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1. (台州中考)抛物线$y=ax^2 - a(a≠0)$与直线$y=kx$交于$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$两点，若$x_1+x_2＜0$，则直线$y=ax + k$一定经过（
A.第一、二象限
B.第二、三象限
C.第三、四象限
D.第一、四象限
D
）A.第一、二象限
B.第二、三象限
C.第三、四象限
D.第一、四象限
答案
1. D 解析:
∵抛物线$y=ax^2 - a(a≠0)$与直线$y=kx$交于$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$两点,
∴$kx=ax^2 - a$,
∴$ax^2 -kx -a=0$,
∴$x_1+x_2=\frac{k}{a}$,
∴$\frac{k}{a}＜0$.当$a＞0,k＜0$时,直线$y=ax+k$经过第一、三、四象限;当$a＜0,k＞0$时,直线$y=ax+k$经过第一、二、四象限.综上,直线$y=ax+k$一定经过第一、四象限.
∵抛物线$y=ax^2 - a(a≠0)$与直线$y=kx$交于$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$两点,
∴$kx=ax^2 - a$,
∴$ax^2 -kx -a=0$,
∴$x_1+x_2=\frac{k}{a}$,
∴$\frac{k}{a}＜0$.当$a＞0,k＜0$时,直线$y=ax+k$经过第一、三、四象限;当$a＜0,k＞0$时,直线$y=ax+k$经过第一、二、四象限.综上,直线$y=ax+k$一定经过第一、四象限.
2.（衡阳中考）已知$m＞n＞0$，若关于$x$的方程$x^2+2x-3-m=0$的解为$x_1,x_2(x_1＜x_2)$，关于$x$的方程$x^2+2x-3-n=0$的解为$x_3,x_4(x_3＜x_4)$，则下列结论正确的是（
A.$x_3＜x_1＜x_2＜x_4$
B.$x_1＜x_3＜x_4＜x_2$
C.$x_1＜x_2＜x_3＜x_4$
D.$x_3＜x_4＜x_1＜x_2$
B
）A.$x_3＜x_1＜x_2＜x_4$
B.$x_1＜x_3＜x_4＜x_2$
C.$x_1＜x_2＜x_3＜x_4$
D.$x_3＜x_4＜x_1＜x_2$
答案
2. B 解析:关于x的方程$x^2+2x-3-m=0$的解为抛物线$y=x^2+2x-3$与直线$y=m$的交点的横坐标,关于x的方程$x^2+2x-3-n=0$的解为抛物线$y=x^2+2x-3$与直线$y=n$的交点的横坐标,如图.
由图可知,$x_1＜x_3＜x_4＜x_2$.
3. (2025·南充中考)已知某函数图象关于y轴对称,当$0≤ x≤ 2$时,$y=x^2-2x$;当$x＞2$时,$y=2x-4$.若直线$y=x+b$与这个函数图象有且仅有四个不同交点,则实数$b$的范围是 (
A.$-\dfrac{1}{4}＜b＜0$
B.$-\dfrac{9}{4}＜b＜-\dfrac{1}{4}$
C.$-\dfrac{1}{4}≤ b≤ 0$
D.$b≤ -\dfrac{1}{4}$或$b＞0$
A
)A.$-\dfrac{1}{4}＜b＜0$
B.$-\dfrac{9}{4}＜b＜-\dfrac{1}{4}$
C.$-\dfrac{1}{4}≤ b≤ 0$
D.$b≤ -\dfrac{1}{4}$或$b＞0$
答案
3. A 解析:
∵函数图象关于y轴对称,当$0≤x≤2$时,$y=x^2-2x$,当$x＞2$时,$y=2x-4$,
∴当$-2≤x＜0$时,$y=x^2+2x$,当$x＜-2$时,$y=-2x-4$.画出函数图象:
当$0≤x≤2$时,$y=x^2-2x=(x-1)^2-1$,这是一个开口向上,顶点为$(1,-1)$,与x轴交点为$(0,0)$,$(2,0)$的抛物线一部分.当$x＞2$时,$y=2x-4$,是一条k为2,过$(2,0)$的射线.
