登录
9. [2026 宿州模拟] 如图,钝角三角形ABC的面积为14,最长边AB=7,BD平分∠ABC,点M,N分别是BD,BC上的动点,则CM+MN的最小值为
4
.答案
9. 4 【点拨】如图,过点 C 作 CE⊥AB 于点 E,交 BD 于点 M,过点 M 作 MN⊥BC 于点 N,此时 CM+MN 有最小值.
∵BD平分∠ABC,ME⊥AB,MN⊥BC,
∴MN=ME,
∴CM+MN = CM+ME = CE.
∵三角形 ABC 的面积为 14,$AB=7,∴\frac{1}{2}×7·CE=14$,
∴CE=4,即CM+MN 的最小值为 4.
解析
【分析】
本题是求两条动线段和的最小值问题，结合BD是角平分线的已知条件，首先利用角平分线的性质完成线段转化：角平分线上的点到角两边的距离相等，可将MN转化为点M到AB边的垂线段长度，此时CM+MN就转化为点C到AB边上某点的线段长度，再根据“垂线段最短”可知，点C到AB的垂线段长度就是CM+MN的最小值，最后结合三角形面积公式计算该垂线段的长度即可。
【解析】
解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于点N，此时CM+MN取得最小值。
∵BD平分∠ABC，ME⊥AB，MN⊥BC，根据角平分线的性质可得：MN=ME，
∴CM+MN = CM+ME = CE。
已知钝角三角形ABC的面积为14，AB=7，
由三角形面积公式得$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AB × CE$，代入数据得：
$\frac{1}{2} × 7 × CE = 14$，
解得CE=4，即CM+MN的最小值为4。
【答案】
4
【知识点】
角平分线的性质、垂线段最短、三角形面积计算
【点评】
本题属于几何最值类常规题型，解题核心是借助角平分线的性质完成动线段的等量转化，将未知的两线段和最值问题转化为熟悉的点到直线的距离问题，同时结合三角形面积公式求解，考查了学生的转化思想和几何作图分析能力。
【难度系数】
0.7
本题是求两条动线段和的最小值问题，结合BD是角平分线的已知条件，首先利用角平分线的性质完成线段转化：角平分线上的点到角两边的距离相等，可将MN转化为点M到AB边的垂线段长度，此时CM+MN就转化为点C到AB边上某点的线段长度，再根据“垂线段最短”可知，点C到AB的垂线段长度就是CM+MN的最小值，最后结合三角形面积公式计算该垂线段的长度即可。
【解析】
解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于点N，此时CM+MN取得最小值。
∵BD平分∠ABC，ME⊥AB，MN⊥BC，根据角平分线的性质可得：MN=ME，
∴CM+MN = CM+ME = CE。
已知钝角三角形ABC的面积为14，AB=7，
由三角形面积公式得$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AB × CE$，代入数据得：
$\frac{1}{2} × 7 × CE = 14$，
解得CE=4，即CM+MN的最小值为4。
【答案】
4
【知识点】
角平分线的性质、垂线段最短、三角形面积计算
【点评】
本题属于几何最值类常规题型，解题核心是借助角平分线的性质完成动线段的等量转化，将未知的两线段和最值问题转化为熟悉的点到直线的距离问题，同时结合三角形面积公式求解，考查了学生的转化思想和几何作图分析能力。
【难度系数】
0.7
10. 如图，直线$MN ⊥ PQ$，垂足为$O$，点$A$是射线$OP$上一点，以$OA$为边在$OP$右侧作$∠ AOF = 24°$，且满足$OF = 4$.若点$B$是射线$ON$上的一个动点(不与点$O$重合)，连接$AB$，作$△ AOB$的两个外角平分线交于点$C$，在点$B$的运动过程中，当$CF$取最小值时，$∠ OFC$的度数为________.
