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1.杆秤是一种利用杠杆原理来称量物体质量的简易装置，其秤砣到秤毫的水平距离y(单位：cm)与所挂物体的质量x(单位：kg)之间满足一次函数关系，如下表所示。y与x之间的关系式为
$y=5.5x+2.5$
。答案
1.$y=5.5x+2.5$
解析
【分析】
题目明确说明y与x是一次函数关系，我们可以先利用一次函数的一般形式设解析式，再从表格中选取两组对应的x、y值代入，得到关于未知系数的二元一次方程组，解方程组求出系数后，用第三组数据验证结果是否正确，即可得到最终的函数关系式。
【解析】
解：设y与x的函数关系式为$y = kx + b$（$k≠0$，k、b为常数）。
将$\begin{cases}x=1\\y=8.0\end{cases}$和$\begin{cases}x=2\\y=13.5\end{cases}$代入解析式，可得方程组：
$\begin{cases}k + b = 8.0&①\\2k + b = 13.5&②\end{cases}$
用②式减去①式消去b：$2k + b -(k + b)=13.5-8.0$，解得$k=5.5$。
把$k=5.5$代入①式：$5.5 + b =8.0$，解得$b=2.5$。
验证：将$x=3$代入$y=5.5x+2.5$，得$y=5.5×3 +2.5=19.0$，与表格中对应数值一致，解析式正确。
【答案】
$y=5.5x+2.5$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；二元一次方程组的求解
【点评】
本题是一次函数应用的基础题型，重点考查待定系数法的使用步骤，求解后通过第三组数据验证可有效降低计算错误率，是一次函数部分需要熟练掌握的基本技能。
【难度系数】
0.8
题目明确说明y与x是一次函数关系，我们可以先利用一次函数的一般形式设解析式，再从表格中选取两组对应的x、y值代入，得到关于未知系数的二元一次方程组，解方程组求出系数后，用第三组数据验证结果是否正确，即可得到最终的函数关系式。
【解析】
解：设y与x的函数关系式为$y = kx + b$（$k≠0$，k、b为常数）。
将$\begin{cases}x=1\\y=8.0\end{cases}$和$\begin{cases}x=2\\y=13.5\end{cases}$代入解析式，可得方程组：
$\begin{cases}k + b = 8.0&①\\2k + b = 13.5&②\end{cases}$
用②式减去①式消去b：$2k + b -(k + b)=13.5-8.0$，解得$k=5.5$。
把$k=5.5$代入①式：$5.5 + b =8.0$，解得$b=2.5$。
验证：将$x=3$代入$y=5.5x+2.5$，得$y=5.5×3 +2.5=19.0$，与表格中对应数值一致，解析式正确。
【答案】
$y=5.5x+2.5$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；二元一次方程组的求解
【点评】
本题是一次函数应用的基础题型，重点考查待定系数法的使用步骤，求解后通过第三组数据验证可有效降低计算错误率，是一次函数部分需要熟练掌握的基本技能。
【难度系数】
0.8
2.某数学兴趣小组观察记录了莴笋的成长过程，绘制了莴笋的高度y(单位：cm)与观察时间x(单位：天)之间的函数图象，如图所示(CD平行于x轴)。由图象可知，莴笋在第60天时的高度是
32
cm。答案
2.32
解析
【分析】
首先观察函数图象，莴笋高度变化分为两个阶段：0~50天高度匀速上升，对应一次函数关系；50天后高度不变（CD平行于x轴）。要求第60天的高度，只需要先求出0~50天的一次函数解析式，再计算x=50时的函数值，就是50天之后的恒定高度，也就是第60天的高度。解题步骤：首先用待定系数法，利用已知点A(0,12)和B(30,24)求出上升阶段的函数解析式，再代入x=50计算对应y值即可。
【解析】
设当$0≤ x≤50$时，莴笋高度$y$与观察时间$x$的函数解析式为$y=kx+b$（$k≠0$）。
将点$A(0,12)$代入解析式，得$b=12$；
再将点$B(30,24)$和$b=12$代入解析式，得：
$24=30k+12$
解得$k=0.4$
因此上升阶段的函数解析式为$y=0.4x+12$。