根据对称性画出$x＜0$时的函数图象.联立$\begin{cases} y=x^2+2x, \\ y=x+b \end{cases}$($-2≤x＜0$),得$x^2+x-b=0$,当$\Delta=1+4b=0$,即$b=-\frac{1}{4}$时,直线与$y=x^2+2x(-2≤x＜0)$相切.当直线过$(0,0)$时,$b=0$.结合图象可知,当$-\frac{1}{4}＜b＜0$时,直线$y=x+b$与这个函数图象有且仅有四个不同交点.故选A.
4.（荆门中考）如图，函数$y=\begin{cases}x^2 - 2x + 3&(x＜2),\\-\dfrac{3}{4}x + \dfrac{9}{2}&(x≥2)\end{cases}$的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与直线$y=m$（$m$为常数）相交于三个不同的点$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，$C(x_3,y_3)$（$x_1＜x_2＜x_3$）。设$t=\dfrac{x_1y_1 + x_2y_2}{x_3y_3}$，则$t$的取值范围是 ______ 。
答案
4. $\frac{3}{5}＜t＜1$ 解析:由二次函数$y=x^2-2x+3(x＜2)$可知,图象开口向上,对称轴为直线$x=1$,
∴当$x=1$时函数有最小值2,$x_1+x_2=2$,由一次函数$y=-\frac{3}{4}x+\frac{9}{2}(x≥2)$可知,当$x=2$时有最大值3,当$y=2$时,$x=\frac{10}{3}$.
∵与直线$y=m$(m为常数)相交于三个不同的点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)(x_1＜x_2＜x_3)$,
∴$y_1=y_2=y_3=m$,$2＜m＜3$,
∴$2＜x_3＜\frac{10}{3}$,
∴$t=\frac{x_1+x_2}{x_3}=\frac{2}{x_3}$,
∴$\frac{3}{5}＜t＜1$.
∴当$x=1$时函数有最小值2,$x_1+x_2=2$,由一次函数$y=-\frac{3}{4}x+\frac{9}{2}(x≥2)$可知,当$x=2$时有最大值3,当$y=2$时,$x=\frac{10}{3}$.
∵与直线$y=m$(m为常数)相交于三个不同的点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)(x_1＜x_2＜x_3)$,
∴$y_1=y_2=y_3=m$,$2＜m＜3$,
∴$2＜x_3＜\frac{10}{3}$,
∴$t=\frac{x_1+x_2}{x_3}=\frac{2}{x_3}$,
∴$\frac{3}{5}＜t＜1$.
5. (2024·日照中考)已知二次函数$y=-x^2+(2a+4)x-a^2-4a$（$a$为常数）.
(1)求证:不论$a$为何值,该二次函数图象与$x$轴总有两个公共点.
(2)当$a+1≤x≤2a+5(a≥-1)$时,该二次函数的最大值与最小值之差为9,此时函数的解析式为
(3)若二次函数图象对称轴为直线$x=1$,该函数图象与$x$轴交于$A,B$两点(点$A$在点$B$左侧),与$y$轴交于点$C$.点$C$关于对称轴的对称点为$D$,点$M$为$CD$的中点,过点$M$的直线$l$(直线$l$不过$C,D$两点)与二次函数图象交于$E,F$两点,直线$CE$与直线$DF$相交于点$P$.
①求证:点$P$在一条定直线上;
②若$S_{△ COP}=\frac{3}{5}S_{△ ABP}$,请直接写出满足条件的直线$l$的解析式,不必说明理由.
(1)求证:不论$a$为何值,该二次函数图象与$x$轴总有两个公共点.