答案
10. 69° 【点拨】如图,作 CE⊥PQ 于点 E,CG⊥MN 于点 G,CH⊥AB 于点 H,连接 OC.
∵AC 平分∠PAB,CE⊥PQ,CH⊥AB,
∴CE=CH.同理可得 CG=CH,
∴CE=CG,
∴OC 平分∠AOB,即点 C 在∠AOB 的平分线上.
∵MN⊥PQ,
∴∠AOB=90°,
∴∠AOC=45°.
∵∠AOF=24°,
∴∠FOC=45°-24°=21°.作 FC'⊥OC 于点 C',则C'F≤CF,即当 CF 取最小值时,点 C 与 C' 重合.
∵∠FC'O=90°,
∴∠OFC'=90°-21°=69°,
∴当 CF 取最小值时,∠OFC 的度数为 69°.
解析
【分析】
解决本题可分三步思考：第一步确定动点C的运动轨迹，C是△AOB两个外角的平分线交点，结合角平分线的性质和判定，可推出C到MN、PQ的距离相等，因此C在∠AOB的角平分线上，为定直线；第二步求CF的最小值，点F是定点，C在定直线OC上运动，根据“垂线段最短”，当CF⊥OC时，CF长度最小；第三步计算此时∠OFC的度数，结合已知角度和直角三角形两锐角互余的性质即可求解。
【解析】
解：如图，作$CE⊥PQ$于点$E$，$CG⊥MN$于点$G$，$CH⊥AB$于点$H$，连接$OC$。
1. 确定点C的轨迹：
∵$AC$平分$∠PAB$，$CE⊥PQ$，$CH⊥AB$，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$CE=CH$。
同理，$BC$平分$∠ABN$，$CG⊥MN$，$CH⊥AB$，可得$CG=CH$。
∴$CE=CG$，根据角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，可知$OC$平分$∠AOB$，即点$C$始终在$∠AOB$的平分线上运动。
2. 找CF取最小值的位置：
∵$MN⊥PQ$，
∴$∠AOB=90°$，
∴$∠AOC=\frac{1}{2}∠AOB=45°$。
已知$∠AOF=24°$，
∴$∠FOC=∠AOC - ∠AOF=45° - 24°=21°$。
根据“垂线段最短”，过点$F$作$FC'⊥OC$于点$C'$，此时$CF$取最小值，点$C$与$C'$重合。
3. 计算角度：
在$Rt△FOC'$中，$∠FC'O=90°$，根据直角三角形两锐角互余，可得$∠OFC'=90° - ∠FOC=90° - 21°=69°$，即$∠OFC=69°$。
【答案】
$69°$
【知识点】
角平分线的性质与判定，垂线段最短，直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何综合题，解题核心是先利用角平分线的相关性质确定动点的运动轨迹，再结合垂线段最短找到最值对应的位置，最后进行角度计算，能够锻炼学生对几何基础性质的综合运用能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.4
解决本题可分三步思考：第一步确定动点C的运动轨迹，C是△AOB两个外角的平分线交点，结合角平分线的性质和判定，可推出C到MN、PQ的距离相等，因此C在∠AOB的角平分线上，为定直线；第二步求CF的最小值，点F是定点，C在定直线OC上运动，根据“垂线段最短”，当CF⊥OC时，CF长度最小；第三步计算此时∠OFC的度数，结合已知角度和直角三角形两锐角互余的性质即可求解。
【解析】
