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7. 三个数3，1−a，1−2a在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边长能构成三角形，则a的取值范围为
$-3＜a＜-2$
。答案
7. $-3＜a＜-2$
解析
【分析】
解题分为两步：第一步根据数轴上数从左到右逐渐增大的性质，列出三个数的大小关系不等式，求出a的初步取值范围；第二步利用三角形三边关系“两边之和大于第三边”，因已知三个数的大小顺序，仅需验证两个较小边的和大于最大边即可，最后综合两个范围得到a的最终取值。
【解析】
1. 根据数轴上数的排列规律，三个数从左到右依次增大，可得不等式组：
$\begin{cases}3 ＜ 1 - a \\1 - a ＜ 1 - 2a \end{cases}$
解第一个不等式：
$3 ＜ 1 - a$，移项得$a ＜ 1 - 3$，即$a ＜ -2$
解第二个不等式：
$1 - a ＜ 1 - 2a$，移项得$2a - a ＜ 1 - 1$，即$a ＜ 0$
因此不等式组的公共解为$a ＜ -2$。
2. 由三个数可作为三角形边长，结合三角形三边关系：两边之和大于第三边。已知$1-2a$是三个数中的最大值，因此只需满足两个较短边的和大于最长边即可：
$3 + (1 - a) ＞ 1 - 2a$
化简得：$4 - a ＞ 1 - 2a$，移项得$2a - a ＞ 1 - 4$，即$a ＞ -3$。
综合上述两个结论，可得$a$的取值范围为$-3 ＜ a ＜ -2$。
【答案】
$-3＜a＜-2$
【知识点】
数轴的性质；三角形三边关系；解一元一次不等式
【点评】
本题属于综合型基础题，解题的核心是先通过数轴顺序确定三个数的大小，以此简化三边关系的验证步骤，避免多列无效不等式，同时要注意取值范围的边界是否可取。
【难度系数】
0.6
解题分为两步：第一步根据数轴上数从左到右逐渐增大的性质，列出三个数的大小关系不等式，求出a的初步取值范围；第二步利用三角形三边关系“两边之和大于第三边”，因已知三个数的大小顺序，仅需验证两个较小边的和大于最大边即可，最后综合两个范围得到a的最终取值。
【解析】
1. 根据数轴上数的排列规律，三个数从左到右依次增大，可得不等式组：
$\begin{cases}3 ＜ 1 - a \\1 - a ＜ 1 - 2a \end{cases}$
解第一个不等式：
$3 ＜ 1 - a$，移项得$a ＜ 1 - 3$，即$a ＜ -2$
解第二个不等式：
$1 - a ＜ 1 - 2a$，移项得$2a - a ＜ 1 - 1$，即$a ＜ 0$
因此不等式组的公共解为$a ＜ -2$。
2. 由三个数可作为三角形边长，结合三角形三边关系：两边之和大于第三边。已知$1-2a$是三个数中的最大值，因此只需满足两个较短边的和大于最长边即可：
$3 + (1 - a) ＞ 1 - 2a$
化简得：$4 - a ＞ 1 - 2a$，移项得$2a - a ＞ 1 - 4$，即$a ＞ -3$。
综合上述两个结论，可得$a$的取值范围为$-3 ＜ a ＜ -2$。
【答案】
$-3＜a＜-2$
【知识点】
数轴的性质；三角形三边关系；解一元一次不等式
【点评】
本题属于综合型基础题，解题的核心是先通过数轴顺序确定三个数的大小，以此简化三边关系的验证步骤，避免多列无效不等式，同时要注意取值范围的边界是否可取。
【难度系数】
0.6
8. 如图13.2-1.
由三角形两边的和大于第三边，得AB＋AD＞
（1）补全上面步骤.
（2）仿照图13.2-1的方法，请你利用图13.2-2，过点P作直线MN分别交AB，AC于点M，N，证明：AB＋AC＞PB＋PC.
由三角形两边的和大于第三边，得AB＋AD＞
BD
，PD＋CD＞PC
. 将不等式左边、右边分别相加，得AB＋AD＋PD＋CD＞$BD+PC$
，即AB＋AC＞$BP+PC$
.（1）补全上面步骤.
（2）仿照图13.2-1的方法，请你利用图13.2-2，过点P作直线MN分别交AB，AC于点M，N，证明：AB＋AC＞PB＋PC.
