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11. 如图,在等边三角形 ABC 中,点 D 是 BC 边上一点(点 D 不与端点重合).作点 D 关于直线 AB 的对称点 E,连接 AE,在射线 DA 上取一点 F,使∠EFD=60°,延长 EF 与 AC 所在直线交于点 G.
(1)求证:∠CAD=∠AHG;
(2)若 AD=2,求 EG 的长;
(3)当点 D 在 BC 边上运动时,△ABC,△ABD,△AEG 的面积之间的数量关系为
(1)求证:∠CAD=∠AHG;
(2)若 AD=2,求 EG 的长;
(3)当点 D 在 BC 边上运动时,△ABC,△ABD,△AEG 的面积之间的数量关系为
$S_{△ ABC}=2S_{△ ABD}+S_{△ AEG}$
.答案
11. (1)【证明】
∵△ABC是等边三角形,
∴∠BAC=60°.
∵∠EFD=60°,
∴∠BAC=∠EFD.
∴∠HAF+∠CAD=∠HAF+∠AHG.
∴∠CAD=∠AHG. (2)【解】
∵点D关于直线AB的对称点为点E，
∴AE=AD=2,∠BAE=∠BAD. 设∠BAE=∠BAD=α， 则∠EAG = ∠BAC + ∠BAE = 60° + α, ∠FAG = ∠BAC - ∠BAD = 60° - α.
∵∠AFG=∠EFD=60°,
∴∠AGF = 180° - ∠AFG - ∠FAG = 180° - 60° - (60° - α) = 60° + α.
∴∠EAG=∠AGF.
∴EG=AE=2. (3)$S_{△ ABC}=2S_{△ ABD}+S_{△ AEG}$ 【点拨】如图,在 BC 上截取 CQ = BD,连接 AQ,设∠BAE=∠BAD=x.易得△ABD≌△ACQ.
∴$S_{△ ABD}=S_{△ ACQ}$,∠CAQ = ∠BAD = x, AD = AQ.
∴∠DAQ= 60° - 2x, 同(2)得 ∠EAG = ∠AGF = 60° + x,
∴∠AEG=180°-2(60°+x)= 60°-2x.
∴∠AEG=∠DAQ. 易知 AE=AD=EG=AQ,
∴△EAG≌△ADQ(SAS),
∴$S_{△ AEG}= S_{△ ADQ}$.
∴$S_{△ ABC} = S_{△ BAD} + S_{△ ACQ} + S_{△ ADQ} = 2S_{△ ABD} + S_{△ AEG}$.
解析
【分析】
(1) 要证∠CAD=∠AHG，先利用等边三角形内角为60°的性质，结合已知∠EFD=60°，找到角的和差关系，通过等量代换即可得证；
(2) 求EG的长，先根据轴对称的性质得到AE=AD且∠BAE=∠BAD，再通过角度计算推导∠EAG和∠AGE相等，利用等角对等边得到EG=AE即可求解；
(3) 探究面积关系，采用构造全等的方法，在BC上截取CQ=BD，分别证明△ABD≌△ACQ、△EAG≌△ADQ，将面积转化后结合△ABC的面积组成推导三者关系。
【解析】
(1) 证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°。
∵∠EFD=60°，
∴∠BAC=∠EFD。
∵∠EFD是△AHF的外角，即∠EFD=∠HAF+∠AHG，且∠BAC=∠HAF+∠CAD，
∴∠HAF+∠CAD=∠HAF+∠AHG，
化简得∠CAD=∠AHG。
(2) 解：
∵点D关于直线AB的对称点为点E，
∴AE=AD=2，∠BAE=∠BAD。
设∠BAE=∠BAD=α，
则∠EAG = ∠BAC + ∠BAE = 60° + α，∠FAG = ∠BAC - ∠BAD = 60° - α。
∵∠AFG=∠EFD=60°（对顶角相等），
在△AFG中，由三角形内角和为180°得：
∠AGF = 180° - ∠AFG - ∠FAG = 180° - 60° - (60° - α) = 60° + α，
∴∠EAG=∠AGF，
∴EG=AE=2。
(3) 解：
如图，在BC上截取CQ = BD，连接AQ，设∠BAE=∠BAD=x。
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠B=∠ACB=60°，
∴△ABD≌△ACQ（SAS），
∴$S_{△ ABD}=S_{△ ACQ}$，∠CAQ = ∠BAD = x，AD = AQ，
∴∠DAQ= 60° - 2x。
同(2)推导得 ∠EAG = ∠AGF = 60° + x，
在△AEG中，∠AEG=180°-2(60°+x)= 60°-2x，
∴∠AEG=∠DAQ。
由轴对称和(2)的结论得AE=AD=EG=AQ，
