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1. 如图，已知 $ l_1 // l_2 $，$ △ ABC $ 是等腰直角三角形，$ ∠ BAC = 90° $，顶点A，B分别在 $ l_1 $，$ l_2 $ 上，当 $ ∠ 1 = 70° $ 时，$ ∠ 2 = $
65°
。答案
1. 65°
解析
【分析】
解题思路可分四步梳理：首先，根据等腰直角三角形的性质，先得到底角∠C的度数；其次，将∠1看作小三角形的外角，利用三角形外角的性质求出AC与l1的夹角大小；接着，结合∠BAC=90°，算出AB与l1的夹角的度数；最后，利用平行线内错角相等的性质，即可得到∠2的大小。
【解析】
设BC与直线$l_1$交于点O。
1. 由等腰直角三角形的性质：
∵ $△ ABC$是等腰直角三角形，$∠ BAC=90°$
∴ $∠ C = 45°$
2. 由三角形外角的性质：
∵ $∠ 1$是$△ AOC$的外角
∴ $∠ 1 = ∠ C + ∠ OAC$
代入已知$∠ 1=70°$，$∠ C=45°$，得：
$∠ OAC = ∠1 - ∠ C = 70° - 45° = 25°$
3. 计算AB与$l_1$的夹角：
$∠ OAB = ∠ BAC - ∠ OAC = 90° - 25° = 65°$
4. 由平行线的性质：
∵ $l_1// l_2$，$∠ 2$与$∠ OAB$是内错角
∴ $∠2 = ∠ OAB = 65°$
【答案】
$65°$
【知识点】
等腰直角三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的性质
【点评】
本题属于基础综合题，将平行线、等腰直角三角形、三角形外角的知识点结合考查，解题的关键是找到角之间的等量关系，通过已知角逐步推导出未知角的大小。
【难度系数】
0.75
解题思路可分四步梳理：首先，根据等腰直角三角形的性质，先得到底角∠C的度数；其次，将∠1看作小三角形的外角，利用三角形外角的性质求出AC与l1的夹角大小；接着，结合∠BAC=90°，算出AB与l1的夹角的度数；最后，利用平行线内错角相等的性质，即可得到∠2的大小。
【解析】
设BC与直线$l_1$交于点O。
1. 由等腰直角三角形的性质：
∵ $△ ABC$是等腰直角三角形，$∠ BAC=90°$
∴ $∠ C = 45°$
2. 由三角形外角的性质：
∵ $∠ 1$是$△ AOC$的外角
∴ $∠ 1 = ∠ C + ∠ OAC$
代入已知$∠ 1=70°$，$∠ C=45°$，得：
$∠ OAC = ∠1 - ∠ C = 70° - 45° = 25°$
3. 计算AB与$l_1$的夹角：
$∠ OAB = ∠ BAC - ∠ OAC = 90° - 25° = 65°$
4. 由平行线的性质：
∵ $l_1// l_2$，$∠ 2$与$∠ OAB$是内错角
∴ $∠2 = ∠ OAB = 65°$
【答案】
$65°$
【知识点】
等腰直角三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的性质
【点评】
本题属于基础综合题，将平行线、等腰直角三角形、三角形外角的知识点结合考查，解题的关键是找到角之间的等量关系，通过已知角逐步推导出未知角的大小。
【难度系数】
0.75
2. 如图，在$△ ABC$中，$∠ DCE=40°$，$AE=AC$，$BC=BD$，则$∠ ACB$的度数为
100°
。答案
2. 100°
解析
【分析】
解题时首先从已知的等边条件入手，根据等腰三角形“等边对等角”的性质，得到∠ACE=∠AEC、∠BCD=∠BDC；再结合△DCE的内角和为180°，已知∠DCE=40°，可求出∠BDC+∠AEC的度数，即得到∠ACE+∠BCD的度数；最后分析角的和差关系，发现∠ACE与∠BCD相加时，重叠了公共部分∠DCE，因此可推导出∠ACE+∠BCD与∠ACB的等量关系，代入数值即可算出∠ACB的度数。
【解析】
解：
∵ AE=AC，根据等腰三角形等边对等角的性质，可得$∠ ACE = ∠ AEC$
∵ BC=BD，同理可得$∠ BCD = ∠ BDC$
在$△ DCE$中，由三角形内角和为$180°$，已知$∠ DCE=40°$，则：
$∠ BDC + ∠ AEC = 180° - ∠ DCE = 180° - 40° = 140°$
∴ $∠ ACE + ∠ BCD = ∠ AEC + ∠ BDC = 140°$
又
∵ $∠ ACE = ∠ ACD + ∠ DCE$，$∠ BCD = ∠ BCE + ∠ DCE$，且$∠ ACD + ∠ DCE + ∠ BCE = ∠ ACB$
∴ $∠ ACE + ∠ BCD = (∠ ACD + ∠ BCE) + 2∠ DCE = (∠ ACB - ∠ DCE) + 2∠ DCE = ∠ ACB + ∠ DCE$
代入数值可得：$140° = ∠ ACB + 40°$
解得：$∠ ACB = 140° - 40° = 100°$
【答案】
$100°$
【知识点】
等边对等角；三角形内角和定理；角的和差计算
【点评】
