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9. 如图，AB//CD，CE平分∠ACD。若∠A=120°，则∠AEC=
（第9题图）
（第10题图）
（第12题图）
35
°。（第9题图）（第10题图）
（第12题图）
答案
30
解析
【分析】
解题时首先结合已知AB//CD，利用平行线的同旁内角互补的性质求出∠ACD的度数；再根据CE是∠ACD的角平分线，利用角平分线的定义求出∠ECD的度数；最后再次利用平行线内错角相等的性质，即可得到∠AEC的度数。
【解析】
解：
∵AB//CD，
∴∠A + ∠ACD = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠A=120°，
∴∠ACD=180°-120°=60°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ECD=$\frac{1}{2}$∠ACD=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
又
∵AB//CD，
∴∠AEC=∠ECD（两直线平行，内错角相等），
∴∠AEC=30°。
【答案】
30
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是熟练掌握平行线的性质以及角平分线的定义，准确梳理图中角的和差、等量关系即可求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合已知AB//CD，利用平行线的同旁内角互补的性质求出∠ACD的度数；再根据CE是∠ACD的角平分线，利用角平分线的定义求出∠ECD的度数；最后再次利用平行线内错角相等的性质，即可得到∠AEC的度数。
【解析】
解：
∵AB//CD，
∴∠A + ∠ACD = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠A=120°，
∴∠ACD=180°-120°=60°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ECD=$\frac{1}{2}$∠ACD=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
又
∵AB//CD，
∴∠AEC=∠ECD（两直线平行，内错角相等），
∴∠AEC=30°。
【答案】
30
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是熟练掌握平行线的性质以及角平分线的定义，准确梳理图中角的和差、等量关系即可求解。
【难度系数】
0.8
10.某景点拟在如图所示的长方形荷塘上架设小桥.若荷塘中小桥的总长为100米,则荷塘周长为
200
米.答案
10.200
解析
【分析】
本题可通过平移法转化线段求解：首先观察小桥的线段分为水平和竖直两类，我们可以将所有水平方向的小桥线段向长方形的上下边平移，所有竖直方向的小桥线段向长方形的左右边平移，平移后可发现小桥的总长度刚好等于长方形一条长与一条宽的和，再结合长方形周长公式即可算出荷塘周长。
【解析】
根据平移的性质，对荷塘内小桥的线段进行平移：
1. 将所有水平方向的小桥线段分别平移到长方形的上、下边缘，可知水平方向小桥的总长度等于长方形的长；
2. 将所有竖直方向的小桥线段分别平移到长方形的左、右边缘，可知竖直方向小桥的总长度等于长方形的宽；
因此小桥的总长=长方形的长+长方形的宽=100米。
根据长方形周长公式：周长=2×(长+宽)，代入长+宽=100米，可得荷塘周长=2×100=200米。
【答案】
200
【知识点】
平移的性质、长方形周长计算
【点评】
本题通过平移法将不规则的零散线段转化为规则图形的边长，大大简化了计算过程，解题的核心是理解平移前后线段长度不变的性质，准确找到小桥总长与长方形长、宽之和的等量关系。