在△EAG和△ADQ中：
$\{\begin{array}{l}AE=AD \\∠AEG=∠DAQ \\EG=AQ\end{array} $
∴△EAG≌△ADQ(SAS)，
∴$S_{△ AEG}= S_{△ ADQ}$。
∵$S_{△ ABC} = S_{△ BAD} + S_{△ ADQ} + S_{△ ACQ}$，代入等量关系得：
$S_{△ ABC} = 2S_{△ ABD} + S_{△ AEG}$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $EG=2$；
(3) $S_{△ ABC}=2S_{△ ABD}+S_{△ AEG}$
【知识点】
等边三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查了等边三角形、轴对称、全等三角形的相关知识，前两问侧重角的等量代换和等角对等边的应用，第三问需要通过构造全等三角形实现面积的转化，对逻辑推理能力和几何构造思维有一定要求。
【难度系数】
0.55
(1) 要证∠CAD=∠AHG，先利用等边三角形内角为60°的性质，结合已知∠EFD=60°，找到角的和差关系，通过等量代换即可得证；
(2) 求EG的长，先根据轴对称的性质得到AE=AD且∠BAE=∠BAD，再通过角度计算推导∠EAG和∠AGE相等，利用等角对等边得到EG=AE即可求解；
(3) 探究面积关系，采用构造全等的方法，在BC上截取CQ=BD，分别证明△ABD≌△ACQ、△EAG≌△ADQ，将面积转化后结合△ABC的面积组成推导三者关系。
【解析】
(1) 证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°。
∵∠EFD=60°，
∴∠BAC=∠EFD。
∵∠EFD是△AHF的外角，即∠EFD=∠HAF+∠AHG，且∠BAC=∠HAF+∠CAD，
∴∠HAF+∠CAD=∠HAF+∠AHG，
化简得∠CAD=∠AHG。
(2) 解：
∵点D关于直线AB的对称点为点E，
∴AE=AD=2，∠BAE=∠BAD。
设∠BAE=∠BAD=α，
则∠EAG = ∠BAC + ∠BAE = 60° + α，∠FAG = ∠BAC - ∠BAD = 60° - α。
∵∠AFG=∠EFD=60°（对顶角相等），
在△AFG中，由三角形内角和为180°得：
∠AGF = 180° - ∠AFG - ∠FAG = 180° - 60° - (60° - α) = 60° + α，
∴∠EAG=∠AGF，
∴EG=AE=2。
(3) 解：
如图，在BC上截取CQ = BD，连接AQ，设∠BAE=∠BAD=x。
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠B=∠ACB=60°，
∴△ABD≌△ACQ（SAS），
∴$S_{△ ABD}=S_{△ ACQ}$，∠CAQ = ∠BAD = x，AD = AQ，
∴∠DAQ= 60° - 2x。
同(2)推导得 ∠EAG = ∠AGF = 60° + x，
在△AEG中，∠AEG=180°-2(60°+x)= 60°-2x，
∴∠AEG=∠DAQ。
由轴对称和(2)的结论得AE=AD=EG=AQ，
在△EAG和△ADQ中：
$\{\begin{array}{l}AE=AD \\∠AEG=∠DAQ \\EG=AQ\end{array} $
∴△EAG≌△ADQ(SAS)，
∴$S_{△ AEG}= S_{△ ADQ}$。
∵$S_{△ ABC} = S_{△ BAD} + S_{△ ADQ} + S_{△ ACQ}$，代入等量关系得：
$S_{△ ABC} = 2S_{△ ABD} + S_{△ AEG}$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $EG=2$；
(3) $S_{△ ABC}=2S_{△ ABD}+S_{△ AEG}$
【知识点】
等边三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查了等边三角形、轴对称、全等三角形的相关知识，前两问侧重角的等量代换和等角对等边的应用，第三问需要通过构造全等三角形实现面积的转化，对逻辑推理能力和几何构造思维有一定要求。
【难度系数】
0.55
12. 新题型存在性探究题 如图①，已知直线$y=2x+2$与y轴、x轴分别交于A，B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰直角三角形ABC.
