21. (10 分)(2024·山东中考)如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AD // BC$，$∠ DAB = 60^{\circ}$，$AB = BC = 2AD = 2$。以点 $A$ 为圆心，以 $AD$ 为半径作 $\overset{\frown}{DE}$ 交 $AB$ 于点 $E$，以点 $B$ 为圆心，以 $BE$ 为半径作 $\overset{\frown}{EF}$ 交 $BC$ 于点 $F$，连接 $FD$ 交 $\overset{\frown}{EF}$ 于另一点 $G$，连接 $CG$。
(1) 求证：$CG$ 为 $\overset{\frown}{EF}$ 所在圆的切线；
(2) 求图中阴影部分面积。(结果保留 $π$)

21.(1)证明:连接BG,如图①，
　　　　
　根据题意可知AD=AE,BE=BF.
∵AB=BC,
∴CF=AE=AD.
∵BC=2AD,
∴BF=BE=AD=AE=CF.
∵AD//BC,
∴四边形ABFD是平行四边形.
∴∠BFD=∠DAB=60°.
∵BG=BF,
∴△BFG是等边三角形.
∴GF=BF.
∴GF=BF=FC.
∴点G在以BC为直径的圆上.
∴∠BGC=90°.
∴CG为$\widehat{EF}$所在圆的切线.
　(2)解:过点D作DH⊥AB于点H，连接BG,如图②.
　　　　
　　由图可得S阴影=S▱ABFD−S扇AED−S扇BEG−S△BFG,
　在Rt△AHD中,AD=1,∠DAB=60°,
∴DH=AD·sin∠DAB=1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$.
∴S▱ABFD=AB·DH=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$
　由题可知扇形ADE和扇形BGE全等，
∴S扇形AED=S扇形BGE=$\frac{60π(AD)^{2}}{360}$=$\frac{60×π×1^{2}}{360}$=$\frac{π}{6}$.
　等边三角形BFG的面积为$\frac{1}{2}$GF·DH=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$.
∴S阴影=S▱ABFD−S扇形AED−S扇形BEG−S△BFG=$\sqrt{3}$−$\frac{π}{6}$−$\frac{π}{6}$−$\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$−$\frac{π}{3}$.