答案
（1）BD PC $BD+PC$ $BP+PC$
（2）证明：在$△ AMN$中，$AM+AN＞MN$，在$△ MPB$中，$MP+MB＞PB$，在$△ NPC$中，$NP+NC＞PC$. 将三个不等式相加，得$AM+AN+MP+MB+NP+NC＞MN+PB+PC$，即$AB+AC＞PB+PC$
（2）证明：在$△ AMN$中，$AM+AN＞MN$，在$△ MPB$中，$MP+MB＞PB$，在$△ NPC$中，$NP+NC＞PC$. 将三个不等式相加，得$AM+AN+MP+MB+NP+NC＞MN+PB+PC$，即$AB+AC＞PB+PC$
解析
【分析】
（1）本题利用三角形三边关系填空：首先在△ABD中，根据两边之和大于第三边可得AB+AD＞BD；再在△PDC中同理可得PD+CD＞PC；将两个不等式左右分别相加，左边为AB+AD+PD+CD，右边为BD+PC，再结合AD+CD=AC、BD=BP+PD，抵消两边公共的PD后即可得到AB+AC＞BP+PC，据此补全空缺即可。
（2）仿照（1）的解题思路，作直线MN后，分别在△AMN、△MPB、△NPC中应用三角形三边关系列出三个不等式，将三个不等式左右分别相加，合并线段后消去两侧公共的MN，即可推导出待证结论。
【解析】
（1）根据三角形两边之和大于第三边：
在△ABD中，$AB+AD＞BD$；
在△PDC中，$PD+CD＞PC$；
将两个不等式左右两边分别相加，得$AB+AD+PD+CD＞BD+PC$，
又$AD+CD=AC$，$BD=BP+PD$，代入化简得$AB+AC＞BP+PC$。
（2）证明：在$△ AMN$中，$AM+AN＞MN$，在$△ MPB$中，$MP+MB＞PB$，在$△ NPC$中，$NP+NC＞PC$。将三个不等式相加，得$AM+AN+MP+MB+NP+NC＞MN+PB+PC$，即$AB+AC＞PB+PC$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{BD}$；$\boldsymbol{PC}$；$\boldsymbol{BD+PC}$；$\boldsymbol{BP+PC}$
（2）证明过程见上述解析。
【知识点】
三角形三边关系；不等式的性质
【点评】
本题是三角形线段不等关系证明的典型题，核心解题方法是利用三角形三边关系列不等式，再通过累加不等式、消去公共线段得到目标结论，有助于培养学生的逻辑推导和模型应用能力。
【难度系数】
0.7
（1）本题利用三角形三边关系填空：首先在△ABD中，根据两边之和大于第三边可得AB+AD＞BD；再在△PDC中同理可得PD+CD＞PC；将两个不等式左右分别相加，左边为AB+AD+PD+CD，右边为BD+PC，再结合AD+CD=AC、BD=BP+PD，抵消两边公共的PD后即可得到AB+AC＞BP+PC，据此补全空缺即可。
（2）仿照（1）的解题思路，作直线MN后，分别在△AMN、△MPB、△NPC中应用三角形三边关系列出三个不等式，将三个不等式左右分别相加，合并线段后消去两侧公共的MN，即可推导出待证结论。
【解析】
（1）根据三角形两边之和大于第三边：
在△ABD中，$AB+AD＞BD$；
在△PDC中，$PD+CD＞PC$；
将两个不等式左右两边分别相加，得$AB+AD+PD+CD＞BD+PC$，
又$AD+CD=AC$，$BD=BP+PD$，代入化简得$AB+AC＞BP+PC$。
（2）证明：在$△ AMN$中，$AM+AN＞MN$，在$△ MPB$中，$MP+MB＞PB$，在$△ NPC$中，$NP+NC＞PC$。将三个不等式相加，得$AM+AN+MP+MB+NP+NC＞MN+PB+PC$，即$AB+AC＞PB+PC$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{BD}$；$\boldsymbol{PC}$；$\boldsymbol{BD+PC}$；$\boldsymbol{BP+PC}$
（2）证明过程见上述解析。
【知识点】
三角形三边关系；不等式的性质
【点评】
本题是三角形线段不等关系证明的典型题，核心解题方法是利用三角形三边关系列不等式，再通过累加不等式、消去公共线段得到目标结论，有助于培养学生的逻辑推导和模型应用能力。
【难度系数】
0.7
9. 下列长度（单位：cm）的3根小木棒能搭成三角形的是(
A.1，2，3
B.2，3，4
C.3，5，8
D.4，5，10
B
).A.1，2，3
B.2，3，4
C.3，5，8
D.4，5，10
答案
9. B
解析
【分析】
