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1. 下列等式变形中，正确的是（
A.若$2x - 3 = 4$，则$2x = -7$
B.若$-8x = 4$，则$x = \frac{1}{2}$
C.若$-\frac{2}{3}x = 2$，则$2x = 6$
D.若$5x + 2 = -6$，则$5x = -8$
D
）A.若$2x - 3 = 4$，则$2x = -7$
B.若$-8x = 4$，则$x = \frac{1}{2}$
C.若$-\frac{2}{3}x = 2$，则$2x = 6$
D.若$5x + 2 = -6$，则$5x = -8$
答案
D
解析
【分析】
本题考查等式性质的应用，解题思路如下：首先明确等式的两个基本性质：性质1为等式两边同时加或减同一个数（或整式），等式仍然成立；性质2为等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。接下来我们逐一用等式性质验证每个选项的变形是否正确，排除错误选项即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 若$2x-3=4$，根据等式性质1，两边同时加3，可得$2x=4+3=7$，而非$2x=-7$，故A错误；
B. 若$-8x=4$，根据等式性质2，两边同时除以$-8$，可得$x=4÷(-8)=-\frac{1}{2}$，而非$x=\frac{1}{2}$，故B错误；
C. 若$-\frac{2}{3}x=2$，根据等式性质2，两边同时乘3，可得$-2x=6$，而非$2x=6$，故C错误；
D. 若$5x+2=-6$，根据等式性质1，两边同时减2，可得$5x=-6-2=-8$，变形正确，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
等式的基本性质、一元一次方程变形
【点评】
本题是基础题型，核心考查等式性质的实际应用，解题时需重点关注变形过程中的符号变化，避免移项、系数化为1时因符号处理失误丢分。
【难度系数】
0.8
本题考查等式性质的应用，解题思路如下：首先明确等式的两个基本性质：性质1为等式两边同时加或减同一个数（或整式），等式仍然成立；性质2为等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。接下来我们逐一用等式性质验证每个选项的变形是否正确，排除错误选项即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 若$2x-3=4$，根据等式性质1，两边同时加3，可得$2x=4+3=7$，而非$2x=-7$，故A错误；
B. 若$-8x=4$，根据等式性质2，两边同时除以$-8$，可得$x=4÷(-8)=-\frac{1}{2}$，而非$x=\frac{1}{2}$，故B错误；
C. 若$-\frac{2}{3}x=2$，根据等式性质2，两边同时乘3，可得$-2x=6$，而非$2x=6$，故C错误；
D. 若$5x+2=-6$，根据等式性质1，两边同时减2，可得$5x=-6-2=-8$，变形正确，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
等式的基本性质、一元一次方程变形
【点评】
本题是基础题型，核心考查等式性质的实际应用，解题时需重点关注变形过程中的符号变化，避免移项、系数化为1时因符号处理失误丢分。
【难度系数】
0.8
2. 下列说法正确的是 （
A.若$a = b$，则$a - c = c - b$
B.若$ac = bc$，则$a = b$
C.若$a = b$，则$\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$
D.若$\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$，则$a = b$
D
）A.若$a = b$，则$a - c = c - b$
B.若$ac = bc$，则$a = b$
C.若$a = b$，则$\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$
D.若$\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$，则$a = b$
答案
D
解析
【分析】
本题考查等式的基本性质的应用，解题时需先回忆等式的两条核心性质：1. 等式两边加（或减）同一个数（或式子），等式仍然成立；2. 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。接下来逐一分析每个选项是否符合等式性质，尤其要注意“除以同一个不为0的数”这个前提条件，避免忽略$c=0$的特殊情况出错。
【解析】
结合等式的基本性质逐一判断选项：