(1)求点C的坐标，并求出直线AC，BC的表达式.
(2)如图②，直线CB交y轴于点E，在CB的延长线上取一点D，连接AD，且$AD=AC$，则点D的坐标为
(3)如图③，在(1)的条件下，直线AC交x轴于点M，$P(-\dfrac{5}{2},k)$是线段BC上一点，在线段BM上是否存在一点N，使直线PN平分$△ BCM$的面积？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
(1)求点C的坐标，并求出直线AC，BC的表达式.
(2)如图②，直线CB交y轴于点E，在CB的延长线上取一点D，连接AD，且$AD=AC$，则点D的坐标为
(1,-1)
.(3)如图③，在(1)的条件下，直线AC交x轴于点M，$P(-\dfrac{5}{2},k)$是线段BC上一点，在线段BM上是否存在一点N，使直线PN平分$△ BCM$的面积？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
答案
12. 【解】(1)如图①,过点C作CH⊥x轴,垂足为H. 在直线 y=2x+2 中,令 x=0,可得 y=2,
∴A(0,2). 令 y=0,可得 x=-1,
∴B(-1,0).
∴OA=2,OB=1.
∵△ABC 为等腰直角三角形,
∴AB=BC,∠ABC=90°.
∴∠CBH+∠ABO=90°.
∵∠AOB=90°,
∴∠BAO+∠ABO=90°.
∴∠BAO=∠CBH. 在△CBH 和△BAO 中,
∵$\begin{cases} ∠CHB=∠BOA=90°, \\ ∠CBH=∠BAO, \\ BC=AB, \end{cases}$
∴△CBH≌△BAO(AAS).
∴CH=OB=1,HB=OA=2.
∴OH=OB+HB=3.
∴C(-3,1). 设直线 AC 的表达式为 y=kx+b,把 A(0,2),C(-3,1)的坐标代入,得$\begin{cases} 2=b, \\ 1=-3k+b, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} k=\dfrac{1}{3}, \\ b=2, \end{cases}$
∴直线 AC 的表达式为 $y=\dfrac{1}{3}x+2$. 设直线 BC 的表达式为 y = mx + n, 把 B(-1,0), C(-3,1)的坐标代入,得 $\begin{cases} 0=-m+n, \\ 1=-3m+n, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} m=-\dfrac{1}{2}, \\ n=-\dfrac{1}{2}, \end{cases}$
∴直线 BC 的表达式为 $y=-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}$.
(2)(1,-1) 【点拨】如图②,过点 D 作 DF⊥y 轴于点 F,过点 C 作 CG⊥y 轴于点 G.∵C(-3,1),
∴OG=1,
∴AG=OA-OG=1.
∵在等腰直角三角形 ABC 中, AB=BC,∠ABC=90°,
∴∠BAC=∠BCA=45°.
