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1. 证明三角形两边的和大于第三边。
答案
证明：
在△ABC中，
根据“两点之间，线段最短”的基本事实：
点B、C两点间的所有连线中，线段BC的长度最短，因此沿路径B→A→C的长度AB+AC ＞ BC；
同理可得：
AB + BC ＞ AC，
AC + BC ＞ AB。
由此可得：三角形两边的和大于第三边。
在△ABC中，
根据“两点之间，线段最短”的基本事实：
点B、C两点间的所有连线中，线段BC的长度最短，因此沿路径B→A→C的长度AB+AC ＞ BC；
同理可得：
AB + BC ＞ AC，
AC + BC ＞ AB。
由此可得：三角形两边的和大于第三边。
解析
【分析】
要证明三角形两边的和大于第三边，可先回忆线段长度比较的相关基本事实：我们学过“两点之间，线段最短”，即两点之间的所有连线中，直接连接两点的线段长度是最短的。我们可以把三角形的任意两个顶点看作两个点，连接这两点的路径有两种：一种是直接作为三角形边的线段，另一种是经过第三个顶点的两条边拼接的路径，根据上述基本事实，拼接路径的长度必然大于直接线段的长度，对三角形的三条边分别做此推导，就能得到完整结论。
【解析】
证明：在△ABC中，
根据“两点之间，线段最短”的基本事实：
点B、C两点间的所有连线中，线段BC的长度最短，因此沿路径B→A→C的长度AB+AC ＞ BC；
同理可得：
AB + BC ＞ AC，
AC + BC ＞ AB。
由此可得：三角形两边的和大于第三边。
【答案】
证明：在△ABC中，
根据“两点之间，线段最短”的基本事实：
点B、C两点间的所有连线中，线段BC的长度最短，因此沿路径B→A→C的长度AB+AC ＞ BC；
同理可得：
AB + BC ＞ AC，
AC + BC ＞ AB。
由此可得：三角形两边的和大于第三边。
【知识点】
两点之间线段最短；三角形三边关系
【点评】
本题是三角形三边关系的基础推导题，核心是结合已学的几何基本事实完成论证，该结论是后续解决三角形边长判断、取值范围等相关问题的核心依据，需要熟练掌握推导逻辑和结论本身。
【难度系数】
0.9
要证明三角形两边的和大于第三边，可先回忆线段长度比较的相关基本事实：我们学过“两点之间，线段最短”，即两点之间的所有连线中，直接连接两点的线段长度是最短的。我们可以把三角形的任意两个顶点看作两个点，连接这两点的路径有两种：一种是直接作为三角形边的线段，另一种是经过第三个顶点的两条边拼接的路径，根据上述基本事实，拼接路径的长度必然大于直接线段的长度，对三角形的三条边分别做此推导，就能得到完整结论。
【解析】
证明：在△ABC中，
根据“两点之间，线段最短”的基本事实：
点B、C两点间的所有连线中，线段BC的长度最短，因此沿路径B→A→C的长度AB+AC ＞ BC；
同理可得：
AB + BC ＞ AC，
AC + BC ＞ AB。
由此可得：三角形两边的和大于第三边。
【答案】
证明：在△ABC中，
根据“两点之间，线段最短”的基本事实：
点B、C两点间的所有连线中，线段BC的长度最短，因此沿路径B→A→C的长度AB+AC ＞ BC；
同理可得：
AB + BC ＞ AC，
AC + BC ＞ AB。
由此可得：三角形两边的和大于第三边。
【知识点】
两点之间线段最短；三角形三边关系
【点评】
本题是三角形三边关系的基础推导题，核心是结合已学的几何基本事实完成论证，该结论是后续解决三角形边长判断、取值范围等相关问题的核心依据，需要熟练掌握推导逻辑和结论本身。
【难度系数】
0.9
三角形的性质：三角形两边的和
大于
第三边，三角形两边的差小于
第三边。答案
1. 大于 2. 小于
解析
【分析】
本题考查三角形三边的基本性质，解题时可结合三角形的构成逻辑思考：若要三条线段能构成三角形，需满足三条线段首尾可顺次连接形成封闭图形，若两条线段的长度之和小于或等于第三条线段的长度，则无法拼成三角形，因此可推出两边之和与第三边的关系；再结合不等式的移项变形，就能进一步推出两边之差与第三边的关系。
【解析】
根据三角形三边关系的基本定理：
1. 三角形任意两边的和大于第三边，否则三条线段无法构成封闭的三角形；
2. 设三角形三边长分别为a、b、c，由a+b＞c，通过不等式移项可得c-b＜a，同理可推得任意两边的差都小于第三边。
因此两个空依次填大于、小于。
【答案】
大于；小于
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是对三角形基础性质的直接考察，属于基础题，熟练掌握该性质是后续解决三角形边长取值范围、边长合理性判断等问题的前提。
