2. 若$△ ABC$的三条边的长度为$a$，$b$，$c$，且$|a - b| + (b - c)^2 = 0$，则这个三角形为（）。

A.等边三角形
B.等腰三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形

2. A

【分析】
首先观察已知等式的构成，等式左边是绝对值加平方的形式，我们知道绝对值和偶次平方都属于非负数，两个非负数的和为0时，只能是这两个非负数各自都等于0，由此可以得到三边长度的关系，再结合三角形的分类判定就能得出答案。
【解析】
解：
∵ 绝对值和平方数均为非负数，即$|a-b|≥0$，$(b-c)^2≥0$
又
∵ $|a - b| + (b - c)^2 = 0$
∴ 要使两个非负数的和为0，需每一项的值都为0，即：
$a - b = 0$，$b - c = 0$
解得：$a = b$，$b = c$
∴ $a = b = c$，即△ABC的三边长度相等
∴ 这个三角形是等边三角形。
【答案】
A
【知识点】
非负数的性质；等边三角形的判定
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是熟练掌握非负数的性质：若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，再结合边的数量关系判断三角形的类型即可。
【难度系数】
0.9

3. 如图13.1-2，在△ABF中，顶点B所对的边是。

3. AF

【分析】
要解决这道题，首先需要明确三角形对边的定义：在三角形中，一个顶点的对边是不经过该顶点，由三角形另外两个顶点连接构成的边。首先确定△ABF的三个顶点为A、B、F，顶点B对应的另外两个顶点是A和F，因此对应的边就是这两个顶点连接的线段。
【解析】
首先确定△ABF的三个顶点分别是A、B、F。
根据三角形对边的定义：三角形中某一顶点的对边是不含该顶点，由剩余两个顶点连接而成的边。
对于顶点B，剩余的两个顶点为A、F，二者连接形成的边是AF，因此顶点B所对的边是AF。
【答案】
AF
【知识点】
三角形的基本概念，三角形对边的定义
【点评】
本题是三角形概念的基础考查题，核心是理解三角形顶点和对边的对应关系，掌握基础概念即可快速作答，是学习三角形后续知识的基础。
【难度系数】
0.9

4. 如图13.1-3，在△ABC中，顶点B所对的边是；在△ABD中，顶点B所对的边是；以∠C为角，AD为边的三角形是。

4. AC AD △ADC

【分析】
解题时首先回忆三角形的基础概念：①在任意三角形中，一个顶点所对的边，是不经过该顶点、由另外两个顶点连接而成的边；②要确定符合条件的三角形，需保证该三角形同时包含题目给出的指定边和指定角。按照这个思路依次分析三个问题即可：首先分别在△ABC、△ABD中找出不经过顶点B的边，再找同时包含AD和∠C的三角形。
【解析】
1. 在△ABC中，三条边分别为AB、BC、AC，其中不经过顶点B的边是AC，因此顶点B所对的边是AC；
2. 在△ABD中，三条边分别为AB、BD、AD，其中不经过顶点B的边是AD，因此顶点B所对的边是AD；
3. 要找以∠C为角、AD为边的三角形，需满足三角形同时包含边AD和内角∠C，观察图形可知只有△ADC同时符合这两个条件，因此该三角形是△ADC。
【答案】
AC AD △ADC
【知识点】
三角形基本概念，顶点与对边对应，三角形元素识别
【点评】
本题是三角形基础概念的常规考察题，难度较低，解题的关键是明确三角形的顶点、边、内角的对应关系，注意区分不同三角形内的对应元素，避免混淆即可得分。
【难度系数】
0.9

5. 若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图13.1-4中以BC为公共边的“共边三角形”有对.

5. 3

【分析】
解题时首先要准确理解题中给出的“共边三角形”的定义，本题要求找以BC为公共边的共边三角形，因此第一步需要先找出所有以BC为边的三角形，再计算这些三角形两两组合的对数，即可得到最终结果，计数时要注意做到不重复、不遗漏。
【解析】
首先找出图中所有以BC为边的三角形，共有3个，分别是：△ABC、△EBC、△DBC。
将这3个三角形两两配对，得到以BC为公共边的共边三角形：
1. △ABC和△DBC；
2. △ABC和△EBC；
3. △DBC和△EBC。
合计共3对。
【答案】
3
【知识点】
三角形的概念、新定义理解
【点评】
本题属于新定义类的基础计数题，解题核心是先准确理解新定义的要求，再按规则枚举计数，避免漏数或重复计数即可得分。
【难度系数】
0.8