要判断三根小木棒能否搭成三角形，核心依据是三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。为了简化计算，我们只需验证较短的两条边的长度之和是否大于最长边的长度即可——如果较短两边的和都大于最长边，那么其余任意两边的和必然大于第三边，满足三边关系；反之则不满足。接下来我们逐一验证每个选项即可得出答案。
【解析】
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，可通过“较短两边之和大于最长边”的简便方法判断：
A选项：较短两边为1cm、2cm，和为1+2=3cm，等于最长边3cm，不满足大于的要求，不能搭成三角形；
B选项：较短两边为2cm、3cm，和为2+3=5cm，5cm＞4cm（最长边），满足三边关系，可以搭成三角形；
C选项：较短两边为3cm、5cm，和为3+5=8cm，等于最长边8cm，不满足要求，不能搭成三角形；
D选项：较短两边为4cm、5cm，和为4+5=9cm，9cm＜10cm（最长边），不满足要求，不能搭成三角形。
综上，符合要求的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用题型，掌握简便判断方法可快速得出结论，需要注意两边之和等于第三边时也无法构成三角形，避免粗心出错。
【难度系数】
0.9
要判断三根小木棒能否搭成三角形，核心依据是三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。为了简化计算，我们只需验证较短的两条边的长度之和是否大于最长边的长度即可——如果较短两边的和都大于最长边，那么其余任意两边的和必然大于第三边，满足三边关系；反之则不满足。接下来我们逐一验证每个选项即可得出答案。
【解析】
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，可通过“较短两边之和大于最长边”的简便方法判断：
A选项：较短两边为1cm、2cm，和为1+2=3cm，等于最长边3cm，不满足大于的要求，不能搭成三角形；
B选项：较短两边为2cm、3cm，和为2+3=5cm，5cm＞4cm（最长边），满足三边关系，可以搭成三角形；
C选项：较短两边为3cm、5cm，和为3+5=8cm，等于最长边8cm，不满足要求，不能搭成三角形；
D选项：较短两边为4cm、5cm，和为4+5=9cm，9cm＜10cm（最长边），不满足要求，不能搭成三角形。
综上，符合要求的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用题型，掌握简便判断方法可快速得出结论，需要注意两边之和等于第三边时也无法构成三角形，避免粗心出错。
【难度系数】
0.9
10. 若长度分别为3，6，a的三条线段能组成一个三角形，则整数a的值可以是
4（答案不唯一）
。答案
10. 4（答案不唯一）
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆三角形三边的关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。我们已知两条边的长度，先通过三边关系列出关于第三边a的不等式，求出a的取值范围，再结合a是整数的条件，在范围内任选一个符合要求的整数即可。
【解析】
根据三角形三边关系“两边之差＜第三边＜两边之和”，可得：
$6-3 ＜ a ＜ 6+3$
化简得$3 ＜ a ＜ 9$
因为a是整数，所以a可以取4、5、6、7、8中的任意一个值，例如4。
【答案】
4（答案不唯一）
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题型，主要考查三角形三边关系的应用，解题的核心是准确求出第三边的取值范围，结合整数限制条件选取符合要求的答案即可。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆三角形三边的关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。我们已知两条边的长度，先通过三边关系列出关于第三边a的不等式，求出a的取值范围，再结合a是整数的条件，在范围内任选一个符合要求的整数即可。
【解析】
根据三角形三边关系“两边之差＜第三边＜两边之和”，可得：
$6-3 ＜ a ＜ 6+3$
化简得$3 ＜ a ＜ 9$
因为a是整数，所以a可以取4、5、6、7、8中的任意一个值，例如4。
【答案】
4（答案不唯一）
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题型，主要考查三角形三边关系的应用，解题的核心是准确求出第三边的取值范围，结合整数限制条件选取符合要求的答案即可。
【难度系数】
0.9