本题属于等腰三角形性质的基础综合应用题，解题的关键是利用等边对等角实现角的等量代换，梳理清楚重叠角的和差关系，这类题能很好地锻炼学生的几何逻辑推导能力，掌握等腰三角形基本性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知的等边条件入手，根据等腰三角形“等边对等角”的性质，得到∠ACE=∠AEC、∠BCD=∠BDC；再结合△DCE的内角和为180°，已知∠DCE=40°，可求出∠BDC+∠AEC的度数，即得到∠ACE+∠BCD的度数；最后分析角的和差关系，发现∠ACE与∠BCD相加时，重叠了公共部分∠DCE，因此可推导出∠ACE+∠BCD与∠ACB的等量关系，代入数值即可算出∠ACB的度数。
【解析】
解：
∵ AE=AC，根据等腰三角形等边对等角的性质，可得$∠ ACE = ∠ AEC$
∵ BC=BD，同理可得$∠ BCD = ∠ BDC$
在$△ DCE$中，由三角形内角和为$180°$，已知$∠ DCE=40°$，则：
$∠ BDC + ∠ AEC = 180° - ∠ DCE = 180° - 40° = 140°$
∴ $∠ ACE + ∠ BCD = ∠ AEC + ∠ BDC = 140°$
又
∵ $∠ ACE = ∠ ACD + ∠ DCE$，$∠ BCD = ∠ BCE + ∠ DCE$，且$∠ ACD + ∠ DCE + ∠ BCE = ∠ ACB$
∴ $∠ ACE + ∠ BCD = (∠ ACD + ∠ BCE) + 2∠ DCE = (∠ ACB - ∠ DCE) + 2∠ DCE = ∠ ACB + ∠ DCE$
代入数值可得：$140° = ∠ ACB + 40°$
解得：$∠ ACB = 140° - 40° = 100°$
【答案】
$100°$
【知识点】
等边对等角；三角形内角和定理；角的和差计算
【点评】
本题属于等腰三角形性质的基础综合应用题，解题的关键是利用等边对等角实现角的等量代换，梳理清楚重叠角的和差关系，这类题能很好地锻炼学生的几何逻辑推导能力，掌握等腰三角形基本性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
3. 如图,在点O处用钉子将木条AB,CD钉在一起,P是木条CD上一点,用橡皮筋连接AP,BP,固定木条AB,把木条CD绕点O转动.若O是AB的中点,当$△ PAB$的面积最大时,$∠ PAO$与$∠ PBO$之间存在的数量关系为
∠PAO=∠PBO
.答案
3. ∠PAO=∠PBO
解析
【分析】
要解决这个问题，我们先从△PAB的面积计算入手：△PAB的底边AB是固定的，根据三角形面积公式，面积大小由点P到AB的垂线段长度（即高）决定，因此要使面积最大，需让点P到AB的距离最大。木条CD绕O转动时，只有当CD⊥AB时，点P到AB的距离才能达到最大值。此时因为O是AB中点，CD垂直且平分AB，即CD是AB的垂直平分线，根据垂直平分线性质可得PA=PB，△PAB为等腰三角形，进而可推出两个底角的关系。
【解析】
1. 设点P到直线AB的距离为h，△PAB的面积为S，则$S=\frac{1}{2} × AB × h$。
因为AB固定，所以S的最大值对应h的最大值。
2. 当木条CD绕点O转动到CD⊥AB的位置时，点P到AB的距离h最大，此时△PAB的面积最大。
3. 已知O是AB的中点，且CD⊥AB，因此CD是线段AB的垂直平分线。
4. 因为点P在CD上，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得PA=PB，即△PAB是等腰三角形。
5. 根据等腰三角形“等边对等角”的性质，可得∠PAO=∠PBO。
【答案】
∠PAO=∠PBO
【知识点】
三角形面积计算；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题结合动态转动场景考查几何最值与等腰三角形性质的应用，解题的核心是先抓住“固定底边的三角形面积由高决定”这一要点，找到面积最大时CD的位置，再结合相关几何性质推导角的关系，需要学生具备动中找定的分析能力。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们先从△PAB的面积计算入手：△PAB的底边AB是固定的，根据三角形面积公式，面积大小由点P到AB的垂线段长度（即高）决定，因此要使面积最大，需让点P到AB的距离最大。木条CD绕O转动时，只有当CD⊥AB时，点P到AB的距离才能达到最大值。此时因为O是AB中点，CD垂直且平分AB，即CD是AB的垂直平分线，根据垂直平分线性质可得PA=PB，△PAB为等腰三角形，进而可推出两个底角的关系。
【解析】
1. 设点P到直线AB的距离为h，△PAB的面积为S，则$S=\frac{1}{2} × AB × h$。
因为AB固定，所以S的最大值对应h的最大值。
2. 当木条CD绕点O转动到CD⊥AB的位置时，点P到AB的距离h最大，此时△PAB的面积最大。
3. 已知O是AB的中点，且CD⊥AB，因此CD是线段AB的垂直平分线。
4. 因为点P在CD上，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得PA=PB，即△PAB是等腰三角形。
5. 根据等腰三角形“等边对等角”的性质，可得∠PAO=∠PBO。
【答案】
∠PAO=∠PBO
【知识点】