解：如图，作$CE⊥PQ$于点$E$，$CG⊥MN$于点$G$，$CH⊥AB$于点$H$，连接$OC$。
1. 确定点C的轨迹：
∵$AC$平分$∠PAB$，$CE⊥PQ$，$CH⊥AB$，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$CE=CH$。
同理，$BC$平分$∠ABN$，$CG⊥MN$，$CH⊥AB$，可得$CG=CH$。
∴$CE=CG$，根据角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，可知$OC$平分$∠AOB$，即点$C$始终在$∠AOB$的平分线上运动。
2. 找CF取最小值的位置：
∵$MN⊥PQ$，
∴$∠AOB=90°$，
∴$∠AOC=\frac{1}{2}∠AOB=45°$。
已知$∠AOF=24°$，
∴$∠FOC=∠AOC - ∠AOF=45° - 24°=21°$。
根据“垂线段最短”，过点$F$作$FC'⊥OC$于点$C'$，此时$CF$取最小值，点$C$与$C'$重合。
3. 计算角度：
在$Rt△FOC'$中，$∠FC'O=90°$，根据直角三角形两锐角互余，可得$∠OFC'=90° - ∠FOC=90° - 21°=69°$，即$∠OFC=69°$。
【答案】
$69°$
【知识点】
角平分线的性质与判定，垂线段最短，直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何综合题，解题核心是先利用角平分线的相关性质确定动点的运动轨迹，再结合垂线段最短找到最值对应的位置，最后进行角度计算，能够锻炼学生对几何基础性质的综合运用能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.4
11. [2026 池州期末] 如图,在$∠ AOB$ 的两边 $OA$,$OB$ 上分别取点 $M$,$N$,连接 $MN$.若 $MP$ 平分$∠ AMN$,$NP$ 平分$∠ MNB$.
(1)求证:$OP$ 平分$∠ AOB$;
(2)若 $MN=8$,且$△ PMN$ 与$△ OMN$ 的面积分别是16 和 24,则线段 $OM$ 与 $ON$ 的长度之和为
(1)求证:$OP$ 平分$∠ AOB$;
(2)若 $MN=8$,且$△ PMN$ 与$△ OMN$ 的面积分别是16 和 24,则线段 $OM$ 与 $ON$ 的长度之和为
20
.答案
11. (1)【证明】如图,过点 P 作 PC⊥OA,垂足为 C,过点 P 作 PD⊥MN,垂足为 D,过点 P 作 PE⊥OB,垂足为 E.
∵MP 平分∠AMN,PC⊥OA,PD⊥MN,
∴PC=PD.
∵NP 平分∠MNB,PD⊥MN,PE⊥OB,
∴PD=PE,
∴PC=PE,
∴OP 平分∠AOB.
(2)20 【点拨】
∵△PMN 的面积是 16,MN=8,
∴$\frac{1}{2}MN·PD=16$,即$\frac{1}{2}×8·PD=16,∴PD=4$,
∴PD=PC=PE=4.
∵△OMN 的面积是 24,
∴四边形 MONP 的面积=△PMN 的面积+△OMN 的面积=16+24=40,
∴△POM 的面积+△PON 的面积=40,
∴$\frac{1}{2}OM·PC+\frac{1}{2}ON·PE=40$,
∴$\frac{1}{2}OM·4+\frac{1}{2}ON·4=40,∴OM+ON=20$,
即线段 OM 与 ON 的长度之和为 20.