【难度系数】
0.7
本题可通过平移法转化线段求解：首先观察小桥的线段分为水平和竖直两类，我们可以将所有水平方向的小桥线段向长方形的上下边平移，所有竖直方向的小桥线段向长方形的左右边平移，平移后可发现小桥的总长度刚好等于长方形一条长与一条宽的和，再结合长方形周长公式即可算出荷塘周长。
【解析】
根据平移的性质，对荷塘内小桥的线段进行平移：
1. 将所有水平方向的小桥线段分别平移到长方形的上、下边缘，可知水平方向小桥的总长度等于长方形的长；
2. 将所有竖直方向的小桥线段分别平移到长方形的左、右边缘，可知竖直方向小桥的总长度等于长方形的宽；
因此小桥的总长=长方形的长+长方形的宽=100米。
根据长方形周长公式：周长=2×(长+宽)，代入长+宽=100米，可得荷塘周长=2×100=200米。
【答案】
200
【知识点】
平移的性质、长方形周长计算
【点评】
本题通过平移法将不规则的零散线段转化为规则图形的边长，大大简化了计算过程，解题的核心是理解平移前后线段长度不变的性质，准确找到小桥总长与长方形长、宽之和的等量关系。
【难度系数】
0.7
11.一个正数的两个平方根分别为$3x+3$与$x-7$，则这个数是
36
。答案
11.36
解析
【分析】
解题时首先回忆平方根的性质：正数的两个平方根互为相反数，相加和为0。我们可以利用这个性质列关于x的一元一次方程，求出x的值后，代入任意一个平方根的表达式，将结果平方即可得到这个正数。
【解析】
解：根据正数的两个平方根互为相反数，可得：
$3x+3 + (x-7) = 0$
合并同类项得：$4x - 4 = 0$
移项计算得：$4x = 4$，解得$x=1$
将$x=1$代入$x-7$得：$1-7=-6$
则这个正数为：$(-6)^2=36$
【答案】
36
【知识点】
平方根的性质、解一元一次方程
【点评】
本题考查平方根的基础应用，解题关键是掌握正数的两个平方根互为相反数的特征，通过列方程求解未知数后即可算出原数，属于平方根相关的基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆平方根的性质：正数的两个平方根互为相反数，相加和为0。我们可以利用这个性质列关于x的一元一次方程，求出x的值后，代入任意一个平方根的表达式，将结果平方即可得到这个正数。
【解析】
解：根据正数的两个平方根互为相反数，可得：
$3x+3 + (x-7) = 0$
合并同类项得：$4x - 4 = 0$
移项计算得：$4x = 4$，解得$x=1$
将$x=1$代入$x-7$得：$1-7=-6$
则这个正数为：$(-6)^2=36$
【答案】
36
【知识点】
平方根的性质、解一元一次方程
【点评】
本题考查平方根的基础应用，解题关键是掌握正数的两个平方根互为相反数的特征，通过列方程求解未知数后即可算出原数，属于平方根相关的基础题型。
【难度系数】
0.8
12. 把一张长方形纸条按如图方式折叠. 若$∠ 1 = 40°$,则$∠ 2$的度数是
70°
.答案
12.70°
解析
【分析】
解题时先利用长方形对边平行的性质，结合平行线的内错角相等，得到与∠1相等的角；再根据折叠前后对应角相等的性质，可知2个∠2与∠1的和等于平角180°，代入已知角度计算即可得到∠2的度数。
【解析】
解：
∵长方形的上下对边互相平行，∠1=40°
∴根据“两直线平行，内错角相等”，可得与∠1相等的内错角为40°
由折叠的性质可知，折叠前后对应的角相等，因此2∠2 + 40° = 180°（平角的定义）
计算得：2∠2 = 180° - 40° = 140°
∴∠2 = 140° ÷ 2 = 70°
【答案】
70°
【知识点】
平行线的性质，折叠的性质，平角的定义
【点评】
本题是常见的折叠求角度题型，解题的核心是抓住折叠前后对应角相等的特点，结合平行线的性质梳理角度之间的数量关系，难度较低。
【难度系数】
0.7