三角形面积计算；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题结合动态转动场景考查几何最值与等腰三角形性质的应用，解题的核心是先抓住“固定底边的三角形面积由高决定”这一要点，找到面积最大时CD的位置，再结合相关几何性质推导角的关系，需要学生具备动中找定的分析能力。
【难度系数】
0.7
4. 如图,在锐角三角形$ABC$中,$AB=AC$,点$D,E$分别在边$AB,AC$上,连接$BE,CD$.下列命题中,假命题是（
A.若$CD=BE$,则$∠ DCB=∠ EBC$
B.若$∠ DCB=∠ EBC$,则$CD=BE$
C.若$BD=CE$,则$∠ DCB=∠ EBC$
D.若$∠ DCB=∠ EBC$,则$BD=CE$
A
）A.若$CD=BE$,则$∠ DCB=∠ EBC$
B.若$∠ DCB=∠ EBC$,则$CD=BE$
C.若$BD=CE$,则$∠ DCB=∠ EBC$
D.若$∠ DCB=∠ EBC$,则$BD=CE$
答案
4. A
解析
【分析】
首先由AB=AC可得出等腰△ABC的底角∠ABC=∠ACB，且△BCD与△CBE有公共边BC。要判断各选项命题的真假，只需结合选项给出的条件，判断能否证明△BCD和△CBE全等，若能全等则对应边、对应角相等，命题为真，否则为假，注意SSA不能作为三角形全等的判定依据。
【解析】
已知AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，即∠DBC=∠ECB，且BC是△BCD和△CBE的公共边。
对选项B、D：若∠DCB=∠EBC，在△BCD和△CBE中：
$\{\begin{array}{l}∠ DBC=∠ ECB\\ BC=CB\\ ∠ DCB=∠ EBC\end{array} $
∴△BCD≌△CBE（ASA），可得CD=BE，BD=CE，故B、D是真命题，不符合题意。
对选项C：若BD=CE，在△BCD和△CBE中：
$\{\begin{array}{l}BD=CE\\ ∠ DBC=∠ ECB\\ BC=CB\end{array} $
∴△BCD≌△CBE（SAS），可得∠DCB=∠EBC，故C是真命题，不符合题意。
对选项A：若CD=BE，已知BC=CB，∠DBC=∠ECB，此时是“SSA”的条件组合，不能判定△BCD和△CBE全等，因此无法推出∠DCB=∠EBC，故A是假命题，符合题意。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形性质，全等三角形判定，命题真假判断
【点评】
本题将等腰三角形性质与全等三角形的判定结合考查，解题的核心是熟练掌握全等三角形的判定定理，明确SSA不能判定三角形全等，逐一验证各选项即可得出结论。
【难度系数】
0.7
首先由AB=AC可得出等腰△ABC的底角∠ABC=∠ACB，且△BCD与△CBE有公共边BC。要判断各选项命题的真假，只需结合选项给出的条件，判断能否证明△BCD和△CBE全等，若能全等则对应边、对应角相等，命题为真，否则为假，注意SSA不能作为三角形全等的判定依据。
【解析】
已知AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，即∠DBC=∠ECB，且BC是△BCD和△CBE的公共边。
对选项B、D：若∠DCB=∠EBC，在△BCD和△CBE中：
$\{\begin{array}{l}∠ DBC=∠ ECB\\ BC=CB\\ ∠ DCB=∠ EBC\end{array} $
∴△BCD≌△CBE（ASA），可得CD=BE，BD=CE，故B、D是真命题，不符合题意。
对选项C：若BD=CE，在△BCD和△CBE中：
$\{\begin{array}{l}BD=CE\\ ∠ DBC=∠ ECB\\ BC=CB\end{array} $
∴△BCD≌△CBE（SAS），可得∠DCB=∠EBC，故C是真命题，不符合题意。
对选项A：若CD=BE，已知BC=CB，∠DBC=∠ECB，此时是“SSA”的条件组合，不能判定△BCD和△CBE全等，因此无法推出∠DCB=∠EBC，故A是假命题，符合题意。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形性质，全等三角形判定，命题真假判断
【点评】
本题将等腰三角形性质与全等三角形的判定结合考查，解题的核心是熟练掌握全等三角形的判定定理，明确SSA不能判定三角形全等，逐一验证各选项即可得出结论。
【难度系数】
0.7
5. 如图,在等腰三角形纸片$ABC$中,$AB=AC$,$AH⊥ BC$,垂足为$H$.小花放入一张等边三角形纸片$BDE$,点$E$在$BC$上,$F$为$AH$与$DE$的交点,小都又放一张等边三角形纸片$EFG$,点$G$在$BC$上.小花和小都量得$EF=5$,$CE=3$,那么等腰三角形纸片底边$BC$的长应为
11
.答案
5. 11
解析
【分析】
解题时先结合已知条件回忆相关性质：1. 等腰三角形三线合一，等腰三角形底边上的高同时是底边上的中线，所以H是BC中点，BH=HC；2. 等边三角形三边相等，内角均为60°，可得EG=EF=5，∠FEH=60°；3. 直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可在Rt△FHE中求出HE的长度。接下来按顺序先求HE，再求GH、HC，结合BH=HC求出BG，最后用线段和求BC的总长即可。
【解析】
解：
1.
