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1.若关于$x$的方程$2x - b = 0$的解为$x=1$,则直线$y=2x - b$一定经过点（
A.$(1,0)$
B.$(0,1)$
C.$(2,0)$
D.$(0,2)$
A
）A.$(1,0)$
B.$(0,1)$
C.$(2,0)$
D.$(0,2)$
答案
1.A
解析
【分析】
要判断直线$y=2x-b$经过哪个点，首先明确一元一次方程的解与对应一次函数的关系：关于$x$的方程$2x-b=0$的解，就是一次函数$y=2x-b$中函数值$y=0$时对应的自变量$x$的取值。已知方程的解为$x=1$，说明当$x=1$时$y=0$，对应的坐标就是直线必定经过的点；也可以先求出$b$的值得到直线解析式，再逐一验证选项。
【解析】
方法一：利用方程与一次函数的对应关系
方程$2x-b=0$的解对应一次函数$y=2x-b$中$y=0$时的$x$值，已知方程的解为$x=1$，即当$x=1$时，$y=0$，因此直线$y=2x-b$一定经过点$(1,0)$。
方法二：求参数验证
把$x=1$代入方程$2x-b=0$，得$2×1 - b=0$，解得$b=2$，因此直线解析式为$y=2x-2$。
逐一验证选项：
A. 当$x=1$时，$y=2×1-2=0$，点$(1,0)$在直线上；
B. 当$x=0$时，$y=2×0-2=-2≠1$，点$(0,1)$不在直线上；
C. 当$x=2$时，$y=2×2-2=2≠0$，点$(2,0)$不在直线上；
D. 当$x=0$时，$y=2×0-2=-2≠2$，点$(0,2)$不在直线上。
综上选A。
【答案】
A
【知识点】
一次函数与一元一次方程的关系；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查一次函数和一元一次方程的内在联系，理解一元一次方程的解对应一次函数图象与x轴交点的横坐标是解题核心，属于基础概念类考题。
【难度系数】
0.9
要判断直线$y=2x-b$经过哪个点，首先明确一元一次方程的解与对应一次函数的关系：关于$x$的方程$2x-b=0$的解，就是一次函数$y=2x-b$中函数值$y=0$时对应的自变量$x$的取值。已知方程的解为$x=1$，说明当$x=1$时$y=0$，对应的坐标就是直线必定经过的点；也可以先求出$b$的值得到直线解析式，再逐一验证选项。
【解析】
方法一：利用方程与一次函数的对应关系
方程$2x-b=0$的解对应一次函数$y=2x-b$中$y=0$时的$x$值，已知方程的解为$x=1$，即当$x=1$时，$y=0$，因此直线$y=2x-b$一定经过点$(1,0)$。
方法二：求参数验证
把$x=1$代入方程$2x-b=0$，得$2×1 - b=0$，解得$b=2$，因此直线解析式为$y=2x-2$。
逐一验证选项：
A. 当$x=1$时，$y=2×1-2=0$，点$(1,0)$在直线上；
B. 当$x=0$时，$y=2×0-2=-2≠1$，点$(0,1)$不在直线上；
C. 当$x=2$时，$y=2×2-2=2≠0$，点$(2,0)$不在直线上；
D. 当$x=0$时，$y=2×0-2=-2≠2$，点$(0,2)$不在直线上。
综上选A。
【答案】
A
【知识点】
一次函数与一元一次方程的关系；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查一次函数和一元一次方程的内在联系，理解一元一次方程的解对应一次函数图象与x轴交点的横坐标是解题核心，属于基础概念类考题。
【难度系数】
0.9
2.若以关于x,y的二元一次方程$-3x - y +2b=0$的解为坐标的点$(x,y)$都在直线$y=-3x -b +3$上，则$b$的值为（
A.0
B.1
C.2
D.3
B
）A.0
B.1
C.2
D.3
答案
2.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确二元一次方程和一次函数的对应关系：如果以二元一次方程的解为坐标的点都在某条一次函数的直线上，说明这两个式子表示的是同一条直线，对应一次函数的x的系数和常数项都分别相等。解题步骤为：先将给定的二元一次方程整理成y=kx+c的一次函数标准形式，再根据两直线为同一直线时常数项相等的性质列方程，最后解一元一次方程求出b的值即可。
【解析】
首先对二元一次方程$-3x - y +2b=0$进行变形：
移项可得：$-y=3x - 2b$，
两边同时乘$-1$得：$y=-3x + 2b$。
已知以该方程的解为坐标的点$(x,y)$都在直线$y=-3x -b +3$上，说明两个解析式表示同一条直线，二者的x的系数已经相等，因此常数项也相等，可列方程：
$2b = -b + 3$
移项得：$2b + b = 3$
合并同类项得：$3b = 3$
系数化为1得：$b=1$
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程与一次函数的关系；一次函数图象性质；一元一次方程的解法
【点评】