当$x=50$时，代入解析式得：
$y=0.4×50+12=32$
因为CD平行于x轴，说明第50天之后莴笋高度不再发生变化，所以第60天的高度等于第50天的高度，为32cm。
【答案】
32
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图像与性质
【点评】
本题结合生活实际考查一次函数的应用，解题的关键是读懂函数图像，明确不同阶段的函数特征，通过待定系数法求出上升阶段的函数解析式，再结合图像的水平段特征得出最终高度，注重对读图能力和一次函数基础知识的考查。
【难度系数】
0.8
首先观察函数图象，莴笋高度变化分为两个阶段：0~50天高度匀速上升，对应一次函数关系；50天后高度不变（CD平行于x轴）。要求第60天的高度，只需要先求出0~50天的一次函数解析式，再计算x=50时的函数值，就是50天之后的恒定高度，也就是第60天的高度。解题步骤：首先用待定系数法，利用已知点A(0,12)和B(30,24)求出上升阶段的函数解析式，再代入x=50计算对应y值即可。
【解析】
设当$0≤ x≤50$时，莴笋高度$y$与观察时间$x$的函数解析式为$y=kx+b$（$k≠0$）。
将点$A(0,12)$代入解析式，得$b=12$；
再将点$B(30,24)$和$b=12$代入解析式，得：
$24=30k+12$
解得$k=0.4$
因此上升阶段的函数解析式为$y=0.4x+12$。
当$x=50$时，代入解析式得：
$y=0.4×50+12=32$
因为CD平行于x轴，说明第50天之后莴笋高度不再发生变化，所以第60天的高度等于第50天的高度，为32cm。
【答案】
32
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图像与性质
【点评】
本题结合生活实际考查一次函数的应用，解题的关键是读懂函数图像，明确不同阶段的函数特征，通过待定系数法求出上升阶段的函数解析式，再结合图像的水平段特征得出最终高度，注重对读图能力和一次函数基础知识的考查。
【难度系数】
0.8
3. 提升题 妈妈骑车从家出发去距家3200 m的超市买菜，同时菲菲从学校步行回家。已知家、学校、超市在同一条笔直的马路上，且学校在家与超市之间。出发5 min后，菲菲和妈妈相遇，随后两人继续按原来的速度往各自的目的地前进；妈妈到达超市后买菜用了6 min，再按原路原速回家，不一会儿就追上了菲菲；妈妈到家3 min后，菲菲才到家。两人离家的距离y（单位：m）与出发时间x（单位：min）之间的关系如图所示。根据图象解答下列问题。
（1）m＝，a＝。
（2）妈妈离家的距离y（单位：m）与出发时间x（单位：min）之间的关系式为。
（3）当菲菲与妈妈恰好相距500 m时，求x的值。
（1）m＝，a＝。
（2）妈妈离家的距离y（单位：m）与出发时间x（单位：min）之间的关系式为。
（3）当菲菲与妈妈恰好相距500 m时，求x的值。
答案
(1)$m=3200$，$a=14$
(2)$y=\begin{cases}400x(0≤ x≤8),\\ 3200(8＜x≤14),\\ -400x+8800(14＜x≤22)\end{cases}$
(3)解:设菲菲离家的距离 y 与出发时间 x 之间的关系式为 $y=kx+b(k≠0)$。
把$(5,2000)$和$(25,0)$代入，
得$\begin{cases}2000=5k+b,\\ 0=25k+b。\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=-100,\\ b=2500。\end{cases}$
所以 $y=-100x+2500$。
妈妈在去超市的过程中:$|-100x+2500-400x|=500$,解得 $x=4$ 或 $x=6$。
妈妈在回家的过程中:$|-100x+2500-(-400x+8800)|=500$,解得 $x=\frac{58}{3}$ 或 $x=\frac{68}{3}＞22$(不合题意,舍去)。
综上所述,当菲菲与妈妈恰好相距 500 m 时,x 的值为 4,6 或 $\frac{58}{3}$。
解析
【分析】
1. 求解第(1)问：首先m代表家到超市的距离，题干直接给出为3200m；先计算妈妈的骑行速度，出发5min时妈妈走了2000m，可得速度为2000÷5=400m/min，妈妈到超市的总时长为3200÷400=8min，加上买菜的6min，即可得到a的值。