∵△EFG是等边三角形，EF=5，
∴EG=EF=5，∠FEG=60°。
2.
∵AH⊥BC，
∴∠FHE=90°，
在Rt△FHE中，∠EFH=90°-∠FEG=30°，
∴$HE=\frac{1}{2}EF=\frac{1}{2}×5=2.5$。
3. 计算相关线段长度：
$GH=EG - HE=5 - 2.5=2.5$，
$HC=HE + CE=2.5 + 3=5.5$。
4.
∵AB=AC，AH⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质，H是BC的中点，
∴$BH=HC=5.5$。
5. 则$BG=BH - GH=5.5 - 2.5=3$，
∴$BC=BG + EG + CE=3 + 5 + 3=11$。
【答案】
11
【知识点】
等腰三角形的性质，等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是熟练掌握特殊三角形的性质，找准各线段之间的和差关系，通过中间量逐步推导求出所求线段长度。
【难度系数】
0.6
解题时先结合已知条件回忆相关性质：1. 等腰三角形三线合一，等腰三角形底边上的高同时是底边上的中线，所以H是BC中点，BH=HC；2. 等边三角形三边相等，内角均为60°，可得EG=EF=5，∠FEH=60°；3. 直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可在Rt△FHE中求出HE的长度。接下来按顺序先求HE，再求GH、HC，结合BH=HC求出BG，最后用线段和求BC的总长即可。
【解析】
解：
1.
∵△EFG是等边三角形，EF=5，
∴EG=EF=5，∠FEG=60°。
2.
∵AH⊥BC，
∴∠FHE=90°，
在Rt△FHE中，∠EFH=90°-∠FEG=30°，
∴$HE=\frac{1}{2}EF=\frac{1}{2}×5=2.5$。
3. 计算相关线段长度：
$GH=EG - HE=5 - 2.5=2.5$，
$HC=HE + CE=2.5 + 3=5.5$。
4.
∵AB=AC，AH⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质，H是BC的中点，
∴$BH=HC=5.5$。
5. 则$BG=BH - GH=5.5 - 2.5=3$，
∴$BC=BG + EG + CE=3 + 5 + 3=11$。
【答案】
11
【知识点】
等腰三角形的性质，等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是熟练掌握特殊三角形的性质，找准各线段之间的和差关系，通过中间量逐步推导求出所求线段长度。
【难度系数】
0.6
6. 如图，BD是等边三角形ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB的长为半径作弧，交BC的延长线于点E，连接DE，则∠DEC=（
A.$20°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$35°$
C
）A.$20°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$35°$
答案
6. C
解析
【分析】
解题时先从等边三角形的性质入手，首先利用等边三角形三线合一的特点求出∠DBC的度数；再根据同圆半径相等得到DB=DE，判定△DBE是等腰三角形；最后利用等腰三角形等边对等角的性质，即可推出∠DEC的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC=60°
∵BD是AC边上的高，根据等边三角形三线合一的性质
∴BD平分∠ABC，即$∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×60°=30°$
由题意可知，DB、DE都是以D为圆心的圆的半径，故DB=DE
∴△DBE为等腰三角形，根据等边对等角可得$∠ DEB=∠ DBE=30°$，即$∠ DEC=30°$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质、等腰三角形的性质、圆的基本性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，将等边三角形、等腰三角形与圆的基础性质结合考查，解题的关键是找到相等线段，将边的关系转化为角的关系，熟练掌握特殊三角形的相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时先从等边三角形的性质入手，首先利用等边三角形三线合一的特点求出∠DBC的度数；再根据同圆半径相等得到DB=DE，判定△DBE是等腰三角形；最后利用等腰三角形等边对等角的性质，即可推出∠DEC的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC=60°
∵BD是AC边上的高，根据等边三角形三线合一的性质
∴BD平分∠ABC，即$∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×60°=30°$
由题意可知，DB、DE都是以D为圆心的圆的半径，故DB=DE
∴△DBE为等腰三角形，根据等边对等角可得$∠ DEB=∠ DBE=30°$，即$∠ DEC=30°$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质、等腰三角形的性质、圆的基本性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，将等边三角形、等腰三角形与圆的基础性质结合考查，解题的关键是找到相等线段，将边的关系转化为角的关系，熟练掌握特殊三角形的相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
7. 如图，$△ ABC$，$△ ADE$都是等边三角形，且$AD$是$∠ BAC$的平分线，连接$BE$，有下列结论：
①$AD⊥ BC$；②$EF=FD$；③$BE=BD$。
其中正确的个数为（
A.3
B.2
C.1
D.0
①$AD⊥ BC$；②$EF=FD$；③$BE=BD$。
其中正确的个数为（
A
）A.3
B.2
C.1
D.0
答案
7. A 【点拨】
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ABC=60°.