【难度系数】
0.9
本题考查三角形三边的基本性质，解题时可结合三角形的构成逻辑思考：若要三条线段能构成三角形，需满足三条线段首尾可顺次连接形成封闭图形，若两条线段的长度之和小于或等于第三条线段的长度，则无法拼成三角形，因此可推出两边之和与第三边的关系；再结合不等式的移项变形，就能进一步推出两边之差与第三边的关系。
【解析】
根据三角形三边关系的基本定理：
1. 三角形任意两边的和大于第三边，否则三条线段无法构成封闭的三角形；
2. 设三角形三边长分别为a、b、c，由a+b＞c，通过不等式移项可得c-b＜a，同理可推得任意两边的差都小于第三边。
因此两个空依次填大于、小于。
【答案】
大于；小于
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是对三角形基础性质的直接考察，属于基础题，熟练掌握该性质是后续解决三角形边长取值范围、边长合理性判断等问题的前提。
【难度系数】
0.9
1. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（
A.3，4，8
B.5，6，10
C.5，5，11
D.5，6，11
B
）.A.3，4，8
B.5，6，10
C.5，5，11
D.5，6，11
答案
1. B
解析
【分析】
要判断三条线段能否组成三角形，依据是三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。为了提高解题效率，不用验证三组两边之和，只需要把较短的两条线段的长度相加，和最长的线段比较即可：如果较短两边之和大于最长边，就能组成三角形，反之则不能。接下来我们逐个验证选项即可得到答案。
【解析】
判断三条线段能否构成三角形的依据：三角形任意两边之和大于第三边，简便验证方法为较短两条线段之和大于最长线段。
对各选项逐一验证：
A选项：较短两条线段为3、4，和为3+4=7，7＜8，不满足条件，不能组成三角形；
B选项：较短两条线段为5、6，和为5+6=11，11＞10，满足条件，可以组成三角形；
C选项：较短两条线段为5、5，和为5+5=10，10＜11，不满足条件，不能组成三角形；
D选项：较短两条线段为5、6，和为5+6=11，11=11，此时三条线段共线，不满足条件，不能组成三角形。
综上，符合要求的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查三角形三边关系的应用，解题时使用“较短两边之和与最长边比较”的方法可快速得出结果，需要注意的是，当两边之和等于第三边时，三条线段无法围成封闭的三角形，要避免误判。
【难度系数】
0.85
要判断三条线段能否组成三角形，依据是三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。为了提高解题效率，不用验证三组两边之和，只需要把较短的两条线段的长度相加，和最长的线段比较即可：如果较短两边之和大于最长边，就能组成三角形，反之则不能。接下来我们逐个验证选项即可得到答案。
【解析】
判断三条线段能否构成三角形的依据：三角形任意两边之和大于第三边，简便验证方法为较短两条线段之和大于最长线段。
对各选项逐一验证：
A选项：较短两条线段为3、4，和为3+4=7，7＜8，不满足条件，不能组成三角形；
B选项：较短两条线段为5、6，和为5+6=11，11＞10，满足条件，可以组成三角形；
C选项：较短两条线段为5、5，和为5+5=10，10＜11，不满足条件，不能组成三角形；
D选项：较短两条线段为5、6，和为5+6=11，11=11，此时三条线段共线，不满足条件，不能组成三角形。
综上，符合要求的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查三角形三边关系的应用，解题时使用“较短两边之和与最长边比较”的方法可快速得出结果，需要注意的是，当两边之和等于第三边时，三条线段无法围成封闭的三角形，要避免误判。
【难度系数】
0.85
2. 在$△ ABC$中，若$AB=2$，$AC=4$，且$BC$的长为整数，则$△ ABC$的周长可能是（
A.8
B.11
C.12
D.15
B
）.A.8
B.11
C.12
D.15
答案
2. B
解析
【分析】