∵AD=AC,
∴∠ACD=∠ADC=45°,
∴∠CAD = 180° - 45° - 45° = 90°, 即 ∠CAG + ∠DAF=90°. 又
∵∠DAF+∠ADF=90°,
∴∠CAG=∠ADF. 在△CAG 和△ADF 中,
∵$\begin{cases} ∠AGC=∠DFA=90°, \\ ∠CAG=∠ADF, \\ AC=AD, \end{cases}$
∴△CAG≌△ADF(AAS),
∴DF=AG=1,AF=CG=3,
∴OF=AF-OA=3-2=1,
∴D(1,-1).
(3)在线段 BM 上存在一点 N,使直线 PN 平分△BCM 的面积. 如图③.∵直线 BC 的表达式为 $y=-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}$, $P(-\dfrac{5}{2},k)$是线段 BC 上一点,
∴$k=-\dfrac{1}{2}×(-\dfrac{5}{2})-\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{4}$,
∴$P(-\dfrac{5}{2},\dfrac{3}{4})$. 将 y=0 代入直线 AC 的表达式 $y=\dfrac{1}{3}x+2$,得 0 = $\dfrac{1}{3}x+2$,解得 x=-6,
∴M(-6,0),
∴BM=-1-(-6)=5,
∴$S_{△BCM}=\dfrac{1}{2}×5×1=\dfrac{5}{2}$.
∵$S_{△PBN}=\dfrac{1}{2}S_{△BCM}$,
∴$\dfrac{1}{2}BN×\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{2}×\dfrac{5}{2}$,解得 $BN=\dfrac{10}{3}$,
∴ON=OB+BN=1+$\dfrac{10}{3}$=$\dfrac{13}{3}$,
∴$N(-\dfrac{13}{3},0)$.
解析
【分析】
(1) 首先根据直线解析式求出与坐标轴的交点A、B的坐标，利用等腰直角三角形的性质，过点C作x轴的垂线构造全等三角形，通过全等三角形对应边相等求出点C的坐标，再用待定系数法分别代入两点坐标求解直线AC、BC的表达式。
(2) 结合等腰直角三角形的性质和AD=AC的条件，可推出∠CAD为直角，过C、D分别作y轴的垂线构造全等三角形，利用全等三角形的性质求出点D到坐标轴的距离，进而得到D点坐标。
(3) 先将P点横坐标代入BC的解析式求出k值，得到P点坐标；再求出直线AC与x轴交点M的坐标，计算出△BCM的面积；若PN平分△BCM的面积，则△PBN的面积为△BCM面积的一半，以BN为底、P点纵坐标为高列方程求出BN的长度，即可得到N点坐标。
【解析】
(1) 如图①，过点C作CH⊥x轴，垂足为H。在直线$y=2x+2$中，令$x=0$，可得$y=2$，
∴$A(0,2)$。令$y=0$，可得$x=-1$，
∴$B(-1,0)$。
∴$OA=2$，$OB=1$。
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴$AB=BC$，$∠ABC=90°$。
∴$∠CBH+∠ABO=90°$。
∵$∠AOB=90°$，
∴$∠BAO+∠ABO=90°$。
∴$∠BAO=∠CBH$。
在△CBH和△BAO中，$\begin{cases} ∠CHB=∠BOA=90°, \\ ∠CBH=∠BAO, \\ BC=AB, \end{cases}$
∴△CBH≌△BAO(AAS)。
∴$CH=OB=1$，$HB=OA=2$。
∴$OH=OB+HB=3$。
∴$C(-3,1)$。
设直线AC的表达式为$y=kx+b$，把$A(0,2)$，$C(-3,1)$的坐标代入，得$\begin{cases} 2=b, \\ 1=-3k+b, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} k=\dfrac{1}{3}, \\ b=2, \end{cases}$
∴直线AC的表达式为$y=\dfrac{1}{3}x+2$。
设直线BC的表达式为$y = mx + n$，把$B(-1,0)$，$C(-3,1)$的坐标代入，得$\begin{cases} 0=-m+n, \\ 1=-3m+n, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} m=-\dfrac{1}{2}, \\ n=-\dfrac{1}{2}, \end{cases}$
