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1.如图，$\odot O$的直径为10，弦$AB=8$，P是弦AB上的一个动点.若$OP$的长为$m$，则$m$的取值范围为
$3≤ m≤ 5$
.答案
1. $3≤ m≤ 5$
解析
【分析】
要解决本题，需先确定OP取最值时的位置：根据垂线段最短，当OP垂直于弦AB时，OP的长度最小；当点P与弦AB的端点A（或B）重合时，OP长度等于圆的半径，此时长度最大。接下来结合垂径定理和勾股定理计算最小长度，结合半径得到最大长度，即可得到m的取值范围。
【解析】
解：
∵$\odot O$的直径为10，
∴$\odot O$的半径$OA=5$。
过点O作$OC⊥AB$于点C，根据垂径定理可得：
$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$。
在$Rt△ OAC$中，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OA^2 - AC^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{9}=3$。
∵P是弦AB上的动点，根据垂线段最短可知$OP≥ OC$，即$m≥3$；
当P与A（或B）重合时，$OP=OA=5$，此时$m$取得最大值5。
综上，$m$的取值范围为$3≤ m≤5$。
【答案】
$3≤ m≤ 5$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，垂线段最短
【点评】
本题是圆中动点线段的取值范围类基础题，解题的关键是找准线段取最值的位置，将动态问题转化为静态的线段计算问题，结合圆的性质和直角三角形的相关性质求解即可。
【难度系数】
0.7
要解决本题，需先确定OP取最值时的位置：根据垂线段最短，当OP垂直于弦AB时，OP的长度最小；当点P与弦AB的端点A（或B）重合时，OP长度等于圆的半径，此时长度最大。接下来结合垂径定理和勾股定理计算最小长度，结合半径得到最大长度，即可得到m的取值范围。
【解析】
解：
∵$\odot O$的直径为10，
∴$\odot O$的半径$OA=5$。
过点O作$OC⊥AB$于点C，根据垂径定理可得：
$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$。
在$Rt△ OAC$中，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OA^2 - AC^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{9}=3$。
∵P是弦AB上的动点，根据垂线段最短可知$OP≥ OC$，即$m≥3$；
当P与A（或B）重合时，$OP=OA=5$，此时$m$取得最大值5。
综上，$m$的取值范围为$3≤ m≤5$。
【答案】
$3≤ m≤ 5$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，垂线段最短
【点评】
本题是圆中动点线段的取值范围类基础题，解题的关键是找准线段取最值的位置，将动态问题转化为静态的线段计算问题，结合圆的性质和直角三角形的相关性质求解即可。
【难度系数】
0.7
【典型例题 2】如图,某窗户的形状是由矩形$ABCD$和$\overset{\frown}{AB}$组成的图形,已知$\overset{\frown}{AB}$是以点$O$为圆心的圆的一部分,$E$是$\overset{\frown}{AB}$的中点,$OE ⊥ AB$,垂足为$F$,且$EF=1\ \mathrm{m}$,$AB=3\ \mathrm{m}$.求$\odot O$的半径长.
【解】根据题意,得$AB=3\ \mathrm{m}$,$EF=1\ \mathrm{m}$,
$OE ⊥ AB$,垂足为$F$.
$\therefore AF=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{3}{2}(\mathrm{m})$.
设$\odot O$的半径长为$r$,则$AO=OE=r$,$OF=OE-EF=r-1$.
在$\mathrm{Rt}\ △ AOF$中,由勾股定理,得$AO^2=AF^2+OF^2$,即$r^2=(\dfrac{3}{2})^2+(r-1)^2$.
解得$r=\dfrac{13}{8}$.
$\therefore \odot O$的半径长为$\dfrac{13}{8}\ \mathrm{m}$.
【解】根据题意,得$AB=3\ \mathrm{m}$,$EF=1\ \mathrm{m}$,
$OE ⊥ AB$,垂足为$F$.
$\therefore AF=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{3}{2}(\mathrm{m})$.
设$\odot O$的半径长为$r$,则$AO=OE=r$,$OF=OE-EF=r-1$.
在$\mathrm{Rt}\ △ AOF$中,由勾股定理,得$AO^2=AF^2+OF^2$,即$r^2=(\dfrac{3}{2})^2+(r-1)^2$.
解得$r=\dfrac{13}{8}$.
$\therefore \odot O$的半径长为$\dfrac{13}{8}\ \mathrm{m}$.
