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1.一个两位数的十位数字与个位数字之和是8。若将这个两位数加上18，所得结果恰好是把这个两位数的个位数字和十位数字对调后组成的数，则这个两位数是
35
。答案
1. 35
解析
【分析】
这是一道数字类二元一次方程组应用题，解题思路如下：首先我们可以设两位数的十位数字为x、个位数字为y，明确两位数的表示规则为「十位数字×10 + 个位数字」，对调后的两位数为「个位数字×10 + 十位数字」；再从题干提取两个等量关系：①十位数字+个位数字=8；②原两位数+18=数字对调后得到的两位数；最后根据等量关系列方程组求解，得到x、y的值即可求出原两位数。
【解析】
解：设这个两位数的十位数字为$x$，个位数字为$y$。
根据题意可列方程组：
$\begin{cases}x + y = 8 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ \ \ ①\\10x + y + 18 = 10y + x \quad ②\end{cases}$
化简方程②：
移项合并同类项得$9x - 9y = -18$，即$x - y = -2$ ③
用①+③得：$2x = 6$，解得$x=3$
把$x=3$代入①得：$3 + y = 8$，解得$y=5$
因此这个两位数为$10×3 + 5 = 35$
【答案】
35
【知识点】
1.二元一次方程组的应用
2.两位数的表示方法
【点评】
本题是二元一次方程组应用的基础常考题，核心考点是数字的正确表示方式，只要能准确提取题干等量关系、规范解方程组即可得分，掌握这类题型可以为后续复杂方程应用题打好基础。
【难度系数】
0.7
这是一道数字类二元一次方程组应用题，解题思路如下：首先我们可以设两位数的十位数字为x、个位数字为y，明确两位数的表示规则为「十位数字×10 + 个位数字」，对调后的两位数为「个位数字×10 + 十位数字」；再从题干提取两个等量关系：①十位数字+个位数字=8；②原两位数+18=数字对调后得到的两位数；最后根据等量关系列方程组求解，得到x、y的值即可求出原两位数。
【解析】
解：设这个两位数的十位数字为$x$，个位数字为$y$。
根据题意可列方程组：
$\begin{cases}x + y = 8 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ \ \ ①\\10x + y + 18 = 10y + x \quad ②\end{cases}$
化简方程②：
移项合并同类项得$9x - 9y = -18$，即$x - y = -2$ ③
用①+③得：$2x = 6$，解得$x=3$
把$x=3$代入①得：$3 + y = 8$，解得$y=5$
因此这个两位数为$10×3 + 5 = 35$
【答案】
35
【知识点】
1.二元一次方程组的应用
2.两位数的表示方法
【点评】
本题是二元一次方程组应用的基础常考题，核心考点是数字的正确表示方式，只要能准确提取题干等量关系、规范解方程组即可得分，掌握这类题型可以为后续复杂方程应用题打好基础。
【难度系数】
0.7
2.8个大小一样的小长方形恰好可以拼成一个大长方形，如图①所示。若拼成如图②所示的正方形，则中间还留下一个边长为2 cm的小正方形。一个小长方形的长为
10
cm，宽为6
cm。答案
2. 小长方形的长为10 cm，宽为6 cm。
解析
【分析】
这是图形拼接类的二元一次方程组应用题，解题核心是从拼接图形中挖掘小长方形长、宽的等量关系：
1. 先设小长方形的长为x cm，宽为y cm；
2. 观察图①：大长方形的上下两边长度相等，上边长为5个小长方形的宽之和，下边长为3个小长方形的长之和，可得等量关系：$3x=5y$；
3. 观察图②：竖向上，2个小长方形的宽拼接的长度，等于1个小长方形的长加中间小正方形的边长2cm，可得等量关系：$2y=x+2$；
4. 联立两个方程组成二元一次方程组，求解即可得到小长方形的长和宽。
【解析】
解：设小长方形的长为$x$ cm，宽为$y$ cm，根据题意列方程组：
$\begin{cases}3x = 5y \\2y = x + 2\end{cases}$
由第二个方程变形得：$x = 2y - 2$，将其代入第一个方程：
$3(2y - 2) = 5y$
展开计算：$6y - 6 = 5y$，解得$y=6$。
将$y=6$代入$x = 2y - 2$，得$x=2×6 - 2=10$。
经检验，$\begin{cases}x=10 \\ y=6 \end{cases}$符合图形拼接的实际意义。
【答案】
小长方形的长为10 cm，宽为6 cm。
【知识点】
二元一次方程组应用，图形拼接问题，二元一次方程组解法
【点评】
本题结合图形拼接考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是仔细观察图形，从不同拼接方式中找到边长对应的等量关系，是方程思想在几何问题中的典型应用。
【难度系数】
0.7
这是图形拼接类的二元一次方程组应用题，解题核心是从拼接图形中挖掘小长方形长、宽的等量关系：
1. 先设小长方形的长为x cm，宽为y cm；
