20. (8 分)(2023·黑龙江齐齐哈尔中考)如图，在 $Rt△ ABC$ 中，$∠ B = 90^{\circ}$，$AD$ 平分 $∠ BAC$ 交 $BC$ 于点 $D$，点 $E$ 是斜边 $AC$ 上一点，以 $AE$ 为直径的 $\odot O$ 经过点 $D$，交 $AB$ 于点 $F$，连接 $DF$。
(1) 求证：$BC$ 是 $\odot O$ 的切线；
(2) 若 $BD = 5$，$\tan∠ ADB = \sqrt{3}$，求图中阴影部分的面积。(结果保留 $π$)

20.(1)证明:连接OD.
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA.
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠BAD.
∴∠ODA=∠BAD.
∴OD//AB.
∴∠ODC=∠B=90°.
∴半径OD⊥BC于点D.
　　　　　　
∴BC是⊙O的切线.
　(2)解:连接OF,DE.
∵∠B=90°,tan∠ADB=$\sqrt{3}$,
∴∠ADB=60°,∠BAD=30°.
∵BD=5,
∴AD=2BD=10.
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ADE=90°.
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE=∠BAD=30°.
　在Rt△ADE中,AD=10,
∵cos∠DAE=$\frac{AD}{AE}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴AE=$\frac{20\sqrt{3}}{3}$.
∴OA=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠BAD=60°.
∵OA=OF,
∴△AOF是等边三角形.
∴∠AOF=60°.
∵OD//AB,
∴S△ADF=S△AOF,
∴S阴影=S扇形OAF=$\frac{60π×(\frac{10\sqrt{3}}{3})^{2}}{360}$=$\frac{50π}{9}$.