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8.甲种铅笔每支2元,乙种铅笔每支3元,用30元钱买了两种铅笔共10支,还剩4元,则两种铅笔各买了多少支?
解:设买了甲种铅笔x支,则买了乙种铅笔
这里$x＞0$.列表如下:
从表中可以看出$x=$
解:设买了甲种铅笔x支,则买了乙种铅笔
$10-x$
支,依题意得方程:$2x+3(10-x)=30-4$
.这里$x＞0$.列表如下:
从表中可以看出$x=$
4
是原方程的解.答案
8. $(10-x)$;$2x+3(10-x)=30-4$;4
解析
【分析】
解题时先梳理数量关系：两种铅笔总数量为10支，已知甲种铅笔数量是x支，就能用含x的代数式表示乙种铅笔的数量；再找总花费的等量关系：总钱数30元减去剩余的4元，就是买两种铅笔的总花费，甲、乙两种铅笔的总费用分别为“单价×数量”，两者相加等于总花费，据此可列出方程；最后对照表格，找到总花费等于实际花费金额时对应的x值，就是方程的解。
【解析】
1. 表示乙种铅笔数量：两种铅笔共10支，甲种铅笔为x支，因此乙种铅笔数量为$\boldsymbol{(10-x)}$支。
2. 列方程：买铅笔的总花费为$30-4=26$元，甲种铅笔总花费为$2x$元，乙种铅笔总花费为$3(10-x)$元，根据总花费相等可列方程：$\boldsymbol{2x+3(10-x)=30-4}$。
3. 确定方程的解：观察表格，总花费为26元时对应的x值为4，因此$\boldsymbol{x=4}$是原方程的解。
【答案】
$(10-x)$；$2x+3(10-x)=30-4$；$4$
【知识点】
一元一次方程应用，列代数式，方程的解
【点评】
本题是方程应用的基础题，核心是找准题目中的数量关系和等量关系，结合列表法可以快速直观得到方程的解，能帮助学生理解方程解的实际含义。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理数量关系：两种铅笔总数量为10支，已知甲种铅笔数量是x支，就能用含x的代数式表示乙种铅笔的数量；再找总花费的等量关系：总钱数30元减去剩余的4元，就是买两种铅笔的总花费，甲、乙两种铅笔的总费用分别为“单价×数量”，两者相加等于总花费，据此可列出方程；最后对照表格，找到总花费等于实际花费金额时对应的x值，就是方程的解。
【解析】
1. 表示乙种铅笔数量：两种铅笔共10支，甲种铅笔为x支，因此乙种铅笔数量为$\boldsymbol{(10-x)}$支。
2. 列方程：买铅笔的总花费为$30-4=26$元，甲种铅笔总花费为$2x$元，乙种铅笔总花费为$3(10-x)$元，根据总花费相等可列方程：$\boldsymbol{2x+3(10-x)=30-4}$。
3. 确定方程的解：观察表格，总花费为26元时对应的x值为4，因此$\boldsymbol{x=4}$是原方程的解。
【答案】
$(10-x)$；$2x+3(10-x)=30-4$；$4$
【知识点】
一元一次方程应用，列代数式，方程的解
【点评】
本题是方程应用的基础题，核心是找准题目中的数量关系和等量关系，结合列表法可以快速直观得到方程的解，能帮助学生理解方程解的实际含义。
【难度系数】
0.8
9.若$(a-1)x^{|a|}-3=0$是关于$x$的一元一次方程.
(1)求$a$的值；
(2)求$4(a^2+3a)-2(2a^2 -a +2)$的值.
(1)求$a$的值；
(2)求$4(a^2+3a)-2(2a^2 -a +2)$的值.
答案
9. (1)$a=-1$ (2)$-18$
解析
【分析】
(1)求a的值需要结合一元一次方程的定义推导：一元一次方程需满足三个核心条件：只含1个未知数、未知数的最高次数为1、未知数的系数不为0，据此列出关于a的关系式求解即可。
(2)求代数式的值时，先通过整式加减运算法则对代数式去括号、合并同类项化简，再代入a的值计算，比直接代入原式计算更简便，也能减少计算错误。
【解析】
(1)
∵$(a-1)x^{|a|}-3=0$是关于$x$的一元一次方程
∴需同时满足：$\begin{cases} |a|=1 \\ a-1≠0 \end{cases}$
由$|a|=1$可得$a=\pm1$，由$a-1≠0$可得$a≠1$
综上可得$a=-1$
(2)先化简代数式：
$\begin{aligned}&4(a^2+3a)-2(2a^2 -a +2)\\=&4a^2 + 12a - 4a^2 + 2a - 4\\=&(4a^2-4a^2)+(12a+2a)-4\\=&14a - 4\end{aligned}$
将$a=-1$代入化简后的式子：
原式$=14×(-1)-4=-14-4=-18$
【答案】
(1)$a=-1$；(2)$-18$
【知识点】
1. 一元一次方程的定义
2. 整式的化简求值
【点评】
本题解题的关键是牢记一元一次方程的限制条件，尤其不要忽略一次项系数不为0的隐含要求；整式化简时要注意去括号的符号变化规则，避免因符号错误导致计算失误。
【难度系数】
0.7
(1)求a的值需要结合一元一次方程的定义推导：一元一次方程需满足三个核心条件：只含1个未知数、未知数的最高次数为1、未知数的系数不为0，据此列出关于a的关系式求解即可。
(2)求代数式的值时，先通过整式加减运算法则对代数式去括号、合并同类项化简，再代入a的值计算，比直接代入原式计算更简便，也能减少计算错误。
【解析】
(1)
∵$(a-1)x^{|a|}-3=0$是关于$x$的一元一次方程
∴需同时满足：$\begin{cases} |a|=1 \\ a-1≠0 \end{cases}$
由$|a|=1$可得$a=\pm1$，由$a-1≠0$可得$a≠1$
综上可得$a=-1$
(2)先化简代数式：
$\begin{aligned}&4(a^2+3a)-2(2a^2 -a +2)\\=&4a^2 + 12a - 4a^2 + 2a - 4\\=&(4a^2-4a^2)+(12a+2a)-4\\=&14a - 4\end{aligned}$
将$a=-1$代入化简后的式子：
原式$=14×(-1)-4=-14-4=-18$
【答案】
(1)$a=-1$；(2)$-18$
【知识点】
1. 一元一次方程的定义
2. 整式的化简求值
【点评】
本题解题的关键是牢记一元一次方程的限制条件，尤其不要忽略一次项系数不为0的隐含要求；整式化简时要注意去括号的符号变化规则，避免因符号错误导致计算失误。
【难度系数】
0.7
10.在植树节中,甲班植树的株数比乙班多20%,乙班植树的株树比甲班的一半多10株,若乙班植树x株.