2. 求解第(2)问：妈妈的行程分为三个阶段，分阶段确定函数类型：①0~8min去超市阶段，为过原点的正比例函数，结合速度直接写解析式；②8~14min买菜阶段，离家距离不变，为常数函数；③14~22min原路返回阶段，为一次函数，代入两个端点坐标即可求出解析式。
3. 求解第(3)问：首先确定菲菲的行程函数，菲菲到家时间为妈妈到家的22min加3min即25min，因此菲菲的函数过(5,2000)和(25,0)两点，求出解析式后，分妈妈去超市、妈妈回家两个阶段，根据两人距离差的绝对值为500m列方程求解，舍去超出自变量范围的解即可。
【解析】
(1) 由题意可知家到超市的距离为3200m，故$m=3200$；
妈妈的骑行速度为$2000÷5=400\mathrm{(m/min)}$，妈妈到达超市的时间为$3200÷400=8\mathrm{(min)}$，买菜用时6min，因此$a=8+6=14$。
(2) 分三段讨论妈妈的函数关系：
①当$0≤ x≤8$时，妈妈处于去超市的阶段，路程随时间匀速增加，故$y=400x$；
②当$8＜x≤14$时，妈妈在超市买菜，离家距离保持不变，故$y=3200$；
③当$14＜x≤22$时，妈妈处于返程阶段，设解析式为$y=kx+b$，将$(14,3200)$和$(22,0)$代入得$\begin{cases}14k+b=3200\\22k+b=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-400\\b=8800\end{cases}$，故$y=-400x+8800$。
(3) 先求菲菲的离家距离与时间的函数关系：妈妈22min到家，菲菲3min后到家，因此菲菲到家时间为$22+3=25\mathrm{min}$，即函数过点$(25,0)$，又过相遇点$(5,2000)$。设解析式为$y=kx+b(k≠0)$，代入两点得$\begin{cases}5k+b=2000\\25k+b=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-100\\b=2500\end{cases}$，即菲菲的解析式为$y=-100x+2500$。
分情况讨论相距500m的情况：
①妈妈去超市阶段：列方程$|-100x+2500-400x|=500$，解得$x=4$或$x=6$，均符合$0≤ x≤8$的范围；
②妈妈回家阶段：列方程$|-100x+2500-(-400x+8800)|=500$，解得$x=\frac{58}{3}$或$x=\frac{68}{3}$，其中$\frac{68}{3}＞22$不符合返程时间范围，舍去。
综上可得所有符合条件的$x$值。
【答案】
(1)$m=3200$，$a=14$
(2)$y=\begin{cases}400x(0≤ x≤8),\\ 3200(8＜x≤14),\\ -400x+8800(14＜x≤22)\end{cases}$
(3)解:设菲菲离家的距离 y 与出发时间 x 之间的关系式为 $y=kx+b(k≠0)$。
把$(5,2000)$和$(25,0)$代入，
得$\begin{cases}2000=5k+b,\\ 0=25k+b。\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=-100,\\ b=2500。\end{cases}$
所以 $y=-100x+2500$。
妈妈在去超市的过程中:$|-100x+2500-400x|=500$,解得 $x=4$ 或 $x=6$。
妈妈在回家的过程中:$|-100x+2500-(-400x+8800)|=500$,解得 $x=\frac{58}{3}$ 或 $x=\frac{68}{3}＞22$(不合题意,舍去)。
综上所述,当菲菲与妈妈恰好相距 500 m 时,x 的值为 4,6 或 $\frac{58}{3}$。
【知识点】
一次函数的应用，分段函数，行程问题
【点评】
本题结合实际行程场景考查一次函数的实际应用，需要学生从图像和题干中提取有效信息，明确不同阶段的运动状态，通过分类讨论求解问题，能有效提升学生的读图分析能力和分类讨论思维。
【难度系数】
0.6