答案
解：
根据题意，得$AB=3\ \mathrm{m}$，$EF=1\ \mathrm{m}$，$OE⊥ AB$，垂足为$F$。
由垂径定理，得$AF=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{3}{2}\ \mathrm{m}$。
设$\odot O$的半径长为$r$，则$AO=OE=r$，
$OF=OE-EF=r-1$。
在$\mathrm{Rt}△ AOF$中，由勾股定理，得
$AO^2=AF^2+OF^2$，
即$r^2=(\dfrac{3}{2})^2+(r-1)^2$，
解得$r=\dfrac{13}{8}$。
$\therefore \odot O$的半径长为$\dfrac{13}{8}\ \mathrm{m}$。
根据题意，得$AB=3\ \mathrm{m}$，$EF=1\ \mathrm{m}$，$OE⊥ AB$，垂足为$F$。
由垂径定理，得$AF=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{3}{2}\ \mathrm{m}$。
设$\odot O$的半径长为$r$，则$AO=OE=r$，
$OF=OE-EF=r-1$。
在$\mathrm{Rt}△ AOF$中，由勾股定理，得
$AO^2=AF^2+OF^2$，
即$r^2=(\dfrac{3}{2})^2+(r-1)^2$，
解得$r=\dfrac{13}{8}$。
$\therefore \odot O$的半径长为$\dfrac{13}{8}\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
要求$\odot O$的半径，首先观察图形，圆中存在垂直于弦$AB$的半径$OE$，优先考虑垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，可先求出弦$AB$的一半$AF$的长度；接着设半径为$r$，将直角三角形$AOF$的三条边用含$r$的代数式或已知量表示：$AO=r$，$OF=r-1$，$AF=\frac{3}{2}$；最后利用直角三角形的勾股定理列方程，解方程即可求出半径$r$的值。
【解析】
根据题意，得$AB=3\ \mathrm{m}$，$EF=1\ \mathrm{m}$，$OE⊥ AB$，垂足为$F$。
由垂径定理，得$AF=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{3}{2}\ \mathrm{m}$。
设$\odot O$的半径长为$r$，则$AO=OE=r$，
$OF=OE-EF=r-1$。
在$\mathrm{Rt}△ AOF$中，由勾股定理，得
$AO^2=AF^2+OF^2$，
即$r^2=(\dfrac{3}{2})^2+(r-1)^2$，
解得$r=\dfrac{13}{8}$。
$\therefore \odot O$的半径长为$\dfrac{13}{8}\ \mathrm{m}$。
【答案】
$\dfrac{13}{8}\ \mathrm{m}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，方程思想
【点评】
本题是圆的基本性质的常规应用题型，解题核心是通过垂径定理构造由半径、弦心距、半弦长组成的直角三角形，再结合勾股定理建立方程求解，掌握该模型可快速解决同类圆中线段计算问题。
【难度系数】
0.7
要求$\odot O$的半径，首先观察图形，圆中存在垂直于弦$AB$的半径$OE$，优先考虑垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，可先求出弦$AB$的一半$AF$的长度；接着设半径为$r$，将直角三角形$AOF$的三条边用含$r$的代数式或已知量表示：$AO=r$，$OF=r-1$，$AF=\frac{3}{2}$；最后利用直角三角形的勾股定理列方程，解方程即可求出半径$r$的值。
【解析】
根据题意，得$AB=3\ \mathrm{m}$，$EF=1\ \mathrm{m}$，$OE⊥ AB$，垂足为$F$。
由垂径定理，得$AF=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{3}{2}\ \mathrm{m}$。
设$\odot O$的半径长为$r$，则$AO=OE=r$，
$OF=OE-EF=r-1$。
在$\mathrm{Rt}△ AOF$中，由勾股定理，得
$AO^2=AF^2+OF^2$，
即$r^2=(\dfrac{3}{2})^2+(r-1)^2$，
解得$r=\dfrac{13}{8}$。
$\therefore \odot O$的半径长为$\dfrac{13}{8}\ \mathrm{m}$。
【答案】
$\dfrac{13}{8}\ \mathrm{m}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，方程思想
【点评】
本题是圆的基本性质的常规应用题型，解题核心是通过垂径定理构造由半径、弦心距、半弦长组成的直角三角形，再结合勾股定理建立方程求解，掌握该模型可快速解决同类圆中线段计算问题。
【难度系数】
0.7
2. 如图所示，要得到该残缺圆形工件的半径，可以在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交$\overset{\frown}{AB}$于点C，测出$AB=40\ \mathrm{cm}$，$CD=10\ \mathrm{cm}$，则圆形工件的半径长为（
A.$50\ \mathrm{cm}$
B.$35\ \mathrm{cm}$
C.$25\ \mathrm{cm}$
D.$20\ \mathrm{cm}$
C
）A.$50\ \mathrm{cm}$
B.$35\ \mathrm{cm}$
C.$25\ \mathrm{cm}$
D.$20\ \mathrm{cm}$