解决本题的核心思路是先利用三角形三边关系确定第三边BC的取值范围，再结合BC为整数的条件筛选出BC的所有可能值，最后计算对应周长匹配选项即可。具体思考步骤：首先回忆三角形三边的关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此列式求出BC的范围；再根据BC是整数列举所有符合条件的长度；最后代入周长公式计算，对应选项得到答案。
【解析】
根据三角形三边关系：三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边。
已知AB=2，AC=4，因此第三边BC满足：
$AC - AB ＜ BC ＜ AC + AB$
代入数据得：$4-2 ＜ BC ＜ 4+2$，即$2 ＜ BC ＜ 6$。
∵BC的长为整数，
∴BC的可能取值为3、4、5。
三角形的周长为$AB+AC+BC=2+4+BC=6+BC$，
对应周长分别为：
当BC=3时，周长=6+3=9；
当BC=4时，周长=6+4=10；
当BC=5时，周长=6+5=11。
结合选项，只有11符合要求，故选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系；三角形周长计算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查三角形三边关系的应用，解题的关键是准确求出第三边的取值范围，再结合限定条件求出可能的周长，熟练掌握三边关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心思路是先利用三角形三边关系确定第三边BC的取值范围，再结合BC为整数的条件筛选出BC的所有可能值，最后计算对应周长匹配选项即可。具体思考步骤：首先回忆三角形三边的关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此列式求出BC的范围；再根据BC是整数列举所有符合条件的长度；最后代入周长公式计算，对应选项得到答案。
【解析】
根据三角形三边关系：三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边。
已知AB=2，AC=4，因此第三边BC满足：
$AC - AB ＜ BC ＜ AC + AB$
代入数据得：$4-2 ＜ BC ＜ 4+2$，即$2 ＜ BC ＜ 6$。
∵BC的长为整数，
∴BC的可能取值为3、4、5。
三角形的周长为$AB+AC+BC=2+4+BC=6+BC$，
对应周长分别为：
当BC=3时，周长=6+3=9；
当BC=4时，周长=6+4=10；
当BC=5时，周长=6+5=11。
结合选项，只有11符合要求，故选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系；三角形周长计算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查三角形三边关系的应用，解题的关键是准确求出第三边的取值范围，再结合限定条件求出可能的周长，熟练掌握三边关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3. 如果三角形的三边长分别为a，4，5，那么a的取值范围为（
A.$a＞1$
B.$a＜9$
C.$a=3$
D.$1＜a＜9$
D
）.A.$a＞1$
B.$a＜9$
C.$a=3$
D.$1＜a＜9$
答案
3. D
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆三角形三边的核心性质：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。已知三角形两条边长为4和5，求第三边a的取值范围时，直接利用“第三边的长度大于已知两边的差，小于已知两边的和”的规律计算即可，该规律已经涵盖了所有三边关系的要求，不需要额外验证其他组合。
【解析】
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
可得第三边$a$满足：
$5 - 4 ＜ a ＜ 5 + 4$
计算得：$1 ＜ a ＜ 9$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是基础题型，重点考查三角形三边关系的直接应用，解题时只要掌握第三边的取值范围介于已知两边的差与和之间的规律，就能快速得出结果，属于对基础概念掌握情况的常规考查。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆三角形三边的核心性质：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。已知三角形两条边长为4和5，求第三边a的取值范围时，直接利用“第三边的长度大于已知两边的差，小于已知两边的和”的规律计算即可，该规律已经涵盖了所有三边关系的要求，不需要额外验证其他组合。