2. 观察图①：大长方形的上下两边长度相等，上边长为5个小长方形的宽之和，下边长为3个小长方形的长之和，可得等量关系：$3x=5y$；
3. 观察图②：竖向上，2个小长方形的宽拼接的长度，等于1个小长方形的长加中间小正方形的边长2cm，可得等量关系：$2y=x+2$；
4. 联立两个方程组成二元一次方程组，求解即可得到小长方形的长和宽。
【解析】
解：设小长方形的长为$x$ cm，宽为$y$ cm，根据题意列方程组：
$\begin{cases}3x = 5y \\2y = x + 2\end{cases}$
由第二个方程变形得：$x = 2y - 2$，将其代入第一个方程：
$3(2y - 2) = 5y$
展开计算：$6y - 6 = 5y$，解得$y=6$。
将$y=6$代入$x = 2y - 2$，得$x=2×6 - 2=10$。
经检验，$\begin{cases}x=10 \\ y=6 \end{cases}$符合图形拼接的实际意义。
【答案】
小长方形的长为10 cm，宽为6 cm。
【知识点】
二元一次方程组应用，图形拼接问题，二元一次方程组解法
【点评】
本题结合图形拼接考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是仔细观察图形，从不同拼接方式中找到边长对应的等量关系，是方程思想在几何问题中的典型应用。
【难度系数】
0.7
3.一座桥长 2 000 m，一列火车匀速行驶，从车头上桥到车尾离桥用了1 min，火车完全在桥上的时间为 40 s。火车的长度为
400
m，行驶速度为40
m/s。答案
3. 火车的长度为400 m，行驶速度为40 m/s。
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确火车两种过桥场景对应的行驶路程：①从车头上桥到车尾离桥，火车行驶的总路程=桥长+火车自身长度；②火车完全在桥上时，行驶的总路程=桥长-火车自身长度。已知两种场景的行驶时间，且火车匀速行驶速度不变，我们可以设火车长度和行驶速度为两个未知数，根据“路程=速度×时间”列二元一次方程组求解即可。
【解析】
首先统一单位：$1\ \mathrm{min}=60\ \mathrm{s}$。
设火车的长度为$ x $ m，行驶速度为$ v $ m/s，根据题意列方程组：
$\begin{cases}60v = 2000 + x \\40v = 2000 - x\end{cases}$
将两个方程左右两边分别相加，得：
$60v + 40v = 2000 + x + 2000 - x$
化简得$100v = 4000$，解得$v = 40$。
把$v = 40$代入$60v = 2000 + x$，得：
$60×40 = 2000 + x$，解得$x = 400$。
【答案】
400；40
【知识点】
二元一次方程组应用；行程问题；过桥问题
【点评】
本题是常见的行程类应用题，解题核心是准确判断不同过桥情境下火车的行驶路程，找准等量关系列方程组求解，掌握过桥问题的路程规律后即可快速解答。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要明确火车两种过桥场景对应的行驶路程：①从车头上桥到车尾离桥，火车行驶的总路程=桥长+火车自身长度；②火车完全在桥上时，行驶的总路程=桥长-火车自身长度。已知两种场景的行驶时间，且火车匀速行驶速度不变，我们可以设火车长度和行驶速度为两个未知数，根据“路程=速度×时间”列二元一次方程组求解即可。
【解析】
首先统一单位：$1\ \mathrm{min}=60\ \mathrm{s}$。
设火车的长度为$ x $ m，行驶速度为$ v $ m/s，根据题意列方程组：
$\begin{cases}60v = 2000 + x \\40v = 2000 - x\end{cases}$
将两个方程左右两边分别相加，得：
$60v + 40v = 2000 + x + 2000 - x$
化简得$100v = 4000$，解得$v = 40$。
把$v = 40$代入$60v = 2000 + x$，得：
$60×40 = 2000 + x$，解得$x = 400$。
【答案】
400；40
【知识点】
二元一次方程组应用；行程问题；过桥问题
【点评】
本题是常见的行程类应用题，解题核心是准确判断不同过桥情境下火车的行驶路程，找准等量关系列方程组求解，掌握过桥问题的路程规律后即可快速解答。
【难度系数】
0.7
4.甲、乙两人共同加工一批零件，原计划两人一起加工，11天可以完成。结果两人一起加工了7天后，乙另有任务，剩下的零件由甲单独完成。若甲仍按原来的工作效率，则还需7天才能完成。为了能按原计划完成任务，甲把工作效率提高了80%，这样不仅按计划完成了任务，还多加工了4个零件。
原计划一共加工
原计划一共加工
385
个零件。答案
4. 原计划一共加工385个零件。
解析
【分析】
本题是工程类应用题，解题核心是抓住工作总量、工作效率、工作时间三者的等量关系。我们可以通过设两个未知数列二元一次方程组求解：第一步设原计划总加工零件数为x个，甲原来的日工作效率为y个；第二步根据“合作7天后剩余工作量甲按原效率7天完成”列第一个方程；第三步根据“甲效率提高80%后，用剩余4天完成任务还多加工4个”列第二个方程，最后联立两个方程求解即可得到答案。