(2)当$a+1≤x≤2a+5(a≥-1)$时,该二次函数的最大值与最小值之差为9,此时函数的解析式为
y=-x²+4x
.(3)若二次函数图象对称轴为直线$x=1$,该函数图象与$x$轴交于$A,B$两点(点$A$在点$B$左侧),与$y$轴交于点$C$.点$C$关于对称轴的对称点为$D$,点$M$为$CD$的中点,过点$M$的直线$l$(直线$l$不过$C,D$两点)与二次函数图象交于$E,F$两点,直线$CE$与直线$DF$相交于点$P$.
①求证:点$P$在一条定直线上;
②若$S_{△ COP}=\frac{3}{5}S_{△ ABP}$,请直接写出满足条件的直线$l$的解析式,不必说明理由.
答案
5. (1)令$y=0$,则$-x^2+(2a+4)x-a^2-4a=0$,
∵$\Delta=(2a+4)^2-4(a^2+4a)=16＞0$,
∴不论a为何值,方程总有两个不相等的实数根,
∴该二次函数图象与x轴总有两个公共点.
(2)$y=-x^2+4x$ 解析:由二次函数的解析式得$y=-[x-(a+2)]^2+4$,
∴函数图象对称轴为直线$x=a+2$,最大值为4.
∵$a+2-(a+1)=1$,$2a+5-(a+2)=a+3≥2$,
∴$|a+2-(a+1)|＜|2a+5-(a+2)|$,
∴当$x=2a+5$时,y取得最小值,最小值为$-[2a+5-(a+2)]^2+4=-(a+3)^2+4$,
∴$4-[-(a+3)^2+4]=9$,解得$a=0$或$a=-6$(舍去),
∴二次函数的解析式为$y=-x^2+4x$.
(3)①对称轴为直线$x=a+2=1$,
∴$a=-1$,
∴二次函数解析式为$y=-x^2+2x+3$.令$y=0$,则$-x^2+2x+3=0$,解得$x=-1$或$x=3$,则$A(-1,0),B(3,0)$,令$x=0$,则$y=3$,则$C(0,3)$,
∴$D(2,3),M(1,3)$.设$E(m,-m^2+2m+3),F(n,-n^2+2n+3)$,由题意$m≠n$,且均不为0,2.设直线EF的解析式为$y=k_1x+b_1$,
∴$\begin{cases} -m^2+2m+3=k_1m+b_1, \\ -n^2+2n+3=k_1n+b_1 \end{cases}$,解得$\begin{cases} k_1=2-m-n, \\ b_1=mn+3 \end{cases}$,
∴直线EF的解析式为$y=(2-m-n)x+mn+3$.又
∵直线EF过点$M(1,3)$,
∴$3=2-m-n+mn+3$,即$mn=m+n-2$(记为①式).同理设直线CE的解析式为$y=k_2x+b_2$,把$E(m,-m^2+2m+3),C(0,3)$代入得$\begin{cases} -m^2+2m+3=k_2m+b_2, \\ 3=b_2 \end{cases}$,解得$\begin{cases} k_2=-m+2, \\ b_2=3 \end{cases}$,
∴直线CE的解析式为$y=(-m+2)x+3$(记为②式).同理得直线DF的解析式为$y=-nx+2n+3$(记为③式).
由②③式联立得$\begin{cases} y=(-m+2)x+3, \\ y=-nx+2n+3 \end{cases}$,解得$\begin{cases} x=\frac{2n}{n-m+2}, \\ y=\frac{-2nm+4n}{n-m+2}+3 \end{cases}$,
∴$P(\frac{2n}{n-m+2},\frac{-2nm+4n}{n-m+2}+3)$.若点P在一条定直线上,设点P所在直线解析式为$y=kx+b$,代入点P的坐标得$\frac{-2nm+4n}{n-m+2}+3=k·\frac{2n}{n-m+2}+b$,将①式代入化简得$-5m+5n+10=-bm+(2k+b)n+2b$,由对应系数相等得$k=0,b=5$,
∴点P所在直线解析式为$y=5$,即点P在一条定直线上.