∵AD是角平分线，
∴∠BAD=30°，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，①正确.
∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE=60°, AE=AD.
∴∠BAE=30°=∠BAD. 又
∵AF=AF，
∴△EAF≌△DAF(SAS)，
∴EF=FD,∠AFE=∠AFD=90°,即AF垂直平分DE,
∴BE=BD.故②③正确.
∴正确结论的个数是3.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ABC=60°.
∵AD是角平分线，
∴∠BAD=30°，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，①正确.
∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE=60°, AE=AD.
∴∠BAE=30°=∠BAD. 又
∵AF=AF，
∴△EAF≌△DAF(SAS)，
∴EF=FD,∠AFE=∠AFD=90°,即AF垂直平分DE,
∴BE=BD.故②③正确.
∴正确结论的个数是3.
解析
【分析】
解题时先结合已知条件逐个判断三个结论：首先利用等边三角形“三线合一”的性质判断结论①；再通过角度计算得到∠BAE=∠BAD，结合等边△ADE的边相等的性质，用SAS证明△EAF和△DAF全等，即可判断结论②；最后由全等得到AB垂直平分DE，利用线段垂直平分线的性质判断结论③。
【解析】
1. 证明结论①：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC，
又
∵AD是∠BAC的平分线，根据等边三角形三线合一的性质，
∴AD⊥BC，故①正确。
2. 证明结论②：
∵△ADE是等边三角形，
∴AE=AD，∠DAE=60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，
∴∠BAE=∠DAE-∠BAD=60°-30°=30°，即∠BAE=∠BAD，
在△EAF和△DAF中：
$\{\begin{array}{l}AE=AD \\∠EAF=∠DAF \\AF=AF\end{array} $
∴△EAF≌△DAF（SAS），
∴EF=FD，故②正确。
3. 证明结论③：
由△EAF≌△DAF可得∠AFE=∠AFD=90°，即AB垂直平分DE，
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得BE=BD，故③正确。
综上，①②③均正确，正确结论的个数是3。
【答案】A
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题的关键是充分利用等边三角形的特殊角度、边相等的性质，结合全等判定和垂直平分线的性质逐步推导，能很好地考查几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
解题时先结合已知条件逐个判断三个结论：首先利用等边三角形“三线合一”的性质判断结论①；再通过角度计算得到∠BAE=∠BAD，结合等边△ADE的边相等的性质，用SAS证明△EAF和△DAF全等，即可判断结论②；最后由全等得到AB垂直平分DE，利用线段垂直平分线的性质判断结论③。
【解析】
1. 证明结论①：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC，
又
∵AD是∠BAC的平分线，根据等边三角形三线合一的性质，
∴AD⊥BC，故①正确。
2. 证明结论②：
∵△ADE是等边三角形，
∴AE=AD，∠DAE=60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，
∴∠BAE=∠DAE-∠BAD=60°-30°=30°，即∠BAE=∠BAD，
在△EAF和△DAF中：
$\{\begin{array}{l}AE=AD \\∠EAF=∠DAF \\AF=AF\end{array} $
∴△EAF≌△DAF（SAS），
∴EF=FD，故②正确。
3. 证明结论③：
由△EAF≌△DAF可得∠AFE=∠AFD=90°，即AB垂直平分DE，
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得BE=BD，故③正确。
综上，①②③均正确，正确结论的个数是3。
【答案】A
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题的关键是充分利用等边三角形的特殊角度、边相等的性质，结合全等判定和垂直平分线的性质逐步推导，能很好地考查几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
8. 新考法分类讨论法 在等腰$△ ABC$中，若AB最长，且$∠ B=30°$，则$∠ C=$
75°或120°
。答案
8. 75°或120°
解析
【分析】