答案
2. C
解析
【分析】
本题是求残缺圆的半径问题，核心思路是利用垂径定理的推论：弦的垂直平分线经过圆心，可知CD所在直线过圆心。我们可以设圆的半径为r，此时半径、半弦长、圆心到AB的距离（即弦心距）构成直角三角形，结合勾股定理列方程即可求解半径。
【解析】
设该圆形工件的半径为$ r\ \mathrm{cm} $，圆心为点O，连接OA。
∵ CD是AB的垂直平分线，
∴ 根据垂径定理，CD所在直线过圆心O，且$ AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×40=20\ \mathrm{cm} $，
圆心O到AB的距离$ OD = OC - CD = (r - 10)\ \mathrm{cm} $。
在$ \mathrm{Rt}△ OAD $中，由勾股定理得：
$ OA^2 = AD^2 + OD^2 $
代入数据得：
$ r^2 = 20^2 + (r - 10)^2 $
展开化简：
$ r^2 = 400 + r^2 - 20r + 100 $
移项得$ 20r = 500 $，解得$ r=25 $。
即圆形工件的半径为25 cm。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理、勾股定理
【点评】
本题是垂径定理的典型应用题型，解题关键是识别出“半径、半弦长、弦心距构成直角三角形”的常用模型，通过设未知数列方程的方法求解，是圆中线段长度计算的常见考法。
【难度系数】
0.7
本题是求残缺圆的半径问题，核心思路是利用垂径定理的推论：弦的垂直平分线经过圆心，可知CD所在直线过圆心。我们可以设圆的半径为r，此时半径、半弦长、圆心到AB的距离（即弦心距）构成直角三角形，结合勾股定理列方程即可求解半径。
【解析】
设该圆形工件的半径为$ r\ \mathrm{cm} $，圆心为点O，连接OA。
∵ CD是AB的垂直平分线，
∴ 根据垂径定理，CD所在直线过圆心O，且$ AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×40=20\ \mathrm{cm} $，
圆心O到AB的距离$ OD = OC - CD = (r - 10)\ \mathrm{cm} $。
在$ \mathrm{Rt}△ OAD $中，由勾股定理得：
$ OA^2 = AD^2 + OD^2 $
代入数据得：
$ r^2 = 20^2 + (r - 10)^2 $
展开化简：
$ r^2 = 400 + r^2 - 20r + 100 $
移项得$ 20r = 500 $，解得$ r=25 $。
即圆形工件的半径为25 cm。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理、勾股定理
【点评】
本题是垂径定理的典型应用题型，解题关键是识别出“半径、半弦长、弦心距构成直角三角形”的常用模型，通过设未知数列方程的方法求解，是圆中线段长度计算的常见考法。
【难度系数】
0.7
1. 下列说法错误的是 （
A.圆是轴对称图形
B.圆的对称轴有无数条
C.圆的任意一条直径都是圆的对称轴
D.经过圆心的任意一条直线都是圆的对称轴
C
）A.圆是轴对称图形
B.圆的对称轴有无数条
C.圆的任意一条直径都是圆的对称轴
D.经过圆心的任意一条直线都是圆的对称轴
答案
1. C
解析
【分析】
解题时首先要明确两个核心概念：一是轴对称图形和对称轴的定义，对称轴是直线，不是线段；二是圆的轴对称性特征。接下来逐个分析选项：先判断圆是否为轴对称图形，再判断其对称轴的数量和具体形态，重点注意区分直径（线段）和过圆心的直线的差异，就能找出错误选项。
【解析】
根据轴对称图形的定义：沿一条直线对折后，直线两侧的部分能完全重合的图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
对各选项逐一分析：
A. 圆沿任意一条过圆心的直线对折，两侧都可完全重合，因此圆是轴对称图形，该选项说法正确；
B. 过圆心的直线有无数条，因此圆的对称轴有无数条，该选项说法正确；
C. 圆的直径是端点在圆上的线段，而对称轴必须是直线，因此不能说直径是圆的对称轴，该选项说法错误；
D. 经过圆心的任意一条直线都可使圆对折后两侧完全重合，都是圆的对称轴，该选项说法正确。
本题要求选择说法错误的选项，故选C。
【答案】
C
【知识点】
1.轴对称图形定义 2.圆的轴对称性 3.对称轴的概念
【点评】
本题主要考查对基础概念的辨析，易错点是混淆直径（线段）与直线的属性，忽略对称轴必须是直线的要求，解题时只要抓住核心概念的细节就能避免出错。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确两个核心概念：一是轴对称图形和对称轴的定义，对称轴是直线，不是线段；二是圆的轴对称性特征。接下来逐个分析选项：先判断圆是否为轴对称图形，再判断其对称轴的数量和具体形态，重点注意区分直径（线段）和过圆心的直线的差异，就能找出错误选项。
【解析】
根据轴对称图形的定义：沿一条直线对折后，直线两侧的部分能完全重合的图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
对各选项逐一分析：
A. 圆沿任意一条过圆心的直线对折，两侧都可完全重合，因此圆是轴对称图形，该选项说法正确；
B. 过圆心的直线有无数条，因此圆的对称轴有无数条，该选项说法正确；
C. 圆的直径是端点在圆上的线段，而对称轴必须是直线，因此不能说直径是圆的对称轴，该选项说法错误；
D. 经过圆心的任意一条直线都可使圆对折后两侧完全重合，都是圆的对称轴，该选项说法正确。
本题要求选择说法错误的选项，故选C。
【答案】
C
【知识点】
1.轴对称图形定义 2.圆的轴对称性 3.对称轴的概念
【点评】
本题主要考查对基础概念的辨析，易错点是混淆直径（线段）与直线的属性，忽略对称轴必须是直线的要求，解题时只要抓住核心概念的细节就能避免出错。
【难度系数】
0.7