解题时先利用长方形对边平行的性质，结合平行线的内错角相等，得到与∠1相等的角；再根据折叠前后对应角相等的性质，可知2个∠2与∠1的和等于平角180°，代入已知角度计算即可得到∠2的度数。
【解析】
解：
∵长方形的上下对边互相平行，∠1=40°
∴根据“两直线平行，内错角相等”，可得与∠1相等的内错角为40°
由折叠的性质可知，折叠前后对应的角相等，因此2∠2 + 40° = 180°（平角的定义）
计算得：2∠2 = 180° - 40° = 140°
∴∠2 = 140° ÷ 2 = 70°
【答案】
70°
【知识点】
平行线的性质，折叠的性质，平角的定义
【点评】
本题是常见的折叠求角度题型，解题的核心是抓住折叠前后对应角相等的特点，结合平行线的性质梳理角度之间的数量关系，难度较低。
【难度系数】
0.7
13.已知$\sqrt{2a - 1} + \sqrt{b + 1} = 0$，则$a^2 - b^{2024} =$
$-\dfrac{3}{4}$
答案
13.$-\dfrac{3}{4}$
解析
【分析】
首先回忆算术平方根的性质：算术平方根的结果是非负数（即大于等于0）。当两个非负数相加的和为0时，只有这两个非负数各自都等于0才能成立。所以我们可以根据这个性质分别列出关于a和b的方程，求出a、b的取值后，代入待求的代数式计算就能得到最终结果。
【解析】
解：
∵算术平方根具有非负性，
∴$\sqrt{2a - 1} ≥ 0$，$\sqrt{b + 1} ≥ 0$，
又
∵$\sqrt{2a - 1} + \sqrt{b + 1} = 0$，
∴可得方程组：$\begin{cases}2a - 1 = 0 \\ b + 1 = 0 \end{cases}$，
分别解方程得：$\begin{cases}a = \dfrac{1}{2} \\ b = -1 \end{cases}$，
将$a=\dfrac{1}{2}$、$b=-1$代入$a^2 - b^{2024}$计算：
原式=$(\dfrac{1}{2})^2 - (-1)^{2024}$
=$\dfrac{1}{4} - 1$
=$-\dfrac{3}{4}$
【答案】
$-\dfrac{3}{4}$
【知识点】
算术平方根非负性，非负数的性质，有理数乘方
【点评】
本题属于基础常考题型，解题关键是掌握“多个非负数的和为0时，每个非负数都为0”的性质，计算时要注意负数的偶次幂为正数，避免符号运算出错。
【难度系数】
0.8
首先回忆算术平方根的性质：算术平方根的结果是非负数（即大于等于0）。当两个非负数相加的和为0时，只有这两个非负数各自都等于0才能成立。所以我们可以根据这个性质分别列出关于a和b的方程，求出a、b的取值后，代入待求的代数式计算就能得到最终结果。
【解析】
解：
∵算术平方根具有非负性，
∴$\sqrt{2a - 1} ≥ 0$，$\sqrt{b + 1} ≥ 0$，
又
∵$\sqrt{2a - 1} + \sqrt{b + 1} = 0$，
∴可得方程组：$\begin{cases}2a - 1 = 0 \\ b + 1 = 0 \end{cases}$，
分别解方程得：$\begin{cases}a = \dfrac{1}{2} \\ b = -1 \end{cases}$，
将$a=\dfrac{1}{2}$、$b=-1$代入$a^2 - b^{2024}$计算：
原式=$(\dfrac{1}{2})^2 - (-1)^{2024}$
=$\dfrac{1}{4} - 1$
=$-\dfrac{3}{4}$
【答案】
$-\dfrac{3}{4}$
【知识点】
算术平方根非负性，非负数的性质，有理数乘方
【点评】
本题属于基础常考题型，解题关键是掌握“多个非负数的和为0时，每个非负数都为0”的性质，计算时要注意负数的偶次幂为正数，避免符号运算出错。
【难度系数】
0.8
14.同一平面直角坐标系中，已知点$A(m+1,-2)$和点$B(3,n-1)$.若$AB// x$轴，且$AB=4$，则$m+n$的值为________.