本题是一次函数与二元一次方程结合的基础题型，解题核心是理解“二元一次方程的解对应的点全部在某直线上”的含义，即两个表达式对应同一条直线、对应系数相等，掌握该对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需明确二元一次方程和一次函数的对应关系：如果以二元一次方程的解为坐标的点都在某条一次函数的直线上，说明这两个式子表示的是同一条直线，对应一次函数的x的系数和常数项都分别相等。解题步骤为：先将给定的二元一次方程整理成y=kx+c的一次函数标准形式，再根据两直线为同一直线时常数项相等的性质列方程，最后解一元一次方程求出b的值即可。
【解析】
首先对二元一次方程$-3x - y +2b=0$进行变形：
移项可得：$-y=3x - 2b$，
两边同时乘$-1$得：$y=-3x + 2b$。
已知以该方程的解为坐标的点$(x,y)$都在直线$y=-3x -b +3$上，说明两个解析式表示同一条直线，二者的x的系数已经相等，因此常数项也相等，可列方程：
$2b = -b + 3$
移项得：$2b + b = 3$
合并同类项得：$3b = 3$
系数化为1得：$b=1$
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程与一次函数的关系；一次函数图象性质；一元一次方程的解法
【点评】
本题是一次函数与二元一次方程结合的基础题型，解题核心是理解“二元一次方程的解对应的点全部在某直线上”的含义，即两个表达式对应同一条直线、对应系数相等，掌握该对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3.如图,直线$y=-x+4$与直线$y=x-b$（$b$为常数）相交,且交点在网格的格点上,则方程组$\begin{cases}x+y=4, \\ x-y=b\end{cases}$的解为 ______ 。
答案
3.$\begin{cases} x=1,\\ y=3 \end{cases}$
解析
【分析】
解题时先明确二元一次方程组和一次函数的对应关系：两个一次函数图象的交点坐标，就是由这两个函数解析式整理得到的二元一次方程组的解。首先将题中方程组的两个方程变形为一次函数的形式，可发现正好对应题目给出的两条直线，接下来只需观察图象找到两条直线的交点坐标，即可得到方程组的解。
【解析】
二元一次方程组的解就是其对应的两个一次函数图象的交点坐标。
首先对题中方程组进行变形：
方程$x+y=4$可化为$y=-x+4$，方程$x-y=b$可化为$y=x-b$，正好对应题目给出的两条直线。
观察网格图象可得，两条直线的交点坐标为$(1,3)$，因此方程组$\begin{cases}x+y=4, \\ x-y=b\end{cases}$的解为$\begin{cases} x=1,\\ y=3 \end{cases}$。
【答案】
$\begin{cases} x=1,\\ y=3 \end{cases}$
【知识点】
一次函数与二元一次方程的关系；一次函数图象交点；二元一次方程组的解
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，核心是理解一次函数图象的交点与对应二元一次方程组解的对应关系，只要能准确从图象中读取交点坐标即可快速解题，属于基础概念考查题型。
【难度系数】
0.8
解题时先明确二元一次方程组和一次函数的对应关系：两个一次函数图象的交点坐标，就是由这两个函数解析式整理得到的二元一次方程组的解。首先将题中方程组的两个方程变形为一次函数的形式，可发现正好对应题目给出的两条直线，接下来只需观察图象找到两条直线的交点坐标，即可得到方程组的解。
【解析】
二元一次方程组的解就是其对应的两个一次函数图象的交点坐标。
首先对题中方程组进行变形：
方程$x+y=4$可化为$y=-x+4$，方程$x-y=b$可化为$y=x-b$，正好对应题目给出的两条直线。
观察网格图象可得，两条直线的交点坐标为$(1,3)$，因此方程组$\begin{cases}x+y=4, \\ x-y=b\end{cases}$的解为$\begin{cases} x=1,\\ y=3 \end{cases}$。
【答案】
$\begin{cases} x=1,\\ y=3 \end{cases}$
【知识点】
一次函数与二元一次方程的关系；一次函数图象交点；二元一次方程组的解
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，核心是理解一次函数图象的交点与对应二元一次方程组解的对应关系，只要能准确从图象中读取交点坐标即可快速解题，属于基础概念考查题型。
【难度系数】
0.8
4. 已知关于 $ x $，$ y $ 的二元一次方程组 $\begin{cases} y=kx+b, \\ y=(3k-1)x+2。 \end{cases}$
(1) 当 $ k $，$ b $ 为何值时，方程组只有一个解？
(2) 当 $ k $，$ b $ 为何值时，方程组有无数个解？
(3) 当 $ k $，$ b $ 为何值时，方程组无解？