解析
【分析】
(1) 要证明OP平分∠AOB，根据角平分线的判定定理，只需证明点P到OA、OB的距离相等即可。已知MP、NP分别是两个角的平分线，我们可以过点P向OA、MN、OB分别作垂线，利用角平分线的性质得到三条垂线段的等量关系，进而推出P到OA和OB的距离相等，即可完成证明。
(2) 先根据△PMN的面积和MN的长度，求出点P到MN的垂线段PD的长度，由(1)的结论可知PD与P到OA、OB的距离相等。再将四边形MONP的面积拆分为△POM和△PON的面积之和，结合已知的两个三角形面积，代入面积公式即可求出OM+ON的长度。
【解析】
(1) 证明：如图，过点P作PC⊥OA，垂足为C，过点P作PD⊥MN，垂足为D，过点P作PE⊥OB，垂足为E。
∵MP平分∠AMN，PC⊥OA，PD⊥MN，
∴PC=PD。
∵NP平分∠MNB，PD⊥MN，PE⊥OB，
∴PD=PE，
∴PC=PE，
∴OP平分∠AOB。
(2) 已知△PMN的面积是16，MN=8，由三角形面积公式得：
$\frac{1}{2}MN·PD=16$，即$\frac{1}{2}×8·PD=16$，解得$PD=4$。
由(1)得$PD=PC=PE=4$。
∵△OMN的面积是24，
∴四边形MONP的面积=$S_{△ PMN}+S_{△ OMN}=16+24=40$，
即$S_{△ POM}+S_{△ PON}=40$，
代入面积公式得$\frac{1}{2}OM·PC+\frac{1}{2}ON·PE=40$，
将$PC=PE=4$代入得：$\frac{1}{2}OM×4+\frac{1}{2}ON×4=40$，
化简得$2(OM+ON)=40$，
∴$OM+ON=20$。
【答案】
(1) 证明：如图,过点 P 作 PC⊥OA,垂足为 C,过点 P 作 PD⊥MN,垂足为 D,过点 P 作 PE⊥OB,垂足为 E.
∵MP 平分∠AMN,PC⊥OA,PD⊥MN,
∴PC=PD.
∵NP 平分∠MNB,PD⊥MN,PE⊥OB,
∴PD=PE,
∴PC=PE,
∴OP 平分∠AOB.
(2) 20
【知识点】
角平分线的性质，角平分线的判定，三角形面积计算
【点评】
本题综合考查角平分线的性质与判定的应用，以及面积法求解线段和的问题，解题的关键是合理作垂线段辅助线，熟练运用角平分线相关定理，通过面积法建立线段之间的数量关系。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明OP平分∠AOB，根据角平分线的判定定理，只需证明点P到OA、OB的距离相等即可。已知MP、NP分别是两个角的平分线，我们可以过点P向OA、MN、OB分别作垂线，利用角平分线的性质得到三条垂线段的等量关系，进而推出P到OA和OB的距离相等，即可完成证明。
(2) 先根据△PMN的面积和MN的长度，求出点P到MN的垂线段PD的长度，由(1)的结论可知PD与P到OA、OB的距离相等。再将四边形MONP的面积拆分为△POM和△PON的面积之和，结合已知的两个三角形面积，代入面积公式即可求出OM+ON的长度。
【解析】
(1) 证明：如图，过点P作PC⊥OA，垂足为C，过点P作PD⊥MN，垂足为D，过点P作PE⊥OB，垂足为E。
∵MP平分∠AMN，PC⊥OA，PD⊥MN，
∴PC=PD。
∵NP平分∠MNB，PD⊥MN，PE⊥OB，
∴PD=PE，
∴PC=PE，
∴OP平分∠AOB。
(2) 已知△PMN的面积是16，MN=8，由三角形面积公式得：
$\frac{1}{2}MN·PD=16$，即$\frac{1}{2}×8·PD=16$，解得$PD=4$。
由(1)得$PD=PC=PE=4$。
∵△OMN的面积是24，
∴四边形MONP的面积=$S_{△ PMN}+S_{△ OMN}=16+24=40$，
即$S_{△ POM}+S_{△ PON}=40$，
代入面积公式得$\frac{1}{2}OM·PC+\frac{1}{2}ON·PE=40$，
将$PC=PE=4$代入得：$\frac{1}{2}OM×4+\frac{1}{2}ON×4=40$，
化简得$2(OM+ON)=40$，
∴$OM+ON=20$。
【答案】
(1) 证明：如图,过点 P 作 PC⊥OA,垂足为 C,过点 P 作 PD⊥MN,垂足为 D,过点 P 作 PE⊥OB,垂足为 E.
∵MP 平分∠AMN,PC⊥OA,PD⊥MN,
∴PC=PD.
∵NP 平分∠MNB,PD⊥MN,PE⊥OB,
∴PD=PE,
∴PC=PE,
∴OP 平分∠AOB.