∴直线BC的表达式为$y=-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}$。
(2) 如图②，过点D作$DF⊥y$轴于点F，过点C作$CG⊥y$轴于点G。
∵$C(-3,1)$，
∴$OG=1$，
∴$AG=OA-OG=1$。
∵在等腰直角三角形ABC中，$AB=BC$，$∠ABC=90°$，
∴$∠BAC=∠BCA=45°$。
∵$AD=AC$，
∴$∠ACD=∠ADC=45°$，
∴$∠CAD = 180° - 45° - 45° = 90°$，即$∠CAG + ∠DAF=90°$。
又
∵$∠DAF+∠ADF=90°$，
∴$∠CAG=∠ADF$。
在△CAG和△ADF中，$\begin{cases} ∠AGC=∠DFA=90°, \\ ∠CAG=∠ADF, \\ AC=AD, \end{cases}$
∴△CAG≌△ADF(AAS)，
∴$DF=AG=1$，$AF=CG=3$，
∴$OF=AF-OA=3-2=1$，
∴$D(1,-1)$。
(3) 在线段BM上存在一点N，使直线PN平分$△ BCM$的面积，如图③。
∵直线BC的表达式为$y=-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}$，$P(-\dfrac{5}{2},k)$是线段BC上一点，
∴$k=-\dfrac{1}{2}×(-\dfrac{5}{2})-\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{4}$，
∴$P(-\dfrac{5}{2},\dfrac{3}{4})$。
将$y=0$代入直线AC的表达式$y=\dfrac{1}{3}x+2$，得$0 = \dfrac{1}{3}x+2$，解得$x=-6$，
∴$M(-6,0)$，
∴$BM=-1-(-6)=5$，
∴$S_{△BCM}=\dfrac{1}{2}×5×1=\dfrac{5}{2}$。
∵$S_{△PBN}=\dfrac{1}{2}S_{△BCM}$，
∴$\dfrac{1}{2}BN×\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{2}×\dfrac{5}{2}$，解得$BN=\dfrac{10}{3}$，
∴$ON=OB+BN=1+\dfrac{10}{3}=\dfrac{13}{3}$，
∴$N(-\dfrac{13}{3},0)$。
【答案】
(1) $C(-3,1)$，直线AC的表达式为$y=\dfrac{1}{3}x+2$，直线BC的表达式为$y=-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}$
(2) $(1,-1)$
(3) 存在，点N的坐标为$(-\dfrac{13}{3},0)$
【知识点】
一次函数综合，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是一次函数与几何结合的综合探究题，融合了坐标求解、待定系数法求解析式、全等三角形构造、三角形面积计算等考点，需要熟练掌握几何图形的基本性质，灵活运用数形结合思想构造辅助线，对综合运用知识解决问题的能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 首先根据直线解析式求出与坐标轴的交点A、B的坐标，利用等腰直角三角形的性质，过点C作x轴的垂线构造全等三角形，通过全等三角形对应边相等求出点C的坐标，再用待定系数法分别代入两点坐标求解直线AC、BC的表达式。
(2) 结合等腰直角三角形的性质和AD=AC的条件，可推出∠CAD为直角，过C、D分别作y轴的垂线构造全等三角形，利用全等三角形的性质求出点D到坐标轴的距离，进而得到D点坐标。
(3) 先将P点横坐标代入BC的解析式求出k值，得到P点坐标；再求出直线AC与x轴交点M的坐标，计算出△BCM的面积；若PN平分△BCM的面积，则△PBN的面积为△BCM面积的一半，以BN为底、P点纵坐标为高列方程求出BN的长度，即可得到N点坐标。
【解析】
(1) 如图①，过点C作CH⊥x轴，垂足为H。在直线$y=2x+2$中，令$x=0$，可得$y=2$，
∴$A(0,2)$。令$y=0$，可得$x=-1$，
∴$B(-1,0)$。
∴$OA=2$，$OB=1$。
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴$AB=BC$，$∠ABC=90°$。
∴$∠CBH+∠ABO=90°$。
∵$∠AOB=90°$，
∴$∠BAO+∠ABO=90°$。