1. 求解第(1)问：首先m代表家到超市的距离，题干直接给出为3200m；先计算妈妈的骑行速度，出发5min时妈妈走了2000m，可得速度为2000÷5=400m/min，妈妈到超市的总时长为3200÷400=8min，加上买菜的6min，即可得到a的值。
2. 求解第(2)问：妈妈的行程分为三个阶段，分阶段确定函数类型：①0~8min去超市阶段，为过原点的正比例函数，结合速度直接写解析式；②8~14min买菜阶段，离家距离不变，为常数函数；③14~22min原路返回阶段，为一次函数，代入两个端点坐标即可求出解析式。
3. 求解第(3)问：首先确定菲菲的行程函数，菲菲到家时间为妈妈到家的22min加3min即25min，因此菲菲的函数过(5,2000)和(25,0)两点，求出解析式后，分妈妈去超市、妈妈回家两个阶段，根据两人距离差的绝对值为500m列方程求解，舍去超出自变量范围的解即可。
【解析】
(1) 由题意可知家到超市的距离为3200m，故$m=3200$；
妈妈的骑行速度为$2000÷5=400\mathrm{(m/min)}$，妈妈到达超市的时间为$3200÷400=8\mathrm{(min)}$，买菜用时6min，因此$a=8+6=14$。
(2) 分三段讨论妈妈的函数关系：
①当$0≤ x≤8$时，妈妈处于去超市的阶段，路程随时间匀速增加，故$y=400x$；
②当$8＜x≤14$时，妈妈在超市买菜，离家距离保持不变，故$y=3200$；
③当$14＜x≤22$时，妈妈处于返程阶段，设解析式为$y=kx+b$，将$(14,3200)$和$(22,0)$代入得$\begin{cases}14k+b=3200\\22k+b=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-400\\b=8800\end{cases}$，故$y=-400x+8800$。
(3) 先求菲菲的离家距离与时间的函数关系：妈妈22min到家，菲菲3min后到家，因此菲菲到家时间为$22+3=25\mathrm{min}$，即函数过点$(25,0)$，又过相遇点$(5,2000)$。设解析式为$y=kx+b(k≠0)$，代入两点得$\begin{cases}5k+b=2000\\25k+b=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-100\\b=2500\end{cases}$，即菲菲的解析式为$y=-100x+2500$。
分情况讨论相距500m的情况：
①妈妈去超市阶段：列方程$|-100x+2500-400x|=500$，解得$x=4$或$x=6$，均符合$0≤ x≤8$的范围；
②妈妈回家阶段：列方程$|-100x+2500-(-400x+8800)|=500$，解得$x=\frac{58}{3}$或$x=\frac{68}{3}$，其中$\frac{68}{3}＞22$不符合返程时间范围，舍去。
综上可得所有符合条件的$x$值。
【答案】
(1)$m=3200$，$a=14$
(2)$y=\begin{cases}400x(0≤ x≤8),\\ 3200(8＜x≤14),\\ -400x+8800(14＜x≤22)\end{cases}$
(3)解:设菲菲离家的距离 y 与出发时间 x 之间的关系式为 $y=kx+b(k≠0)$。
把$(5,2000)$和$(25,0)$代入，
得$\begin{cases}2000=5k+b,\\ 0=25k+b。\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=-100,\\ b=2500。\end{cases}$
所以 $y=-100x+2500$。
妈妈在去超市的过程中:$|-100x+2500-400x|=500$,解得 $x=4$ 或 $x=6$。
妈妈在回家的过程中:$|-100x+2500-(-400x+8800)|=500$,解得 $x=\frac{58}{3}$ 或 $x=\frac{68}{3}＞22$(不合题意,舍去)。
综上所述,当菲菲与妈妈恰好相距 500 m 时,x 的值为 4,6 或 $\frac{58}{3}$。
【知识点】
一次函数的应用，分段函数，行程问题
【点评】
本题结合实际行程场景考查一次函数的实际应用，需要学生从图像和题干中提取有效信息，明确不同阶段的运动状态，通过分类讨论求解问题，能有效提升学生的读图分析能力和分类讨论思维。
【难度系数】
0.6