解题首先回忆等腰三角形“等边对等角”的性质、三角形内角和为180°，以及“大边对大角”的规律。已知AB是等腰△ABC的最长边，∠B=30°，需要分两类讨论：①AB为等腰三角形的腰；②AB为等腰三角形的底边，每种情况计算后要验证是否满足“AB最长”的条件，排除不符合的情况即可得到∠C的度数。
【解析】
根据等腰三角形性质和“大边对大角”规律，分两种情况讨论：
1. 当AB为等腰三角形的腰时：
因为AB是最长边，所以另一条腰和AB相等，即AB=BC，由“等边对等角”得∠A=∠C。
结合三角形内角和180°，可得：
$∠ C=(180°-∠ B)÷2=(180°-30°)÷2=75°$
此时三角形三个内角为30°、75°、75°，最大角对应边AB=BC，符合AB最长的条件。
2. 当AB为等腰三角形的底边时：
此时两腰为AC=BC，由“等边对等角”得∠A=∠B=30°。
结合三角形内角和180°，可得：
$∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-30°-30°=120°$
此时三角形三个内角为30°、30°、120°，最大角对应边AB，符合AB最长的条件。
综上，∠C的度数为75°或120°。
【答案】
75°或120°
【知识点】
等腰三角形边角性质；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形分类讨论的典型题，易错点是容易遗漏其中一种情况，或分类后未结合“AB最长”的条件验证结果，解题时要注意利用大边对大角的规律对结果进行校验，避免多解或漏解。
【难度系数】
0.6
解题首先回忆等腰三角形“等边对等角”的性质、三角形内角和为180°，以及“大边对大角”的规律。已知AB是等腰△ABC的最长边，∠B=30°，需要分两类讨论：①AB为等腰三角形的腰；②AB为等腰三角形的底边，每种情况计算后要验证是否满足“AB最长”的条件，排除不符合的情况即可得到∠C的度数。
【解析】
根据等腰三角形性质和“大边对大角”规律，分两种情况讨论：
1. 当AB为等腰三角形的腰时：
因为AB是最长边，所以另一条腰和AB相等，即AB=BC，由“等边对等角”得∠A=∠C。
结合三角形内角和180°，可得：
$∠ C=(180°-∠ B)÷2=(180°-30°)÷2=75°$
此时三角形三个内角为30°、75°、75°，最大角对应边AB=BC，符合AB最长的条件。
2. 当AB为等腰三角形的底边时：
此时两腰为AC=BC，由“等边对等角”得∠A=∠B=30°。
结合三角形内角和180°，可得：
$∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-30°-30°=120°$
此时三角形三个内角为30°、30°、120°，最大角对应边AB，符合AB最长的条件。
综上，∠C的度数为75°或120°。
【答案】
75°或120°
【知识点】
等腰三角形边角性质；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形分类讨论的典型题，易错点是容易遗漏其中一种情况，或分类后未结合“AB最长”的条件验证结果，解题时要注意利用大边对大角的规律对结果进行校验，避免多解或漏解。
【难度系数】
0.6
9. ★★ 如图①，△ABC与△A₁B₁C₁满足∠A=∠A₁，AC=A₁C₁，BC=B₁C₁，∠C≠∠C₁，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”.如图②，在△ABC中，AB=AC，点D，E在线段BC上，且BE=CD，则图中共有“伪全等三角形”（
A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
D
）A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
答案
9. D 【点拨】
∵AB=AC,
∴∠B=∠C. 在△ABE和△ACD中,
∵$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠B=∠C, \\ BE=CD, \end{cases}$
∴△ABE≌△ACD(SAS).
∴AD=AE. 又
∵AB=AB, ∠B=∠B, ∠BAD≠∠BAE,
∴△ABD和△ABE是一对“伪全等三角形”.同理可得,△ABD和△ACD是一对“伪全等三角形”,△ACD和△ACE是一对“伪全等三角形”,△ABE和△ACE是一对“伪全等三角形”.
∴题图②中共有4对“伪全等三角形”.故选D.
∵AB=AC,
∴∠B=∠C. 在△ABE和△ACD中,
∵$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠B=∠C, \\ BE=CD, \end{cases}$
∴△ABE≌△ACD(SAS).
∴AD=AE. 又
∵AB=AB, ∠B=∠B, ∠BAD≠∠BAE,
∴△ABD和△ABE是一对“伪全等三角形”.同理可得,△ABD和△ACD是一对“伪全等三角形”,△ACD和△ACE是一对“伪全等三角形”,△ABE和△ACE是一对“伪全等三角形”.
∴题图②中共有4对“伪全等三角形”.故选D.