②直线l的解析式为$y=\frac{3}{2}x+\frac{3}{2}$或$y=-\frac{5}{6}x+\frac{23}{6}$.
解析:
∵$A(-1,0),B(3,0),C(0,3)$,
∴$AB=|-1-3|=4$,$OC=3$.
∵$S_{△COP}=\frac{3}{5}S_{△ABP}$,
∴$\frac{1}{2}OC·|x_P|=\frac{3}{5}×\frac{1}{2}AB·y_P$,
∴$\frac{1}{2}×3|x_P|=\frac{3}{5}×\frac{1}{2}×4y_P$,
∴$|x_P|=\frac{4}{5}y_P$,由①知$y_P=5$,
∴$|x_P|=4$,
∴$x_P=±4$.当$x_P=4$时,$\frac{2n}{n-m+2}=4$,整理得$n=2m-4$.又
∵$mn=m+n-2$,
∴$m(2m-4)=m+2m-4-2$,整理得$2m^2-7m+6=0$,解得$m_1=\frac{3}{2}$,$m_2=2$(不符合题意,舍去),
∴$n=2m-4=2×\frac{3}{2}-4=-1$,
∴$k_1=2-m-n=\frac{3}{2}$,$b_1=mn+3=\frac{3}{2}$,
∴直线l的解析式为$y=\frac{3}{2}x+\frac{3}{2}$;当$x_P=-4$时,$\frac{2n}{n-m+2}=-4$,整理得$n=\frac{2m-4}{3}$.又
∵$mn=m+n-2$,
∴$m·\frac{2m-4}{3}=m+\frac{2m-4}{3}-2$,整理得$2m^2-9m+10=0$,解得$m_1=\frac{5}{2}$,$m_2=2$(不符合题意,舍去),
∴$n=\frac{2m-4}{3}=\frac{1}{3}$,
∴$k_1=2-m-n=-\frac{5}{6}$,$b_1=mn+3=\frac{23}{6}$,
∴直线l的解析式为$y=-\frac{5}{6}x+\frac{23}{6}$.综上所述,当$S_{△COP}=\frac{3}{5}S_{△ABP}$时,直线l的解析式为$y=\frac{3}{2}x+\frac{3}{2}$或$y=-\frac{5}{6}x+\frac{23}{6}$.
∵$\Delta=(2a+4)^2-4(a^2+4a)=16＞0$,
∴不论a为何值,方程总有两个不相等的实数根,
∴该二次函数图象与x轴总有两个公共点.
(2)$y=-x^2+4x$ 解析:由二次函数的解析式得$y=-[x-(a+2)]^2+4$,
∴函数图象对称轴为直线$x=a+2$,最大值为4.
∵$a+2-(a+1)=1$,$2a+5-(a+2)=a+3≥2$,
∴$|a+2-(a+1)|＜|2a+5-(a+2)|$,
∴当$x=2a+5$时,y取得最小值,最小值为$-[2a+5-(a+2)]^2+4=-(a+3)^2+4$,
∴$4-[-(a+3)^2+4]=9$,解得$a=0$或$a=-6$(舍去),
∴二次函数的解析式为$y=-x^2+4x$.