1. 选项A：若$a = b$，根据等式性质1，两边同时减去$c$，可得$a - c = b - c$，而非$a - c = c - b$，因此A错误。
2. 选项B：若$ac = bc$，当$c = 0$时，无论$a$、$b$取何值，等式都成立（例如$2×0=3×0$，但$2≠3$），因此无法推出$a = b$，B错误。
3. 选项C：若$a = b$，根据等式性质2，两边同时除以$c$时，必须满足$c≠0$的前提，选项未说明$c$不为0，因此C错误。
4. 选项D：若$\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$，首先分母$c$不能为0（否则分式无意义），根据等式性质2，两边同时乘$c$，可得$a = b$，因此D正确。
【答案】
D
【知识点】
等式的基本性质
【点评】
本题是等式性质的基础考查题，易错点是容易忽略等式两边同时除以一个数时，该数不能为0的前提条件，做题时可通过代入$c=0$验证的方式排查错误选项。
【难度系数】
0.7
本题考查等式的基本性质的应用，解题时需先回忆等式的两条核心性质：1. 等式两边加（或减）同一个数（或式子），等式仍然成立；2. 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。接下来逐一分析每个选项是否符合等式性质，尤其要注意“除以同一个不为0的数”这个前提条件，避免忽略$c=0$的特殊情况出错。
【解析】
结合等式的基本性质逐一判断选项：
1. 选项A：若$a = b$，根据等式性质1，两边同时减去$c$，可得$a - c = b - c$，而非$a - c = c - b$，因此A错误。
2. 选项B：若$ac = bc$，当$c = 0$时，无论$a$、$b$取何值，等式都成立（例如$2×0=3×0$，但$2≠3$），因此无法推出$a = b$，B错误。
3. 选项C：若$a = b$，根据等式性质2，两边同时除以$c$时，必须满足$c≠0$的前提，选项未说明$c$不为0，因此C错误。
4. 选项D：若$\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$，首先分母$c$不能为0（否则分式无意义），根据等式性质2，两边同时乘$c$，可得$a = b$，因此D正确。
【答案】
D
【知识点】
等式的基本性质
【点评】
本题是等式性质的基础考查题，易错点是容易忽略等式两边同时除以一个数时，该数不能为0的前提条件，做题时可通过代入$c=0$验证的方式排查错误选项。
【难度系数】
0.7
3. 下列利用等式的性质解方程，错误的是（
A.由$-3x=45$，得$x=15$
B.由$x-2=4$，得$x=6$
C.由$\frac{1}{6}x=5$，得$x=30$
D.由$x+\frac{1}{2}=-3$，得$x=-\frac{7}{2}$
A
）A.由$-3x=45$，得$x=15$
B.由$x-2=4$，得$x=6$
C.由$\frac{1}{6}x=5$，得$x=30$
D.由$x+\frac{1}{2}=-3$，得$x=-\frac{7}{2}$
答案
A
解析
【分析】
本题考查等式性质在解方程中的应用，解题思路如下：首先回忆等式的两个基本性质：1.等式两边加（或减）同一个数（或式子），等式仍然成立；2.等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。再逐一验证每个选项的解方程过程是否符合等式性质，尤其注意等式两边除以负数时符号的变化，最终找出错误的选项。
【解析】
我们根据等式的性质逐一分析各选项：
A. 解方程$-3x=45$，根据等式性质2，两边同时除以$-3$，得$x=45÷(-3)=-15$，选项解得$x=15$，变形错误；
B. 解方程$x-2=4$，根据等式性质1，两边同时加2，得$x=4+2=6$，变形正确；
C. 解方程$\frac{1}{6}x=5$，根据等式性质2，两边同时乘6，得$x=5×6=30$，变形正确；
D. 解方程$x+\frac{1}{2}=-3$，根据等式性质1，两边同时减$\frac{1}{2}$，得$x=-3-\frac{1}{2}=-\frac{7}{2}$，变形正确。
因此变形错误的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
等式的性质；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础类题型，重点考查对等式性质的理解和规范运用，易错点为等式两边同时除以负数时忽略符号变化，解题时需注意计算细节，避免粗心出错。
【难度系数】
0.85
本题考查等式性质在解方程中的应用，解题思路如下：首先回忆等式的两个基本性质：1.等式两边加（或减）同一个数（或式子），等式仍然成立；2.等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。再逐一验证每个选项的解方程过程是否符合等式性质，尤其注意等式两边除以负数时符号的变化，最终找出错误的选项。