答案
14.5或-3
解析
【分析】
解题时先回忆平行于x轴的直线上点的坐标特征：所有点的纵坐标相等，据此可以先求出n的值。再根据平行于x轴的两点间距离等于两点横坐标差的绝对值，结合AB=4列方程，因为绝对值方程有两种情况，所以要分类讨论求出m的两个可能值，最后分别计算m+n的结果即可。
【解析】
解：
∵AB//x轴，点A纵坐标为-2，点B纵坐标为n-1
∴两点纵坐标相等，即$n-1 = -2$
解得：$n = -1$
又
∵AB=4，平行于x轴的两点距离为横坐标差的绝对值
∴$|(m+1) - 3| = 4$
即$|m - 2| = 4$
分两种情况：
①当$m-2=4$时，解得$m=6$，此时$m+n=6 + (-1)=5$
②当$m-2=-4$时，解得$m=-2$，此时$m+n=-2 + (-1)=-3$
综上，$m+n$的值为5或-3
【答案】
5或-3
【知识点】
平行于x轴的点的坐标特征；两点间距离计算；绝对值方程应用
【点评】
本题易错点是求解横坐标时容易忽略绝对值的两种情况，导致漏解，做题时要注意分类讨论思想的运用，考虑全面所有可能的情况。
【难度系数】
0.6
解题时先回忆平行于x轴的直线上点的坐标特征：所有点的纵坐标相等，据此可以先求出n的值。再根据平行于x轴的两点间距离等于两点横坐标差的绝对值，结合AB=4列方程，因为绝对值方程有两种情况，所以要分类讨论求出m的两个可能值，最后分别计算m+n的结果即可。
【解析】
解：
∵AB//x轴，点A纵坐标为-2，点B纵坐标为n-1
∴两点纵坐标相等，即$n-1 = -2$
解得：$n = -1$
又
∵AB=4，平行于x轴的两点距离为横坐标差的绝对值
∴$|(m+1) - 3| = 4$
即$|m - 2| = 4$
分两种情况：
①当$m-2=4$时，解得$m=6$，此时$m+n=6 + (-1)=5$
②当$m-2=-4$时，解得$m=-2$，此时$m+n=-2 + (-1)=-3$
综上，$m+n$的值为5或-3
【答案】
5或-3
【知识点】
平行于x轴的点的坐标特征；两点间距离计算；绝对值方程应用
【点评】
本题易错点是求解横坐标时容易忽略绝对值的两种情况，导致漏解，做题时要注意分类讨论思想的运用，考虑全面所有可能的情况。
【难度系数】
0.6
15.某军事演习中,对军队部署的方位,采用钟代码的方式来表示.例如,北偏东$30°$方向45千米的位置,与钟面相结合,以钟面圆心为基准,时针指向北偏东$30°$的时刻是$1:00$,那么这个地点就用代码010045来表示.按这种表示方式,南偏东$30°$方向78 km的位置,可用代码表示为
050078
.答案
15.050078
解析
【分析】
要解决这道题，首先要梳理清楚题目给出的钟代码编写规则：6位代码前4位对应时针指向目标方位的时刻（小时不足两位补前导零，分钟固定为00），后2位对应目标位置的距离数值。接下来明确方位和钟点的换算关系：钟面一圈为360°，共12个小时刻度，因此每个小时对应角度为360°÷12=30°，算出目标方位对应的时针时刻后，拼接距离数字就能得到最终代码。
【解析】
1. 推导方位和钟点的换算规则
钟面一圈共360°，对应12个小时刻度，因此每小时对应的角度为：$360°÷12=30°$。
2. 计算南偏东30°对应的时刻
正北对应12点（0°方向），南偏东30°是从正南向东转30°，对应从正北顺时针旋转的角度为$180°-30°=150°$，换算为小时数为$150°÷30°=5$，即对应时刻为5:00，补前导零后四位格式为0500。
3. 拼接完整代码
目标位置距离为78km，因此代码后两位为78，完整代码为050078。
【答案】
050078
【知识点】
规律探究、方向角、钟面角
【点评】
本题属于新定义类题型，结合实际场景考察信息提取、规律总结和应用能力，解题关键是先明确代码的构成规则，再找准方位和钟点的换算关系，细心计算即可得出正确结果。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要梳理清楚题目给出的钟代码编写规则：6位代码前4位对应时针指向目标方位的时刻（小时不足两位补前导零，分钟固定为00），后2位对应目标位置的距离数值。接下来明确方位和钟点的换算关系：钟面一圈为360°，共12个小时刻度，因此每个小时对应角度为360°÷12=30°，算出目标方位对应的时针时刻后，拼接距离数字就能得到最终代码。
【解析】
1. 推导方位和钟点的换算规则
钟面一圈共360°，对应12个小时刻度，因此每小时对应的角度为：$360°÷12=30°$。
2. 计算南偏东30°对应的时刻
正北对应12点（0°方向），南偏东30°是从正南向东转30°，对应从正北顺时针旋转的角度为$180°-30°=150°$，换算为小时数为$150°÷30°=5$，即对应时刻为5:00，补前导零后四位格式为0500。
3. 拼接完整代码
目标位置距离为78km，因此代码后两位为78，完整代码为050078。
【答案】
050078
【知识点】
规律探究、方向角、钟面角
【点评】
本题属于新定义类题型，结合实际场景考察信息提取、规律总结和应用能力，解题关键是先明确代码的构成规则，再找准方位和钟点的换算关系，细心计算即可得出正确结果。
【难度系数】
0.8
16. 如图，将一副三角尺如图放置，则下列结论：
①∠1=∠3；
②若∠2=30°，则有BC//AE；
③若∠1=∠2=∠3，则有BC//AE；
④若∠2=45°，必有∠4=∠E.