(3)①对称轴为直线$x=a+2=1$,
∴$a=-1$,
∴二次函数解析式为$y=-x^2+2x+3$.令$y=0$,则$-x^2+2x+3=0$,解得$x=-1$或$x=3$,则$A(-1,0),B(3,0)$,令$x=0$,则$y=3$,则$C(0,3)$,
∴$D(2,3),M(1,3)$.设$E(m,-m^2+2m+3),F(n,-n^2+2n+3)$,由题意$m≠n$,且均不为0,2.设直线EF的解析式为$y=k_1x+b_1$,
∴$\begin{cases} -m^2+2m+3=k_1m+b_1, \\ -n^2+2n+3=k_1n+b_1 \end{cases}$,解得$\begin{cases} k_1=2-m-n, \\ b_1=mn+3 \end{cases}$,
∴直线EF的解析式为$y=(2-m-n)x+mn+3$.又
∵直线EF过点$M(1,3)$,
∴$3=2-m-n+mn+3$,即$mn=m+n-2$(记为①式).同理设直线CE的解析式为$y=k_2x+b_2$,把$E(m,-m^2+2m+3),C(0,3)$代入得$\begin{cases} -m^2+2m+3=k_2m+b_2, \\ 3=b_2 \end{cases}$,解得$\begin{cases} k_2=-m+2, \\ b_2=3 \end{cases}$,
∴直线CE的解析式为$y=(-m+2)x+3$(记为②式).同理得直线DF的解析式为$y=-nx+2n+3$(记为③式).
由②③式联立得$\begin{cases} y=(-m+2)x+3, \\ y=-nx+2n+3 \end{cases}$,解得$\begin{cases} x=\frac{2n}{n-m+2}, \\ y=\frac{-2nm+4n}{n-m+2}+3 \end{cases}$,
∴$P(\frac{2n}{n-m+2},\frac{-2nm+4n}{n-m+2}+3)$.若点P在一条定直线上,设点P所在直线解析式为$y=kx+b$,代入点P的坐标得$\frac{-2nm+4n}{n-m+2}+3=k·\frac{2n}{n-m+2}+b$,将①式代入化简得$-5m+5n+10=-bm+(2k+b)n+2b$,由对应系数相等得$k=0,b=5$,
∴点P所在直线解析式为$y=5$,即点P在一条定直线上.
②直线l的解析式为$y=\frac{3}{2}x+\frac{3}{2}$或$y=-\frac{5}{6}x+\frac{23}{6}$.
解析:
∵$A(-1,0),B(3,0),C(0,3)$,
∴$AB=|-1-3|=4$,$OC=3$.
∵$S_{△COP}=\frac{3}{5}S_{△ABP}$,
∴$\frac{1}{2}OC·|x_P|=\frac{3}{5}×\frac{1}{2}AB·y_P$,
∴$\frac{1}{2}×3|x_P|=\frac{3}{5}×\frac{1}{2}×4y_P$,
∴$|x_P|=\frac{4}{5}y_P$,由①知$y_P=5$,
∴$|x_P|=4$,
∴$x_P=±4$.当$x_P=4$时,$\frac{2n}{n-m+2}=4$,整理得$n=2m-4$.又
∵$mn=m+n-2$,
∴$m(2m-4)=m+2m-4-2$,整理得$2m^2-7m+6=0$,解得$m_1=\frac{3}{2}$,$m_2=2$(不符合题意,舍去),
∴$n=2m-4=2×\frac{3}{2}-4=-1$,
∴$k_1=2-m-n=\frac{3}{2}$,$b_1=mn+3=\frac{3}{2}$,
∴直线l的解析式为$y=\frac{3}{2}x+\frac{3}{2}$;当$x_P=-4$时,$\frac{2n}{n-m+2}=-4$,整理得$n=\frac{2m-4}{3}$.又
∵$mn=m+n-2$,
∴$m·\frac{2m-4}{3}=m+\frac{2m-4}{3}-2$,整理得$2m^2-9m+10=0$,解得$m_1=\frac{5}{2}$,$m_2=2$(不符合题意,舍去),
∴$n=\frac{2m-4}{3}=\frac{1}{3}$,
∴$k_1=2-m-n=-\frac{5}{6}$,$b_1=mn+3=\frac{23}{6}$,
∴直线l的解析式为$y=-\frac{5}{6}x+\frac{23}{6}$.综上所述,当$S_{△COP}=\frac{3}{5}S_{△ABP}$时,直线l的解析式为$y=\frac{3}{2}x+\frac{3}{2}$或$y=-\frac{5}{6}x+\frac{23}{6}$.