(2) 20
【知识点】
角平分线的性质，角平分线的判定，三角形面积计算
【点评】
本题综合考查角平分线的性质与判定的应用，以及面积法求解线段和的问题，解题的关键是合理作垂线段辅助线，熟练运用角平分线相关定理，通过面积法建立线段之间的数量关系。
【难度系数】
0.7
12.【材料探究】如果一个点在一个角的平分线上，那么这个点到这个角的两边距离相等.反过来，如果一个点到一个角的两边的距离相等，那么这个点在这个角的平分线上吗？
如图①，点 Q 在$∠ AOB$内，且 $QC ⊥ OA$，$QD⊥ OB$，垂足分别为 C，D，$QC＝QD$，作射线 OQ.因为$∠ QCO＝∠ QDO＝90°$，$QC＝QD$，$OQ＝OQ$，所以 $\mathrm{Rt}△ QCO ≌ \mathrm{Rt}△ QDO$，所以$∠ AOQ＝∠ BOQ$，即点 Q 在$∠ AOB$的平分线上.
(1)材料中证明两个三角形全等的方法是
(2)【拓展探究】如图②，点 P 在$∠ AOB$内，点 M，N分别在 OB，OA 上，连接 PM 和 PN，若 $PM＝PN$且$∠ PMO＋∠ PNO＝180°$，能否说明点 P 在$∠ AOB$的平分线上？请说明理由.
(3)【拓展应用】如图③，$△ ABC$是边长为4的等边三角形，$△ BDC$是等腰三角形，且$∠ BDC＝120°$，以D为顶点作一个$60°$角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求$△ AMN$的周长.
如图①，点 Q 在$∠ AOB$内，且 $QC ⊥ OA$，$QD⊥ OB$，垂足分别为 C，D，$QC＝QD$，作射线 OQ.因为$∠ QCO＝∠ QDO＝90°$，$QC＝QD$，$OQ＝OQ$，所以 $\mathrm{Rt}△ QCO ≌ \mathrm{Rt}△ QDO$，所以$∠ AOQ＝∠ BOQ$，即点 Q 在$∠ AOB$的平分线上.
(1)材料中证明两个三角形全等的方法是
HL
.(2)【拓展探究】如图②，点 P 在$∠ AOB$内，点 M，N分别在 OB，OA 上，连接 PM 和 PN，若 $PM＝PN$且$∠ PMO＋∠ PNO＝180°$，能否说明点 P 在$∠ AOB$的平分线上？请说明理由.
(3)【拓展应用】如图③，$△ ABC$是边长为4的等边三角形，$△ BDC$是等腰三角形，且$∠ BDC＝120°$，以D为顶点作一个$60°$角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求$△ AMN$的周长.
答案
12. 【解】(1)HL
(2)能.理由如下:如图①,
过点 P 作 PE⊥OB 于点 E,PF⊥OA 于点 F,则∠PEM=∠PFN=90°.
∵ ∠PMO + ∠PME = 180°,∠PMO+∠PNO=180°,
∴∠PME=∠PNO.
在 △PME 和 △PNF 中,
∵$\begin{cases}∠PME=∠PNF,\\∠PEM=∠PFN,\\PM=PN,\end{cases}$
∴△PME≌△PNF(AAS),
∴PE=PF,
∴点 P 在∠AOB 的平分线上.
(3)
∵△BDC 是等腰三角形,且∠BDC=120°,
∴DB=DC,
∴∠DBC=∠BCD=30°.
∵△ABC 是边长为 4 的等边三角形,
∴∠ABC=∠BCA=60°,AB=AC=4,
∴∠DBA=∠DCA=90°.
如图②,延长 AB 至点 F,使 BF=CN,连接 DF,
则∠FBD=90°=∠DCN.