其中正确的有
①∠1=∠3；
②若∠2=30°，则有BC//AE；
③若∠1=∠2=∠3，则有BC//AE；
④若∠2=45°，必有∠4=∠E.
其中正确的有
①③
.（填序号）答案
16.①③
解析
【分析】
本题需要结合三角尺的固定角度特征，运用同角的余角相等、平行线的判定定理逐一判断4个结论：首先根据两个三角尺的直角均为90°，可推导∠1和∠3的关系判断①；再分别代入②③的条件，计算对应角的度数，结合平行线的判定定理判断平行是否成立；最后计算∠2=45°时∠4和∠E的大小关系判断④。
【解析】
已知一副三角尺的直角均为90°，其中等腰直角三角尺的两个锐角都为45°，另一把三角尺的两个锐角为30°和60°。
1. 判断①：
∵∠CAB=∠1+∠2=90°，∠EAD=∠3+∠2=90°，
∴∠1和∠3都是∠2的余角，根据同角的余角相等，可得∠1=∠3，故①正确。
2. 判断②：
若∠2=30°，则∠CAE=∠3=90°-30°=60°，△ABC中∠C=45°，内错角∠C≠∠CAE，不满足平行线的判定条件，因此BC与AE不平行，故②错误。
3. 判断③：
若∠1=∠2=∠3，结合∠1+∠2=90°，可得∠1=∠2=∠3=45°，此时∠CAE=∠3=45°=∠C，内错角相等，两直线平行，因此BC//AE，故③正确。
4. 判断④：
若∠2=45°，则∠3=90°-45°=45°，∠E=60°，∠3≠∠E，因此AC与ED不平行，∠4≠∠E，故④错误。
综上，正确的结论为①③。
【答案】
①③
【知识点】
同角的余角相等；平行线的判定；三角板角度特征
【点评】
本题结合三角板的摆放考查角度计算和平行线的判定，解题的关键是熟记三角板的固定角度，灵活运用余角性质和平行线的判定定理分析问题。
【难度系数】
0.7
本题需要结合三角尺的固定角度特征，运用同角的余角相等、平行线的判定定理逐一判断4个结论：首先根据两个三角尺的直角均为90°，可推导∠1和∠3的关系判断①；再分别代入②③的条件，计算对应角的度数，结合平行线的判定定理判断平行是否成立；最后计算∠2=45°时∠4和∠E的大小关系判断④。
【解析】
已知一副三角尺的直角均为90°，其中等腰直角三角尺的两个锐角都为45°，另一把三角尺的两个锐角为30°和60°。
1. 判断①：
∵∠CAB=∠1+∠2=90°，∠EAD=∠3+∠2=90°，
∴∠1和∠3都是∠2的余角，根据同角的余角相等，可得∠1=∠3，故①正确。
2. 判断②：
若∠2=30°，则∠CAE=∠3=90°-30°=60°，△ABC中∠C=45°，内错角∠C≠∠CAE，不满足平行线的判定条件，因此BC与AE不平行，故②错误。
3. 判断③：
若∠1=∠2=∠3，结合∠1+∠2=90°，可得∠1=∠2=∠3=45°，此时∠CAE=∠3=45°=∠C，内错角相等，两直线平行，因此BC//AE，故③正确。
4. 判断④：
若∠2=45°，则∠3=90°-45°=45°，∠E=60°，∠3≠∠E，因此AC与ED不平行，∠4≠∠E，故④错误。
综上，正确的结论为①③。
【答案】
①③
【知识点】
同角的余角相等；平行线的判定；三角板角度特征
【点评】
本题结合三角板的摆放考查角度计算和平行线的判定，解题的关键是熟记三角板的固定角度，灵活运用余角性质和平行线的判定定理分析问题。
【难度系数】
0.7