解析
【分析】
首先明确“伪全等三角形”的定义：两个三角形满足两边及其中一边的对角相等，但不全等。解题时先利用等腰三角形“等边对等角”的性质得到∠B=∠C，先证明△ABE≌△ACD得到AD=AE，再逐一排查满足SSA条件但不全等的三角形对即可。
【解析】
∵AB=AC，
∴∠B=∠C。
在△ABE和△ACD中，
$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠B=∠C, \\ BE=CD, \end{cases}$
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴AD=AE。
1. △ABD和△ABE：AB为公共边，AD=AE，∠B为公共角，且∠BAD≠∠BAE，两三角形不全等，是1对伪全等三角形；
2. △ABD和△ACD：AB=AC，AD为公共边，∠B=∠C，且∠ADB≠∠ADC，两三角形不全等，是1对伪全等三角形；
3. △ACD和△ACE：AC为公共边，AD=AE，∠C为公共角，且∠CAD≠∠CAE，两三角形不全等，是1对伪全等三角形；
4. △ABE和△ACE：AB=AC，AE为公共边，∠B=∠C，且∠AEB≠∠AEC，两三角形不全等，是1对伪全等三角形。
综上共有4对伪全等三角形。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质；全等三角形的判定；新定义应用
【点评】
本题属于新定义类几何题，核心是准确理解新定义的内涵，结合等腰三角形性质和全等判定知识逐一筛选符合条件的三角形对，解题时要注意避免漏数，考查了基础知识的灵活运用和对新定义的迁移理解能力。
【难度系数】
0.6
首先明确“伪全等三角形”的定义：两个三角形满足两边及其中一边的对角相等，但不全等。解题时先利用等腰三角形“等边对等角”的性质得到∠B=∠C，先证明△ABE≌△ACD得到AD=AE，再逐一排查满足SSA条件但不全等的三角形对即可。
【解析】
∵AB=AC，
∴∠B=∠C。
在△ABE和△ACD中，
$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠B=∠C, \\ BE=CD, \end{cases}$
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴AD=AE。
1. △ABD和△ABE：AB为公共边，AD=AE，∠B为公共角，且∠BAD≠∠BAE，两三角形不全等，是1对伪全等三角形；
2. △ABD和△ACD：AB=AC，AD为公共边，∠B=∠C，且∠ADB≠∠ADC，两三角形不全等，是1对伪全等三角形；
3. △ACD和△ACE：AC为公共边，AD=AE，∠C为公共角，且∠CAD≠∠CAE，两三角形不全等，是1对伪全等三角形；
4. △ABE和△ACE：AB=AC，AE为公共边，∠B=∠C，且∠AEB≠∠AEC，两三角形不全等，是1对伪全等三角形。
综上共有4对伪全等三角形。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质；全等三角形的判定；新定义应用
【点评】
本题属于新定义类几何题，核心是准确理解新定义的内涵，结合等腰三角形性质和全等判定知识逐一筛选符合条件的三角形对，解题时要注意避免漏数，考查了基础知识的灵活运用和对新定义的迁移理解能力。
【难度系数】
0.6
10. 如图，$A_1,A_2,A_3$是$∠ MON$的边$ON$上顺次排列的三个不同的点，$B_1,B_2$是$∠ MON$的边$OM$上顺次排列的两个不同的点，且有$OA_1 = A_1B_1 = B_1A_2 = A_2B_2 = B_2A_3$。
(1)当$∠ MB_1A_2=45°$时，$∠ MON=$
(2)若$OM$边上不存在点$B_3$，使得$A_3B_3 = B_2A_3$，则$∠ MON$的度数最小是
(1)当$∠ MB_1A_2=45°$时，$∠ MON=$
15°
；(2)若$OM$边上不存在点$B_3$，使得$A_3B_3 = B_2A_3$，则$∠ MON$的度数最小是
18°
。答案
10. (1)15° (2)18° 【点拨】(1)
∵OA₁=A₁B₁=B₁A₂，
∴∠MON= ∠A₁B₁O, ∠B₁A₂ = ∠B₁A₂A₁.
∵∠B₁A₁A₂=∠MON+∠A₁B₁O,∠MB₁A₂=∠MON+∠B₁A₂A₁,
∴∠B₁A₂A₁ = ∠B₁A₁A₂ = 2∠MON,
∴∠MB₁A₂= 3∠MON= 45°,
∴∠MON = 15°. (2)
∵B₁A₂=A₂B₂=B₂A₃,
∴∠A₂B₁M=∠A₂B₂B₁= 3∠MON, ∠B₂A₂A₃ = ∠B₂A₃A₂.
∵∠B₂A₂A₃ = ∠MON + ∠A₂B₂B₁ = 4∠MON,
∴∠MB₂A₃ = ∠MON+∠B₂A₃A₂=5∠MON.
∵OM边上不存在点B₃,使得A₃B₃=B₂A₃,
∴∠MB₂A₃的度数最小是90°,
∴5∠MON=90°,
∴∠MON的度数最小是18°.
∵OA₁=A₁B₁=B₁A₂，
∴∠MON= ∠A₁B₁O, ∠B₁A₂ = ∠B₁A₂A₁.
∵∠B₁A₁A₂=∠MON+∠A₁B₁O,∠MB₁A₂=∠MON+∠B₁A₂A₁,
∴∠B₁A₂A₁ = ∠B₁A₁A₂ = 2∠MON,
∴∠MB₁A₂= 3∠MON= 45°,
∴∠MON = 15°. (2)
∵B₁A₂=A₂B₂=B₂A₃,
∴∠A₂B₁M=∠A₂B₂B₁= 3∠MON, ∠B₂A₂A₃ = ∠B₂A₃A₂.
∵∠B₂A₂A₃ = ∠MON + ∠A₂B₂B₁ = 4∠MON,
∴∠MB₂A₃ = ∠MON+∠B₂A₃A₂=5∠MON.
∵OM边上不存在点B₃,使得A₃B₃=B₂A₃,
∴∠MB₂A₃的度数最小是90°,
∴5∠MON=90°,
∴∠MON的度数最小是18°.