在△BDF 和△CDN 中,
∵$\begin{cases}BF=CN,\\∠FBD=∠DCN,\\DB=DC,\end{cases}$
∴△BDF≌△CDN(SAS),
∴∠BDF=∠CDN,DF=DN.
∵∠MDN=60°,
∴∠BDM+∠CDN=60°.
∴∠FDM=∠BDM+∠BDF=60°.
∴∠MDN=∠FDM.
在△DMN 和△DMF 中,
∵$\begin{cases}DM=DM,\\∠MDN=∠FDM,\\DN=DF,\end{cases}$
∴△DMN≌△DMF(SAS),
∴MN=MF.
∴△AMN 的周长 = AM+MN+AN = AM+MF+AN=AM+MB+BF+AN=AM+MB+CN+AN=AB+AC=8.
解析
【分析】
(1) 第一问考查直角三角形全等的判定，观察证明过程可知两个三角形均为直角三角形，给出了公共斜边和一组相等的直角边，对应直角三角形全等的特殊判定定理即可求解。
(2) 第二问要证明点P在角平分线上，根据材料给出的结论，只需证明点P到∠AOB两边的距离相等，因此过P作两边的垂线构造全等三角形，结合补角性质得到等角，结合已知PM=PN证明三角形全等，得到距离相等即可得证。
(3) 第三问求△AMN的周长，直接计算各边长度难度大，可通过构造全等三角形转化线段：结合等边三角形和等腰△BDC的角度特征，延长AB构造全等三角形，将CN转化为BF，再证明△DMN和△DMF全等，将MN转化为MF，最终把周长转化为AB与AC的和即可求解。
【解析】
(1) 材料中证明$\mathrm{Rt}△ QCO ≌ \mathrm{Rt}△ QDO$时，已知斜边$OQ=OQ$，一组直角边$QC=QD$，符合直角三角形全等的HL判定方法。
(2) 能说明点P在$∠ AOB$的平分线上，理由如下：
过点P作$PE⊥OB$于点E，$PF⊥OA$于点F，则$∠PEM=∠PFN=90°$。
∵ $∠PMO + ∠PME = 180°$，$∠PMO+∠PNO=180°$，
∴$∠PME=∠PNO$。
在$△PME$和$△PNF$中，
∵$\begin{cases}∠PME=∠PNF,\\∠PEM=∠PFN,\\PM=PN,\end{cases}$
∴$△PME≌△PNF(\mathrm{AAS})$，
∴$PE=PF$，
∴点P在$∠ AOB$的平分线上。
(3)
∵$△BDC$是等腰三角形，且$∠ BDC＝120°$，
∴$DB=DC$，
∴$∠DBC=∠BCD=30°$。
∵$△ABC$是边长为4的等边三角形，
∴$∠ABC=∠BCA=60°$，$AB=AC=4$，
∴$∠DBA=∠DCA=90°$。
如图②，延长AB至点F，使$BF=CN$，连接DF，
则$∠FBD=90°=∠DCN$。
在$△BDF$和$△CDN$中，
∵$\begin{cases}BF=CN,\\∠FBD=∠DCN,\\DB=DC,\end{cases}$
∴$△BDF≌△CDN(\mathrm{SAS})$，
∴$∠BDF=∠CDN$，$DF=DN$。
∵$∠MDN=60°$，
∴$∠BDM+∠CDN=60°$。
∴$∠FDM=∠BDM+∠BDF=60°$。
∴$∠MDN=∠FDM$。
在$△DMN$和$△DMF$中，
∵$\begin{cases}DM=DM,\\∠MDN=∠FDM,\\DN=DF,\end{cases}$
∴$△DMN≌△DMF(\mathrm{SAS})$，
∴$MN=MF$。
∴$△ AMN$的周长 $= AM+MN+AN = AM+MF+AN=AM+MB+BF+AN=AM+MB+CN+AN=AB+AC=8$。
【答案】
(1) $\mathrm{HL}$
(2) 能，理由见解析
(3) $△ AMN$的周长为$8$