6. 如图13.1-5，直线$ l $经过A，B，C，D，E五点，点P是直线$ l $外一点，连接PA，PB，PC，PD，PE，则共有个三角形。

6. 10

【分析】
要计算图中三角形的个数，首先观察图形特征：所有三角形都有公共顶点P，另外两个顶点都在直线l上。根据三角形的定义，不在同一直线上的三点可构成一个三角形，因此只要确定直线l上的一条线段，就能和点P唯一组成一个三角形，因此数三角形的个数可以转化为数直线l上的线段总条数。计数时按左端点顺序枚举，可避免重复或遗漏：先数以A为左端点的线段，再依次以B、C、D为左端点，统计不重复的线段数量后相加即可。
【解析】
所有三角形以P为公共顶点，另外两个顶点为直线l上的两点，且P与直线l上任意两点均不共线，因此三角形的个数等于直线l上的线段总条数。
直线l上共有5个点，按顺序计数线段：
以A为左端点的线段：AB、AC、AD、AE，共4条；
以B为左端点的不重复线段：BC、BD、BE，共3条；
以C为左端点的不重复线段：CD、CE，共2条；
以D为左端点的不重复线段：DE，共1条。
线段总条数为$4+3+2+1=10$，即三角形共有10个。
【答案】
10
【知识点】
三角形的定义，线段计数
【点评】
本题是几何基础计数题，通过转化思想将数三角形转化为数线段，可简化计算过程，解题时注意按固定顺序计数，避免出现重复或遗漏的问题。
【难度系数】
0.8

7. 找规律，填空.
【观察分析】（1）请按照下列要求数出三角形的个数.
①边BC上有1个点（图13.1-6），三角形的个数为.
②边BC上有2个点（图13.1-7），三角形的个数为.
③边BC上有3个点（图13.1-8），三角形的个数为.

【归纳总结】（2）当边BC上有m个点（不含B，C两点）时，求图形中三角形的个数.

7. （1）①3 ②6 ③10 （2）$\frac{(m+1)(m+2)}{2}$

【分析】
所有三角形都有公共顶点A，因此三角形的个数与边BC上的线段条数一一对应，每1条BC上的线段和顶点A均可组成1个三角形，因此只需计数BC上的线段数量即可得到三角形个数。先分别计算3个图中BC上的线段数得到前3问答案，再推导BC上有m个点时的线段数计算公式即可。
【解析】
（1）①图13.1-6中，BC上含B、C共3个点，线段条数为$2+1=3$，故三角形个数为3；
②图13.1-7中，BC上含B、C共4个点，线段条数为$3+2+1=6$，故三角形个数为6；
③图13.1-8中，BC上含B、C共5个点，线段条数为$4+3+2+1=10$，故三角形个数为10；
（2）当边BC上有m个点（不含B、C两点）时，BC上总共有$(m+2)$个点，线段条数为从$(m+1)$依次递减到1的和：
$(m+1)+m+(m-1)+\dots+2+1 = \frac{(m+1)(m+1+1)}{2} = \frac{(m+1)(m+2)}{2}$，即三角形个数为$\frac{(m+1)(m+2)}{2}$。
【答案】
（1）①3；②6；③10 （2）$\frac{(m+1)(m+2)}{2}$
【知识点】
三角形的概念；线段计数；规律探究
【点评】
本题是几何计数类规律探究题，核心技巧是将共顶点的三角形计数转化为其对边的线段计数，避免直接数三角形时出现漏数、重复数的问题，同时需要掌握等差数列求和的计算方法来推导通用公式。
【难度系数】
0.7

8. 过A，B，C，D，E五个点中任意三点画三角形.
（1）以AB为边可以画出个三角形，请在图13.1-9中画出来.
（2）以C为顶点可以画出个三角形，请在图13.1-10中画出来.

图13.1-9

图13.1-10

8. （1）3 （2）6

【分析】
解题时先回忆三角形的构成条件：三个不共线的顶点可确定一个三角形。
（1）要求以AB为边画三角形，只需确定第三个顶点即可，排除A、B两点，剩余C、D、E三个点均满足条件，每个点与AB组合可得到1个三角形，即可算出总数。
（2）要求以C为顶点画三角形，只需从剩余的A、B、D、E四个点中任选2个作为另外两个顶点，按顺序枚举组合，避免漏数、重复数，即可算出总数。
【解析】
（1）以AB为边时，第三个顶点可选C、D、E，对应的三角形分别为△ABC、△ABD、△ABE，共3个。
（2）以C为顶点时，从A、B、D、E中选2个点的组合有：AB、AD、AE、BD、BE、DE，对应的三角形分别为△CAB、△CAD、△CAE、△CBD、△CBE、△CDE，共6个。
【答案】
（1）3；（2）6
【知识点】
三角形的概念、有序计数
【点评】
本题考查三角形的基本概念和计数能力，解题时要按照固定顺序枚举组合，避免出现重复计数或漏计数的问题。
【难度系数】
0.8