(1) 当 $ k $，$ b $ 为何值时，方程组只有一个解？
(2) 当 $ k $，$ b $ 为何值时，方程组有无数个解？
(3) 当 $ k $，$ b $ 为何值时，方程组无解？
答案
解:(1)当 $k≠\frac{1}{2}$,$b$ 为任意数时,方程组只有一个解。
(2)当 $k=\frac{1}{2}$,$b=2$ 时,方程组有无数个解。
(3)当 $k=\frac{1}{2}$,$b≠2$ 时,方程组无解。
(2)当 $k=\frac{1}{2}$,$b=2$ 时,方程组有无数个解。
(3)当 $k=\frac{1}{2}$,$b≠2$ 时,方程组无解。
解析
【分析】
我们可以从两个对应思路解题：一是二元一次方程组的解和两个一次函数图象的位置关系一一对应：两条直线相交时方程组有1个解，重合时有无数个解，平行时无解；二是通过消元将二元方程组转化为关于x的一元一次方程，根据一元一次方程解的分类讨论参数取值。解题时先消去y得到关于x的整式方程，再分别按“唯一解、无数解、无解”的条件分析系数和常数项的取值即可。
【解析】
联立两个方程消去y，可得：
$kx + b = (3k - 1)x + 2$
移项合并同类项得：$\boldsymbol{(1 - 2k)x = 2 - b}$
(1) 当方程组只有一个解时，对应上述一元一次方程有唯一解，此时x的系数不为0：
即$1 - 2k ≠ 0$，解得$k ≠ \frac{1}{2}$，此时b取任意实数，x都有唯一解，对应方程组只有1个解。
(2) 当方程组有无数个解时，对应上述一元一次方程有无数个解，此时x的系数为0且等号右侧常数项也为0：
即$\begin{cases}1 - 2k = 0 \\ 2 - b = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = \frac{1}{2} \\ b = 2\end{cases}$，此时任意x都满足等式，对应方程组有无数个解。
(3) 当方程组无解时，对应上述一元一次方程无解，此时x的系数为0但等号右侧常数项不为0：
即$\begin{cases}1 - 2k = 0 \\ 2 - b ≠ 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = \frac{1}{2} \\ b ≠ 2\end{cases}$，此时没有x能满足等式，对应方程组无解。
【答案】
(1) 当 $k≠\frac{1}{2}$，$b$ 为任意数时，方程组只有一个解；
(2) 当 $k=\frac{1}{2}$，$b=2$ 时，方程组有无数个解；
(3) 当 $k=\frac{1}{2}$，$b≠2$ 时，方程组无解。
【知识点】
1. 二元一次方程组解的判定
2. 一次函数与二元一次方程组的关系
3. 一元一次方程解的分类
【点评】
本题核心是将二元一次方程组解的情况转化为一元一次方程解的分类或一次函数图象的位置关系分析，需要掌握分类讨论的思想，注意区分三种情况对应的系数、常数项的条件，是一次函数与二元一次方程结合的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
我们可以从两个对应思路解题：一是二元一次方程组的解和两个一次函数图象的位置关系一一对应：两条直线相交时方程组有1个解，重合时有无数个解，平行时无解；二是通过消元将二元方程组转化为关于x的一元一次方程，根据一元一次方程解的分类讨论参数取值。解题时先消去y得到关于x的整式方程，再分别按“唯一解、无数解、无解”的条件分析系数和常数项的取值即可。
【解析】
联立两个方程消去y，可得：
$kx + b = (3k - 1)x + 2$
移项合并同类项得：$\boldsymbol{(1 - 2k)x = 2 - b}$
(1) 当方程组只有一个解时，对应上述一元一次方程有唯一解，此时x的系数不为0：
即$1 - 2k ≠ 0$，解得$k ≠ \frac{1}{2}$，此时b取任意实数，x都有唯一解，对应方程组只有1个解。
(2) 当方程组有无数个解时，对应上述一元一次方程有无数个解，此时x的系数为0且等号右侧常数项也为0：
即$\begin{cases}1 - 2k = 0 \\ 2 - b = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = \frac{1}{2} \\ b = 2\end{cases}$，此时任意x都满足等式，对应方程组有无数个解。
(3) 当方程组无解时，对应上述一元一次方程无解，此时x的系数为0但等号右侧常数项不为0：
即$\begin{cases}1 - 2k = 0 \\ 2 - b ≠ 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = \frac{1}{2} \\ b ≠ 2\end{cases}$，此时没有x能满足等式，对应方程组无解。
【答案】
(1) 当 $k≠\frac{1}{2}$，$b$ 为任意数时，方程组只有一个解；
(2) 当 $k=\frac{1}{2}$，$b=2$ 时，方程组有无数个解；