(1)用两种含x的代数式表示甲班植树的株数;
(2)根据题意列出以x为未知数的方程;
(3)检验乙班、甲班植树的株数是不是分别为25株和32株?
(1)用两种含x的代数式表示甲班植树的株数;
(2)根据题意列出以x为未知数的方程;
(3)检验乙班、甲班植树的株数是不是分别为25株和32株?
答案
10. (1)$2(x-10)$株或$1.2x$株 (2)$1.2x=2(x-10)$
(3)将$x=25$代入$1.2x=2(x-10)$,可知左边$=30$,右边$=30$,
左边$=$右边,所以$x=25$满足方程,即乙班植树的株数是25株. 因为$1.2x=30$,所以甲班植树为30株,不是32株.
(3)将$x=25$代入$1.2x=2(x-10)$,可知左边$=30$,右边$=30$,
左边$=$右边,所以$x=25$满足方程,即乙班植树的株数是25株. 因为$1.2x=30$,所以甲班植树为30株,不是32株.
解析
【分析】
第(1)问可根据题目给出的两个不同等量关系分别推导甲班植树株数的表达式：①根据“甲班比乙班多植20%”的增长率关系直接列代数式；②根据“乙班株数比甲班的一半多10株”的关系反向变形，即可得到第二个表达式。第(2)问由于两个代数式均表示甲班的植树株数，二者相等即可列出方程。第(3)问先将x=25代入方程左右两边验证是否相等，判断x=25是不是方程的解，再计算对应甲班的株数，和32株对比即可得出结论。
【解析】
(1) 第一种表示：已知乙班植树x株，甲班植树的株数比乙班多20%，因此甲班植树株数为：
$x×(1+20\%)=1.2x$（株）
第二种表示：已知乙班植树的株数比甲班的一半多10株，即乙班株数减10等于甲班株数的一半，因此甲班植树株数为：
$2(x-10)$（株）
(2) 两个代数式都表示甲班的植树株数，因此可列方程：
$1.2x=2(x-10)$
(3) 将$x=25$代入方程$1.2x=2(x-10)$的左右两边：
左边$=1.2×25=30$
右边$=2×(25-10)=30$
左边=右边，因此$x=25$是方程的解，即乙班植树株数为25株。
此时甲班植树株数为$1.2×25=30$株，不等于32株，因此甲班植树株数不是32株。
【答案】
(1)$2(x-10)$株或$1.2x$株；(2)$1.2x=2(x-10)$；(3)乙班植树株数是25株，甲班植树株数不是32株，为30株。
【知识点】
列代数式；列一元一次方程；方程的检验
【点评】
本题侧重考查从实际问题中提取等量关系的能力，解题关键是找准题目中两个独立的数量关系，检验时需注意既要验证未知数的值满足方程，也要对应计算其余相关量，判断是否符合题意描述。
【难度系数】
0.8
第(1)问可根据题目给出的两个不同等量关系分别推导甲班植树株数的表达式：①根据“甲班比乙班多植20%”的增长率关系直接列代数式；②根据“乙班株数比甲班的一半多10株”的关系反向变形，即可得到第二个表达式。第(2)问由于两个代数式均表示甲班的植树株数，二者相等即可列出方程。第(3)问先将x=25代入方程左右两边验证是否相等，判断x=25是不是方程的解，再计算对应甲班的株数，和32株对比即可得出结论。
【解析】
(1) 第一种表示：已知乙班植树x株，甲班植树的株数比乙班多20%，因此甲班植树株数为：
$x×(1+20\%)=1.2x$（株）
第二种表示：已知乙班植树的株数比甲班的一半多10株，即乙班株数减10等于甲班株数的一半，因此甲班植树株数为：
$2(x-10)$（株）
(2) 两个代数式都表示甲班的植树株数，因此可列方程：
$1.2x=2(x-10)$
(3) 将$x=25$代入方程$1.2x=2(x-10)$的左右两边：
左边$=1.2×25=30$
右边$=2×(25-10)=30$
左边=右边，因此$x=25$是方程的解，即乙班植树株数为25株。
此时甲班植树株数为$1.2×25=30$株，不等于32株，因此甲班植树株数不是32株。
【答案】
(1)$2(x-10)$株或$1.2x$株；(2)$1.2x=2(x-10)$；(3)乙班植树株数是25株，甲班植树株数不是32株，为30株。
【知识点】
列代数式；列一元一次方程；方程的检验
【点评】
本题侧重考查从实际问题中提取等量关系的能力，解题关键是找准题目中两个独立的数量关系，检验时需注意既要验证未知数的值满足方程，也要对应计算其余相关量，判断是否符合题意描述。
【难度系数】
0.8