【解析】
我们根据等式的性质逐一分析各选项：
A. 解方程$-3x=45$，根据等式性质2，两边同时除以$-3$，得$x=45÷(-3)=-15$，选项解得$x=15$，变形错误；
B. 解方程$x-2=4$，根据等式性质1，两边同时加2，得$x=4+2=6$，变形正确；
C. 解方程$\frac{1}{6}x=5$，根据等式性质2，两边同时乘6，得$x=5×6=30$，变形正确；
D. 解方程$x+\frac{1}{2}=-3$，根据等式性质1，两边同时减$\frac{1}{2}$，得$x=-3-\frac{1}{2}=-\frac{7}{2}$，变形正确。
因此变形错误的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
等式的性质；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础类题型，重点考查对等式性质的理解和规范运用，易错点为等式两边同时除以负数时忽略符号变化，解题时需注意计算细节，避免粗心出错。
【难度系数】
0.85
4.已知方程$3x+6=x+■$中被方块“
”盖住的是一个常数，若此方程的解为$x=3$，则这个常数应该是（
A.6
B.8
C.10
D.12
”盖住的是一个常数，若此方程的解为$x=3$，则这个常数应该是（D
）A.6
B.8
C.10
D.12
答案
D
解析
【分析】
拿到这道题首先回忆方程的解的定义：能让方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。已知x=3是该方程的解，说明把x=3代入原方程后，左右两边的计算结果相等，此时被盖住的常数是唯一的未知量，我们可以设这个常数为a，代入x=3后得到关于a的一元一次方程，再计算求出a的值即可。
【解析】
设被方块盖住的常数为$a$。
因为$x=3$是方程$3x+6=x+a$的解，将$x=3$代入方程中：
左边计算：$3×3 + 6 = 9 + 6 = 15$
右边计算：$3 + a$
根据方程左右两边相等可得：$15 = 3 + a$
等式两边同时减去3，得：$a = 15 - 3 = 12$
即这个常数为12。
【答案】
D
【知识点】
方程的解的定义；等式的性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对方程的解的概念的理解，只要掌握“方程的解代入原方程等式成立”这一要点，代入计算即可得到结果，计算量小。
【难度系数】
0.85
拿到这道题首先回忆方程的解的定义：能让方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。已知x=3是该方程的解，说明把x=3代入原方程后，左右两边的计算结果相等，此时被盖住的常数是唯一的未知量，我们可以设这个常数为a，代入x=3后得到关于a的一元一次方程，再计算求出a的值即可。
【解析】
设被方块盖住的常数为$a$。
因为$x=3$是方程$3x+6=x+a$的解，将$x=3$代入方程中：
左边计算：$3×3 + 6 = 9 + 6 = 15$
右边计算：$3 + a$
根据方程左右两边相等可得：$15 = 3 + a$
等式两边同时减去3，得：$a = 15 - 3 = 12$
即这个常数为12。
【答案】
D
【知识点】
方程的解的定义；等式的性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对方程的解的概念的理解，只要掌握“方程的解代入原方程等式成立”这一要点，代入计算即可得到结果，计算量小。
【难度系数】
0.85
5.(1)在等式$5x=4x+1$的两边都
(2)在等式$-3x=\dfrac{1}{2}$的两边都
减去4x
得到等式$x=1$，这是根据等式的性质1
；(2)在等式$-3x=\dfrac{1}{2}$的两边都
除以$-3$
得到等式$x=-\dfrac{1}{6}$，这是根据等式的性质2
。答案
(1)减去 4x,等式的性质 1 (2)除以-3,等式的性质 2
解析
【分析】
解决这类题需先对比等式变形前后的差异，确定两边的操作，再匹配对应的等式性质：
(1) 对比$5x=4x+1$和$x=1$，发现左右两边都减少了$4x$，目的是消去右边的含$x$项，将$x$集中到左边，该操作对应等式两边同时加减同一个整式的规则；
(2) 对比$-3x=\dfrac{1}{2}$和$x=-\dfrac{1}{6}$，发现左右两边都除以了$-3$，目的是将$x$的系数化为1，该操作对应等式两边同时乘除同一个非零数的规则，注意除数不能为0。
【解析】
(1) 对等式$5x=4x+1$，根据等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等，两边同时减去$4x$，得$5x-4x=4x+1-4x$，化简后得到$x=1$；