解析
【分析】
(1) 已知多组线段相等，可先利用等腰三角形“等边对等角”的性质得到对应底角相等，再结合三角形外角等于与它不相邻的两个内角和的性质，逐步推导出∠MB₁A₂和∠MON的数量关系，代入已知角度即可求出∠MON的度数。
(2) 延续第一问的推导思路，继续用等边对等角和三角形外角性质推出∠MB₂A₃与∠MON的倍数关系；“OM边上不存在点B₃使得A₃B₃=B₂A₃”说明以A₃为圆心、B₂A₃长为半径的弧与OM仅交于B₂一点，即∠MB₂A₃≥90°，求∠MON的最小值时取∠MB₂A₃=90°计算即可。
【解析】
(1) 设∠MON = x，
∵ OA₁ = A₁B₁，
∴ ∠A₁B₁O = ∠MON = x，
∵ ∠B₁A₁A₂是△OA₁B₁的外角，
∴ ∠B₁A₁A₂ = ∠MON + ∠A₁B₁O = 2x，
又
∵ A₁B₁ = B₁A₂，
∴ ∠B₁A₂A₁ = ∠B₁A₁A₂ = 2x，
∵ ∠MB₁A₂是△OA₂B₁的外角，
∴ ∠MB₁A₂ = ∠MON + ∠B₁A₂A₁ = x + 2x = 3x，
已知∠MB₁A₂=45°，即3x=45°，解得x=15°。
(2) 设∠MON = x，
由(1)的推导可得∠A₂B₁M=3x，
∵ A₂B₂ = B₁A₂，
∴ ∠A₂B₂B₁ = ∠A₂B₁M = 3x，
∵ ∠B₂A₂A₃是△OA₂B₂的外角，
∴ ∠B₂A₂A₃ = ∠MON + ∠A₂B₂B₁ = x + 3x = 4x，
又
∵ A₂B₂ = B₂A₃，
∴ ∠B₂A₃A₂ = ∠B₂A₂A₃ = 4x，
∵ ∠MB₂A₃是△OA₃B₂的外角，
∴ ∠MB₂A₃ = ∠MON + ∠B₂A₃A₂ = x + 4x = 5x，
∵ OM边上不存在点B₃使得A₃B₃ = B₂A₃，因此∠MB₂A₃≥90°，
求∠MON的最小度数时，取∠MB₂A₃=90°，即5x=90°，解得x=18°。
【答案】
(1)15°；(2)18°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题考查等腰三角形性质和三角形外角性质的综合运用，解题核心是通过多次运用等边对等角和外角性质推导角度间的倍数关系，第二问将“不存在满足条件的点”转化为角度范围要求，体现了几何中的转化思想，能够较好地锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
(1) 已知多组线段相等，可先利用等腰三角形“等边对等角”的性质得到对应底角相等，再结合三角形外角等于与它不相邻的两个内角和的性质，逐步推导出∠MB₁A₂和∠MON的数量关系，代入已知角度即可求出∠MON的度数。
(2) 延续第一问的推导思路，继续用等边对等角和三角形外角性质推出∠MB₂A₃与∠MON的倍数关系；“OM边上不存在点B₃使得A₃B₃=B₂A₃”说明以A₃为圆心、B₂A₃长为半径的弧与OM仅交于B₂一点，即∠MB₂A₃≥90°，求∠MON的最小值时取∠MB₂A₃=90°计算即可。
【解析】
(1) 设∠MON = x，
∵ OA₁ = A₁B₁，
∴ ∠A₁B₁O = ∠MON = x，
∵ ∠B₁A₁A₂是△OA₁B₁的外角，
∴ ∠B₁A₁A₂ = ∠MON + ∠A₁B₁O = 2x，
又
∵ A₁B₁ = B₁A₂，
∴ ∠B₁A₂A₁ = ∠B₁A₁A₂ = 2x，
∵ ∠MB₁A₂是△OA₂B₁的外角，
∴ ∠MB₁A₂ = ∠MON + ∠B₁A₂A₁ = x + 2x = 3x，
已知∠MB₁A₂=45°，即3x=45°，解得x=15°。
(2) 设∠MON = x，
由(1)的推导可得∠A₂B₁M=3x，
∵ A₂B₂ = B₁A₂，
∴ ∠A₂B₂B₁ = ∠A₂B₁M = 3x，
∵ ∠B₂A₂A₃是△OA₂B₂的外角，
∴ ∠B₂A₂A₃ = ∠MON + ∠A₂B₂B₁ = x + 3x = 4x，
又
∵ A₂B₂ = B₂A₃，
∴ ∠B₂A₃A₂ = ∠B₂A₂A₃ = 4x，
∵ ∠MB₂A₃是△OA₃B₂的外角，
∴ ∠MB₂A₃ = ∠MON + ∠B₂A₃A₂ = x + 4x = 5x，
∵ OM边上不存在点B₃使得A₃B₃ = B₂A₃，因此∠MB₂A₃≥90°，
求∠MON的最小度数时，取∠MB₂A₃=90°，即5x=90°，解得x=18°。
【答案】
(1)15°；(2)18°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题考查等腰三角形性质和三角形外角性质的综合运用，解题核心是通过多次运用等边对等角和外角性质推导角度间的倍数关系，第二问将“不存在满足条件的点”转化为角度范围要求，体现了几何中的转化思想，能够较好地锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