∴$∠BAO=∠CBH$。
在△CBH和△BAO中，$\begin{cases} ∠CHB=∠BOA=90°, \\ ∠CBH=∠BAO, \\ BC=AB, \end{cases}$
∴△CBH≌△BAO(AAS)。
∴$CH=OB=1$，$HB=OA=2$。
∴$OH=OB+HB=3$。
∴$C(-3,1)$。
设直线AC的表达式为$y=kx+b$，把$A(0,2)$，$C(-3,1)$的坐标代入，得$\begin{cases} 2=b, \\ 1=-3k+b, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} k=\dfrac{1}{3}, \\ b=2, \end{cases}$
∴直线AC的表达式为$y=\dfrac{1}{3}x+2$。
设直线BC的表达式为$y = mx + n$，把$B(-1,0)$，$C(-3,1)$的坐标代入，得$\begin{cases} 0=-m+n, \\ 1=-3m+n, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} m=-\dfrac{1}{2}, \\ n=-\dfrac{1}{2}, \end{cases}$
∴直线BC的表达式为$y=-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}$。
(2) 如图②，过点D作$DF⊥y$轴于点F，过点C作$CG⊥y$轴于点G。
∵$C(-3,1)$，
∴$OG=1$，
∴$AG=OA-OG=1$。
∵在等腰直角三角形ABC中，$AB=BC$，$∠ABC=90°$，
∴$∠BAC=∠BCA=45°$。
∵$AD=AC$，
∴$∠ACD=∠ADC=45°$，
∴$∠CAD = 180° - 45° - 45° = 90°$，即$∠CAG + ∠DAF=90°$。
又
∵$∠DAF+∠ADF=90°$，
∴$∠CAG=∠ADF$。
在△CAG和△ADF中，$\begin{cases} ∠AGC=∠DFA=90°, \\ ∠CAG=∠ADF, \\ AC=AD, \end{cases}$
∴△CAG≌△ADF(AAS)，
∴$DF=AG=1$，$AF=CG=3$，
∴$OF=AF-OA=3-2=1$，
∴$D(1,-1)$。
(3) 在线段BM上存在一点N，使直线PN平分$△ BCM$的面积，如图③。
∵直线BC的表达式为$y=-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}$，$P(-\dfrac{5}{2},k)$是线段BC上一点，
∴$k=-\dfrac{1}{2}×(-\dfrac{5}{2})-\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{4}$，
∴$P(-\dfrac{5}{2},\dfrac{3}{4})$。
将$y=0$代入直线AC的表达式$y=\dfrac{1}{3}x+2$，得$0 = \dfrac{1}{3}x+2$，解得$x=-6$，
∴$M(-6,0)$，
∴$BM=-1-(-6)=5$，
∴$S_{△BCM}=\dfrac{1}{2}×5×1=\dfrac{5}{2}$。
∵$S_{△PBN}=\dfrac{1}{2}S_{△BCM}$，
∴$\dfrac{1}{2}BN×\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{2}×\dfrac{5}{2}$，解得$BN=\dfrac{10}{3}$，
∴$ON=OB+BN=1+\dfrac{10}{3}=\dfrac{13}{3}$，
∴$N(-\dfrac{13}{3},0)$。
【答案】
(1) $C(-3,1)$，直线AC的表达式为$y=\dfrac{1}{3}x+2$，直线BC的表达式为$y=-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}$
(2) $(1,-1)$
(3) 存在，点N的坐标为$(-\dfrac{13}{3},0)$
【知识点】
一次函数综合，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是一次函数与几何结合的综合探究题，融合了坐标求解、待定系数法求解析式、全等三角形构造、三角形面积计算等考点，需要熟练掌握几何图形的基本性质，灵活运用数形结合思想构造辅助线，对综合运用知识解决问题的能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