(2) 对等式$-3x=\dfrac{1}{2}$，根据等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，两边同时除以$-3$，得$(-3x)÷(-3)=\dfrac{1}{2}÷(-3)$，化简后得到$x=-\dfrac{1}{6}$。
【答案】
(1)减去 4x,等式的性质 1 (2)除以-3,等式的性质 2
【知识点】
等式的性质1；等式的性质2
【点评】
本题是等式性质的基础应用题型，核心是掌握两个等式性质的适用场景，区分加减和乘除操作对应的不同性质，注意运用等式性质2时除数不能为0，是后续解方程的重要基础。
【难度系数】
0.9
解决这类题需先对比等式变形前后的差异，确定两边的操作，再匹配对应的等式性质：
(1) 对比$5x=4x+1$和$x=1$，发现左右两边都减少了$4x$，目的是消去右边的含$x$项，将$x$集中到左边，该操作对应等式两边同时加减同一个整式的规则；
(2) 对比$-3x=\dfrac{1}{2}$和$x=-\dfrac{1}{6}$，发现左右两边都除以了$-3$，目的是将$x$的系数化为1，该操作对应等式两边同时乘除同一个非零数的规则，注意除数不能为0。
【解析】
(1) 对等式$5x=4x+1$，根据等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等，两边同时减去$4x$，得$5x-4x=4x+1-4x$，化简后得到$x=1$；
(2) 对等式$-3x=\dfrac{1}{2}$，根据等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，两边同时除以$-3$，得$(-3x)÷(-3)=\dfrac{1}{2}÷(-3)$，化简后得到$x=-\dfrac{1}{6}$。
【答案】
(1)减去 4x,等式的性质 1 (2)除以-3,等式的性质 2
【知识点】
等式的性质1；等式的性质2
【点评】
本题是等式性质的基础应用题型，核心是掌握两个等式性质的适用场景，区分加减和乘除操作对应的不同性质，注意运用等式性质2时除数不能为0，是后续解方程的重要基础。
【难度系数】
0.9
6.已知$4x+8=16$，那么$x=$
2
；已知$-\dfrac{1}{2}x=4$，那么$x=$-8
。答案
2,-8
解析
【分析】
本题是利用等式的性质求解一元一次方程的基础题，解题思路如下：①求解$4x+8=16$时，先利用等式的性质1，等式两边同时减去8，消去左边的常数项，再利用等式的性质2，两边同时除以4，将x的系数化为1即可得到结果；②求解$-\dfrac{1}{2}x=4$时，直接利用等式的性质2，两边同时乘以$-2$，将x的系数化为1即可。
【解析】
1. 解方程$4x+8=16$：
根据等式的性质1，等式两边同时减去8，得：
$4x+8-8=16-8$
化简得$4x=8$
再根据等式的性质2，等式两边同时除以4，得：
$4x÷4=8÷4$
解得$x=2$
2. 解方程$-\dfrac{1}{2}x=4$：
根据等式的性质2，等式两边同时乘以$-2$，得：
$-\dfrac{1}{2}x×(-2)=4×(-2)$
解得$x=-8$
【答案】
$2$，$-8$
【知识点】
等式的性质；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础计算题，重点考察对等式性质的掌握和运用，计算过程中要注意运算符号，避免因符号失误丢分。
【难度系数】
0.9
本题是利用等式的性质求解一元一次方程的基础题，解题思路如下：①求解$4x+8=16$时，先利用等式的性质1，等式两边同时减去8，消去左边的常数项，再利用等式的性质2，两边同时除以4，将x的系数化为1即可得到结果；②求解$-\dfrac{1}{2}x=4$时，直接利用等式的性质2，两边同时乘以$-2$，将x的系数化为1即可。
【解析】
1. 解方程$4x+8=16$：
根据等式的性质1，等式两边同时减去8，得：
$4x+8-8=16-8$
化简得$4x=8$
再根据等式的性质2，等式两边同时除以4，得：
$4x÷4=8÷4$
解得$x=2$
2. 解方程$-\dfrac{1}{2}x=4$：
根据等式的性质2，等式两边同时乘以$-2$，得：
$-\dfrac{1}{2}x×(-2)=4×(-2)$
解得$x=-8$
【答案】
$2$，$-8$
【知识点】
等式的性质；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础计算题，重点考察对等式性质的掌握和运用，计算过程中要注意运算符号，避免因符号失误丢分。
【难度系数】
0.9
7. 小明在完成老师布置的练习题时，发现其中有一个方程$a-\frac{x}{2}=2$没有印刷清楚，小明找到课代表小王，小王解释：“老师说这个方程与$2x-4=0$的解相同.”