【解析】
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
可得第三边$a$满足：
$5 - 4 ＜ a ＜ 5 + 4$
计算得：$1 ＜ a ＜ 9$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是基础题型，重点考查三角形三边关系的直接应用，解题时只要掌握第三边的取值范围介于已知两边的差与和之间的规律，就能快速得出结果，属于对基础概念掌握情况的常规考查。
【难度系数】
0.9
4. 若等腰三角形的两边长分别为3和5，则该等腰三角形的周长为（
A.11
B.13
C.11或13
D.12
C
）.A.11
B.13
C.11或13
D.12
答案
4. C
解析
【分析】
本题考查等腰三角形的周长计算，解题思路如下：1. 结合等腰三角形两腰长度相等的性质，题目仅给出两边长为3和5，未明确哪条是腰、哪条是底，因此需要分两种情况分类讨论；2. 每种情况确定三边长后，必须根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证是否能构成三角形，排除不符合要求的情况；3. 对符合三边关系的情况分别计算周长，最终汇总得到完整答案。
【解析】
解：已知等腰三角形两边长为3和5，分两种情况讨论：
① 当腰长为3时，三角形三边长分别为3，3，5。
验证三边关系：$3+3=6＞5$，$3+5=8＞3$，满足三角形三边关系，可构成三角形。
此时周长为：$3+3+5=11$。
② 当腰长为5时，三角形三边长分别为5，5，3。
验证三边关系：$5+3=8＞5$，$5+5=10＞3$，满足三角形三边关系，可构成三角形。
此时周长为：$5+5+3=13$。
综上，该等腰三角形的周长为11或13。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是等腰三角形相关的基础题型，解题的关键是熟练运用分类讨论思想，明确未明确腰和底的情况下需分情况讨论，同时要养成用三边关系验证三角形是否成立的习惯，避免出现错解、漏解的问题。
【难度系数】
0.7
本题考查等腰三角形的周长计算，解题思路如下：1. 结合等腰三角形两腰长度相等的性质，题目仅给出两边长为3和5，未明确哪条是腰、哪条是底，因此需要分两种情况分类讨论；2. 每种情况确定三边长后，必须根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证是否能构成三角形，排除不符合要求的情况；3. 对符合三边关系的情况分别计算周长，最终汇总得到完整答案。
【解析】
解：已知等腰三角形两边长为3和5，分两种情况讨论：
① 当腰长为3时，三角形三边长分别为3，3，5。
验证三边关系：$3+3=6＞5$，$3+5=8＞3$，满足三角形三边关系，可构成三角形。
此时周长为：$3+3+5=11$。
② 当腰长为5时，三角形三边长分别为5，5，3。
验证三边关系：$5+3=8＞5$，$5+5=10＞3$，满足三角形三边关系，可构成三角形。
此时周长为：$5+5+3=13$。
综上，该等腰三角形的周长为11或13。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是等腰三角形相关的基础题型，解题的关键是熟练运用分类讨论思想，明确未明确腰和底的情况下需分情况讨论，同时要养成用三边关系验证三角形是否成立的习惯，避免出现错解、漏解的问题。
【难度系数】
0.7
5. 在$△ ABC$中，$AB=3$，$BC=5$，$AC$的长度可以是
4（答案不唯一，合理即可）
.（写出一个满足条件的答案即可）答案
5. 4（答案不唯一，合理即可）
解析
【分析】
本题考查三角形三边关系的应用，解题思路如下：首先回忆三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。已知三角形的两条边长，求第三边的取值范围时，用已知两边的和作为第三边的上限，两边的差作为第三边的下限，得到取值范围后，在范围内任选一个数值即可。
【解析】
根据三角形三边关系：任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，可得：
$BC-AB ＜ AC ＜ BC+AB$