(3) 当 $k=\frac{1}{2}$，$b≠2$ 时，方程组无解。
【知识点】
1. 二元一次方程组解的判定
2. 一次函数与二元一次方程组的关系
3. 一元一次方程解的分类
【点评】
本题核心是将二元一次方程组解的情况转化为一元一次方程解的分类或一次函数图象的位置关系分析，需要掌握分类讨论的思想，注意区分三种情况对应的系数、常数项的条件，是一次函数与二元一次方程结合的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
5.已知一次函数$y=ax-5$与$y=3x+b$的图象的交点坐标为$A(1,-3)$。
(1)关于$x,y$的方程组$\begin{cases}ax - y = 5, \\3x - y = -b\end{cases}$的解为 ______ 。
(2)求$a,b$的值。
(1)关于$x,y$的方程组$\begin{cases}ax - y = 5, \\3x - y = -b\end{cases}$的解为 ______ 。
(2)求$a,b$的值。
答案
(1)$\begin{cases} x=1,\\ y=-3 \end{cases}$
(2)解：将 $\begin{cases} x=1,\\ y=-3 \end{cases}$ 代入方程组，得
$\begin{cases}a-(-3)=5,\\ 3×1-(-3)=-b。\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=2,\\ b=-6。\end{cases}$
(2)解：将 $\begin{cases} x=1,\\ y=-3 \end{cases}$ 代入方程组，得
$\begin{cases}a-(-3)=5,\\ 3×1-(-3)=-b。\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=2,\\ b=-6。\end{cases}$
解析
【分析】
(1) 解决第一问的核心是理解一次函数与二元一次方程组的对应关系：两个一次函数的图象交点的横、纵坐标，就是将两个函数解析式变形后组成的二元一次方程组的解。已知两个一次函数的交点为$A(1,-3)$，可直接对应得到方程组的解。
(2) 第二问求$a,b$的值，依据“函数图象上的点的坐标满足该函数的解析式”，将交点坐标分别代入两个一次函数的解析式，就能得到关于$a,b$的一元一次方程，解方程即可求出参数值。
【解析】
(1) 一次函数$y=ax-5$可变形为$ax-y=5$，$y=3x+b$可变形为$3x-y=-b$，两个函数图象的交点坐标就是对应方程组的解，已知交点为$A(1,-3)$，因此方程组的解为$\begin{cases} x=1 \\ y=-3 \end{cases}$。
(2) 将$\begin{cases} x=1 \\ y=-3 \end{cases}$分别代入两个一次函数解析式：
代入$y=ax-5$，得$-3=a×1-5$，解得$a=2$；
代入$y=3x+b$，得$-3=3×1+b$，解得$b=-6$。
【答案】
(1)$\begin{cases} x=1 \\ y=-3 \end{cases}$
(2)$a=2$，$b=-6$
【知识点】
1.一次函数与二元一次方程组的联系
2.函数图象上点的坐标特征
3.代入法求参数
【点评】
本题属于一次函数与二元一次方程组结合的基础题，重点考察对核心概念的理解，只要掌握一次函数交点和方程组解的对应关系，结合代入计算就能顺利解答。
【难度系数】
0.85
(1) 解决第一问的核心是理解一次函数与二元一次方程组的对应关系：两个一次函数的图象交点的横、纵坐标，就是将两个函数解析式变形后组成的二元一次方程组的解。已知两个一次函数的交点为$A(1,-3)$，可直接对应得到方程组的解。
(2) 第二问求$a,b$的值，依据“函数图象上的点的坐标满足该函数的解析式”，将交点坐标分别代入两个一次函数的解析式，就能得到关于$a,b$的一元一次方程，解方程即可求出参数值。
【解析】
(1) 一次函数$y=ax-5$可变形为$ax-y=5$，$y=3x+b$可变形为$3x-y=-b$，两个函数图象的交点坐标就是对应方程组的解，已知交点为$A(1,-3)$，因此方程组的解为$\begin{cases} x=1 \\ y=-3 \end{cases}$。
(2) 将$\begin{cases} x=1 \\ y=-3 \end{cases}$分别代入两个一次函数解析式：
代入$y=ax-5$，得$-3=a×1-5$，解得$a=2$；
代入$y=3x+b$，得$-3=3×1+b$，解得$b=-6$。
【答案】
(1)$\begin{cases} x=1 \\ y=-3 \end{cases}$
(2)$a=2$，$b=-6$
【知识点】
1.一次函数与二元一次方程组的联系
2.函数图象上点的坐标特征
3.代入法求参数
【点评】
本题属于一次函数与二元一次方程组结合的基础题，重点考察对核心概念的理解，只要掌握一次函数交点和方程组解的对应关系，结合代入计算就能顺利解答。
【难度系数】
0.85
