8. 如图,把书的一角斜折过去,使点A落在点E处,BC为折痕,BD是∠EBM的平分线,则∠CBD等于.

【解析】：本题可根据折叠的性质以及角平分线的性质来求解$\angle CBD$的度数。
步骤一：根据折叠的性质得到角的关系
由折叠的性质可知，折叠前后对应角相等，因为把书的一角斜折过去，使点$A$落在点$E$处，$BC$为折痕，所以$\angle ABC = \angle EBC$。
步骤二：根据角平分线的性质得到角的关系
因为$BD$是$\angle EBM$的平分线，根据角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线，所以$\angle EBD = \angle DBM$。
步骤三：求出$\angle CBD$与平角的关系
因为$\angle ABC + \angle EBC + \angle EBD + \angle DBM = 180^{\circ}$（平角的定义：一条射线绕它的端点旋转，当始边和终边在同一条直线上，方向相反时，所构成的角叫平角，平角为$180^{\circ}$），又因为$\angle ABC = \angle EBC$，$\angle EBD = \angle DBM$，所以$2\angle EBC + 2\angle EBD = 180^{\circ}$，即$2(\angle EBC + \angle EBD) = 180^{\circ}$，那么$\angle EBC + \angle EBD = 90^{\circ}$。
而$\angle CBD = \angle EBC + \angle EBD$，所以$\angle CBD = 90^{\circ}$。
【答案】：$90^{\circ}$

9. 【初步探究】
(1)如图(1),已知线段AB= 12,点C和点D为线段AB上的两个动点,且CD= 3,点M,N分别是AC和BD的中点. 求MN的长是多少？
【类比探究】
(2)如图(2),直角∠COD与平角∠AOB摆放在一起,且OM和ON分别是∠AOC,∠BOD的平分线,则∠MON的度数为多少度？
【知识迁移】
(3)当∠AOB= α,∠COD= β时,如图(3)所示摆放在一起,且OM和ON分别是∠AOC,∠BOD的平分线,则∠MON的度数为多少度？(α和β均为小于平角的角)

【解析】：
本题主要考查了线段的和差计算以及角的和差计算，同时涉及到了中点和角平分线的性质。
（1）中，利用了线段中点的性质，将线段长度进行拆分和组合，从而求出$MN$的长度。
（2）中，先根据角平分线的性质表示出$\angle MOC$和$\angle NOD$，再通过角的和差关系求出$\angle MON$。
（3）中，是（2）的拓展，同样利用角平分线的性质和角的和差关系来求解$\angle MON$的度数。
具体计算过程如下：
（1）因为点$M$，$N$分别是$AC$和$BD$的中点，所以$AM = \frac{1}{2}AC$，$BN = \frac{1}{2}BD$。
$MN = AB - AM - BN - CD$，将$AM$，$BN$代入可得$MN = AB - \frac{1}{2}AC - \frac{1}{2}BD - CD$。
又因为$AC + BD = AB - CD$，所以$MN = AB - \frac{1}{2}(AC + BD) - CD = AB - \frac{1}{2}(AB - CD) - CD$。
已知$AB = 12$，$CD = 3$，代入上式可得$MN = 12 - \frac{1}{2}(12 - 3) - 3 = 7.5$。
（2）因为$OM$和$ON$分别是$\angle AOC$，$\angle BOD$的平分线，所以$\angle MOC = \frac{1}{2}\angle AOC$，$\angle NOD = \frac{1}{2}\angle BOD$。
$\angle MON = \angle MOC + \angle NOD + \angle COD$，将$\angle MOC$，$\angle NOD$代入可得$\angle MON = \frac{1}{2}\angle AOC + \frac{1}{2}\angle BOD + \angle COD$。
又因为$\angle AOC + \angle BOD + \angle COD = \angle AOB + \angle COD = 180^{\circ}+ 90^{\circ}= 270^{\circ}$，且$\angle COD = 90^{\circ}$，所以$\angle AOC + \angle BOD = 180^{\circ}- \angle COD = 90^{\circ}$。
则$\angle MON = \frac{1}{2}(\angle AOC + \angle BOD) + \angle COD = \frac{1}{2}×90^{\circ}+ 90^{\circ}= 135^{\circ}$。
（3）同理，$\angle MOC = \frac{1}{2}\angle AOC$，$\angle NOD = \frac{1}{2}\angle BOD$。
$\angle MON = \angle MOC + \angle NOD + \angle COD$，将$\angle MOC$，$\angle NOD$代入可得$\angle MON = \frac{1}{2}\angle AOC + \frac{1}{2}\angle BOD + \beta$。
因为$\angle AOC + \angle BOD + \beta = \angle AOB + \beta = \alpha + \beta$，所以$\angle AOC + \angle BOD = \alpha - \beta$。
则$\angle MON = \frac{1}{2}(\angle AOC + \angle BOD) + \beta = \frac{1}{2}(\alpha - \beta) + \beta = \frac{\alpha + \beta}{2}$。
【答案】：
(1)$MN$的长是$7.5$；
(2)$\angle MON$的度数为$135^{\circ}$；
(3)$\angle MON$的度数为$\frac{\alpha + \beta}{2}$。