将$AB=3$，$BC=5$代入不等式，得：
$5-3 ＜ AC ＜ 5+3$
即$2 ＜ AC ＜ 8$
因此只要是大于2且小于8的数都满足条件，例如4。
【答案】
4（答案不唯一，大于2且小于8的数均可）
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查三角形三边关系的直接应用，解题关键是准确求出第三边的取值范围，掌握三边关系即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
本题考查三角形三边关系的应用，解题思路如下：首先回忆三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。已知三角形的两条边长，求第三边的取值范围时，用已知两边的和作为第三边的上限，两边的差作为第三边的下限，得到取值范围后，在范围内任选一个数值即可。
【解析】
根据三角形三边关系：任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，可得：
$BC-AB ＜ AC ＜ BC+AB$
将$AB=3$，$BC=5$代入不等式，得：
$5-3 ＜ AC ＜ 5+3$
即$2 ＜ AC ＜ 8$
因此只要是大于2且小于8的数都满足条件，例如4。
【答案】
4（答案不唯一，大于2且小于8的数均可）
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查三角形三边关系的直接应用，解题关键是准确求出第三边的取值范围，掌握三边关系即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
6. 已知三角形的两边长分别为17 cm和8 cm，第三条边与其中一边的长相等，则第三边的长为
17 cm
。答案
6. 17 cm
解析
【分析】
解题时先根据题干“第三条边与其中一边的长相等”，确定第三边的两种可能取值：8cm或17cm；再依据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）分别验证两种情况能否构成三角形，排除不符合要求的情况，即可得到正确结果。
【解析】
已知三角形两边长分别为17cm和8cm，第三边与其中一边相等，因此分两种情况讨论：
1. 若第三边长为8cm：此时三角形三边长为8cm、8cm、17cm，计算较短两边之和：$8+8=16\mathrm{cm}$，$16＜17$，不满足三角形两边之和大于第三边的要求，无法构成三角形，该情况舍去；
2. 若第三边长为17cm：此时三角形三边长为8cm、17cm、17cm，计算较短两边之和：$8+17=25\mathrm{cm}$，$25＞17$，其余两边之和也均大于第三边，同时满足两边之差小于第三边，符合三角形三边关系，该情况成立。
综上，第三边的长为17cm。
【答案】
17 cm
【知识点】
三角形三边关系；分类讨论思想
【点评】
本题是三角形边长判定的基础题，易错点是仅根据题干描述直接给出两个可能的边长，忽略了需要验证三边是否能构成三角形，解题时遇到需要分情况讨论的问题，一定要结合对应定理验证结果是否符合要求。
【难度系数】
0.8
解题时先根据题干“第三条边与其中一边的长相等”，确定第三边的两种可能取值：8cm或17cm；再依据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）分别验证两种情况能否构成三角形，排除不符合要求的情况，即可得到正确结果。
【解析】
已知三角形两边长分别为17cm和8cm，第三边与其中一边相等，因此分两种情况讨论：
1. 若第三边长为8cm：此时三角形三边长为8cm、8cm、17cm，计算较短两边之和：$8+8=16\mathrm{cm}$，$16＜17$，不满足三角形两边之和大于第三边的要求，无法构成三角形，该情况舍去；
2. 若第三边长为17cm：此时三角形三边长为8cm、17cm、17cm，计算较短两边之和：$8+17=25\mathrm{cm}$，$25＞17$，其余两边之和也均大于第三边，同时满足两边之差小于第三边，符合三角形三边关系，该情况成立。
综上，第三边的长为17cm。
【答案】
17 cm
【知识点】
三角形三边关系；分类讨论思想
【点评】
本题是三角形边长判定的基础题，易错点是仅根据题干描述直接给出两个可能的边长，忽略了需要验证三边是否能构成三角形，解题时遇到需要分情况讨论的问题，一定要结合对应定理验证结果是否符合要求。
【难度系数】
0.8