则$a$的值为
则$a$的值为
3
。答案
3
解析
【分析】
本题属于同解方程问题，解题思路分两步：第一步先求解不含参数的一元一次方程$2x-4=0$，得到$x$的取值；第二步根据“两个方程的解相同”，把求出的$x$代入含参数$a$的方程$a-\frac{x}{2}=2$，得到仅关于$a$的一元一次方程，求解即可得到$a$的值。
【解析】
1. 解方程$2x-4=0$：
根据等式的性质1，两边同时加4，得$2x=4$；
再根据等式的性质2，两边同时除以2，得$x=2$。
2. 代入求$a$的值：
因为两个方程的解相同，所以$x=2$也是方程$a-\frac{x}{2}=2$的解，将$x=2$代入该方程得：
$a-\frac{2}{2}=2$
化简得$a-1=2$
根据等式的性质1，两边同时加1，得$a=3$。
【答案】
3
【知识点】
同解方程，一元一次方程的解法，等式的性质
【点评】
本题是同解方程的基础应用题型，解题核心是利用“解相同”建立两个方程之间的联系，先求出确定方程的解再代入含参方程求参数，整体计算量小，熟练掌握一元一次方程的求解步骤即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
本题属于同解方程问题，解题思路分两步：第一步先求解不含参数的一元一次方程$2x-4=0$，得到$x$的取值；第二步根据“两个方程的解相同”，把求出的$x$代入含参数$a$的方程$a-\frac{x}{2}=2$，得到仅关于$a$的一元一次方程，求解即可得到$a$的值。
【解析】
1. 解方程$2x-4=0$：
根据等式的性质1，两边同时加4，得$2x=4$；
再根据等式的性质2，两边同时除以2，得$x=2$。
2. 代入求$a$的值：
因为两个方程的解相同，所以$x=2$也是方程$a-\frac{x}{2}=2$的解，将$x=2$代入该方程得：
$a-\frac{2}{2}=2$
化简得$a-1=2$
根据等式的性质1，两边同时加1，得$a=3$。
【答案】
3
【知识点】
同解方程，一元一次方程的解法，等式的性质
【点评】
本题是同解方程的基础应用题型，解题核心是利用“解相同”建立两个方程之间的联系，先求出确定方程的解再代入含参方程求参数，整体计算量小，熟练掌握一元一次方程的求解步骤即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
8.已知当$x=-1$时,代数式$3ax^2+4bx+2$的值为5,则当$x=3$时,代数式$7+3ax-4bx$的值为
16
.答案
16
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手，将x=-1代入给定的代数式，通过化简得到3a与4b的数量关系，再将x=3代入待求的代数式，对待求式变形后整体代入前面得到的数量关系，即可求出结果，无需单独计算a、b的具体值。
【解析】
第一步：把x=-1代入代数式$3ax^2+4bx+2=5$，可得：
$3a×(-1)^2 + 4b×(-1) + 2 = 5$
化简得：$3a - 4b + 2 = 5$
根据等式的性质移项得：$3a - 4b = 3$
第二步：把x=3代入代数式$7+3ax-4bx$，可得：
$7 + 3a×3 - 4b×3 = 7 + 9a - 12b$
将式子变形提取公因数3，得：$7 + 3×(3a - 4b)$
第三步：把$3a - 4b = 3$整体代入上式，得：
$7 + 3×3 = 7 + 9 = 16$
【答案】
16
【知识点】
代数式求值，整体代入思想，等式的性质
【点评】
本题是代数式求值的典型题型，核心是运用整体代入的思想，无需计算单个未知数的取值，通过变形建立已知条件和待求式之间的关联即可求解，能较好地考察学生的式子变形能力和整体思维。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手，将x=-1代入给定的代数式，通过化简得到3a与4b的数量关系，再将x=3代入待求的代数式，对待求式变形后整体代入前面得到的数量关系，即可求出结果，无需单独计算a、b的具体值。
【解析】
第一步：把x=-1代入代数式$3ax^2+4bx+2=5$，可得：
$3a×(-1)^2 + 4b×(-1) + 2 = 5$
化简得：$3a - 4b + 2 = 5$
根据等式的性质移项得：$3a - 4b = 3$
第二步：把x=3代入代数式$7+3ax-4bx$，可得：
$7 + 3a×3 - 4b×3 = 7 + 9a - 12b$
将式子变形提取公因数3，得：$7 + 3×(3a - 4b)$
第三步：把$3a - 4b = 3$整体代入上式，得：
$7 + 3×3 = 7 + 9 = 16$
【答案】
16
【知识点】
代数式求值，整体代入思想，等式的性质
【点评】
本题是代数式求值的典型题型，核心是运用整体代入的思想，无需计算单个未知数的取值，通过变形建立已知条件和待求式之间的关联即可求解，能较好地考察学生的式子变形能力和整体思维。
【难度系数】
0.7