【知识点】
角平分线的判定；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【点评】
本题从角平分线的判定探究出发，分层设置问题，既考查了基础的几何定理应用，又考查了辅助线构造、线段转化的数学思想，对学生的逻辑推理能力和知识迁移能力有较好的考查作用。
【难度系数】
0.6
(1) 第一问考查直角三角形全等的判定，观察证明过程可知两个三角形均为直角三角形，给出了公共斜边和一组相等的直角边，对应直角三角形全等的特殊判定定理即可求解。
(2) 第二问要证明点P在角平分线上，根据材料给出的结论，只需证明点P到∠AOB两边的距离相等，因此过P作两边的垂线构造全等三角形，结合补角性质得到等角，结合已知PM=PN证明三角形全等，得到距离相等即可得证。
(3) 第三问求△AMN的周长，直接计算各边长度难度大，可通过构造全等三角形转化线段：结合等边三角形和等腰△BDC的角度特征，延长AB构造全等三角形，将CN转化为BF，再证明△DMN和△DMF全等，将MN转化为MF，最终把周长转化为AB与AC的和即可求解。
【解析】
(1) 材料中证明$\mathrm{Rt}△ QCO ≌ \mathrm{Rt}△ QDO$时，已知斜边$OQ=OQ$，一组直角边$QC=QD$，符合直角三角形全等的HL判定方法。
(2) 能说明点P在$∠ AOB$的平分线上，理由如下：
过点P作$PE⊥OB$于点E，$PF⊥OA$于点F，则$∠PEM=∠PFN=90°$。
∵ $∠PMO + ∠PME = 180°$，$∠PMO+∠PNO=180°$，
∴$∠PME=∠PNO$。
在$△PME$和$△PNF$中，
∵$\begin{cases}∠PME=∠PNF,\\∠PEM=∠PFN,\\PM=PN,\end{cases}$
∴$△PME≌△PNF(\mathrm{AAS})$，
∴$PE=PF$，
∴点P在$∠ AOB$的平分线上。
(3)
∵$△BDC$是等腰三角形，且$∠ BDC＝120°$，
∴$DB=DC$，
∴$∠DBC=∠BCD=30°$。
∵$△ABC$是边长为4的等边三角形，
∴$∠ABC=∠BCA=60°$，$AB=AC=4$，
∴$∠DBA=∠DCA=90°$。
如图②，延长AB至点F，使$BF=CN$，连接DF，
则$∠FBD=90°=∠DCN$。
在$△BDF$和$△CDN$中，
∵$\begin{cases}BF=CN,\\∠FBD=∠DCN,\\DB=DC,\end{cases}$
∴$△BDF≌△CDN(\mathrm{SAS})$，
∴$∠BDF=∠CDN$，$DF=DN$。
∵$∠MDN=60°$，
∴$∠BDM+∠CDN=60°$。
∴$∠FDM=∠BDM+∠BDF=60°$。
∴$∠MDN=∠FDM$。
在$△DMN$和$△DMF$中，
∵$\begin{cases}DM=DM,\\∠MDN=∠FDM,\\DN=DF,\end{cases}$
∴$△DMN≌△DMF(\mathrm{SAS})$，
∴$MN=MF$。
∴$△ AMN$的周长 $= AM+MN+AN = AM+MF+AN=AM+MB+BF+AN=AM+MB+CN+AN=AB+AC=8$。
【答案】
(1) $\mathrm{HL}$
(2) 能，理由见解析
(3) $△ AMN$的周长为$8$
【知识点】
角平分线的判定；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【点评】
本题从角平分线的判定探究出发，分层设置问题，既考查了基础的几何定理应用，又考查了辅助线构造、线段转化的数学思想，对学生的逻辑推理能力和知识迁移能力有较好的考查作用。
【难度系数】
0.6
