1=3$.
【答案】
(1) $BC=DC$，证明见解析；
(2) $AD-AB=2BE$，理由见解析；
(3) $3$
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；截长补短法构造全等
【点评】
本题是角平分线与全等三角形结合的综合应用题，核心解题思路是利用角平分线的性质作辅助线构造全等三角形，其中截长补短法是解决线段和差类问题的常用技巧，能有效将分散的线段转化到同一条线段上求解，考查了几何逻辑推理能力和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.5