【解析】
解：设原计划一共加工x个零件，甲原来每天加工y个零件。
1. 求合作7天后的剩余工作量：
原计划甲乙合作11天完成，因此两人合作的日效率为$\frac{x}{11}$个，合作7天后剩余零件数为：
$x - 7×\frac{x}{11}=\frac{4x}{11}$
根据剩余零件甲按原效率7天完成，可得方程①：
$\frac{4x}{11}=7y$
2. 根据甲提速后的工作量列第二个方程：
要按原计划完成，剩余工作时间为$11-7=4$天，甲提速80%后的日效率为$y×(1+80\%)=1.8y$，4天加工的零件数比剩余零件数多4个，可得方程②：
$4×1.8y = \frac{4x}{11} + 4$
3. 联立方程求解：
将①代入②得：$7.2y=7y+4$
解得：$0.2y=4$，$y=20$
把$y=20$代入①得：$\frac{4x}{11}=7×20=140$
解得：$x=140×\frac{11}{4}=385$
【答案】
385
【知识点】
二元一次方程组的应用，工程问题计算
【点评】
本题是工程类的常规应用题，重点考查学生从题干中提取等量关系的能力，解题时只要准确对应不同工作状态下工作量、效率、时间的关系，就能顺利列出方程组求解。
【难度系数】
0.7
本题是工程类应用题，解题核心是抓住工作总量、工作效率、工作时间三者的等量关系。我们可以通过设两个未知数列二元一次方程组求解：第一步设原计划总加工零件数为x个，甲原来的日工作效率为y个；第二步根据“合作7天后剩余工作量甲按原效率7天完成”列第一个方程；第三步根据“甲效率提高80%后，用剩余4天完成任务还多加工4个”列第二个方程，最后联立两个方程求解即可得到答案。
【解析】
解：设原计划一共加工x个零件，甲原来每天加工y个零件。
1. 求合作7天后的剩余工作量：
原计划甲乙合作11天完成，因此两人合作的日效率为$\frac{x}{11}$个，合作7天后剩余零件数为：
$x - 7×\frac{x}{11}=\frac{4x}{11}$
根据剩余零件甲按原效率7天完成，可得方程①：
$\frac{4x}{11}=7y$
2. 根据甲提速后的工作量列第二个方程：
要按原计划完成，剩余工作时间为$11-7=4$天，甲提速80%后的日效率为$y×(1+80\%)=1.8y$，4天加工的零件数比剩余零件数多4个，可得方程②：
$4×1.8y = \frac{4x}{11} + 4$
3. 联立方程求解：
将①代入②得：$7.2y=7y+4$
解得：$0.2y=4$，$y=20$
把$y=20$代入①得：$\frac{4x}{11}=7×20=140$
解得：$x=140×\frac{11}{4}=385$
【答案】
385
【知识点】
二元一次方程组的应用，工程问题计算
【点评】
本题是工程类的常规应用题，重点考查学生从题干中提取等量关系的能力，解题时只要准确对应不同工作状态下工作量、效率、时间的关系，就能顺利列出方程组求解。
【难度系数】
0.7
5. 提升题 周末，小明和爸爸来到环形运动场（如图所示）进行跑步锻炼，绕环形运动场跑一圈的路程为400 m。
（1）若两人同时从同一起点相向而跑，
则经过36 s后首次相遇；若两人同时从同一起点同向而跑，则经过180 s后，爸爸首次从后面追上小明。小明的速度为
（2）假设爸爸的速度是6 m/s，小明的速度是5 m/s，两人进行400 m赛跑，同时从同一起点同向出发。当爸爸跑到半圈时，故意将速度降为4 m/s，并按此速度继续比赛。小明能否在400 m终点前追上爸爸？若能，求出追上时距离终点还有多少米；若不能，请说明理由。
（1）若两人同时从同一起点相向而跑，
则经过36 s后首次相遇；若两人同时从同一起点同向而跑，则经过180 s后，爸爸首次从后面追上小明。小明的速度为
$\frac{40}{9}$
m/s，爸爸的速度为$\frac{20}{3}$
m/s。（2）假设爸爸的速度是6 m/s，小明的速度是5 m/s，两人进行400 m赛跑，同时从同一起点同向出发。当爸爸跑到半圈时，故意将速度降为4 m/s，并按此速度继续比赛。小明能否在400 m终点前追上爸爸？若能，求出追上时距离终点还有多少米；若不能，请说明理由。
答案
5. (1) 小明的速度为$\frac{40}{9}$ m/s，爸爸的速度为$\frac{20}{3}$ m/s。
(2) 能。理由如下：
爸爸跑半圈所用的时间为$\frac{200}{6}=\frac{100}{3}(\mathrm{s})$，
此时小明所跑的路程为$\frac{100}{3}×5=\frac{500}{3}(\mathrm{m})$，
爸爸领先小明的距离为$200-\frac{500}{3}=\frac{100}{3}(\mathrm{m})$，
因此小明接下来追上爸爸所需的时间为$\frac{100}{3}÷(5-4)=\frac{100}{3}(\mathrm{s})$,则追上时,爸爸所跑的总路程为$200+\frac{100}{3}×4=\frac{1\ 000}{3}(\mathrm{m})$。
因为$\frac{1\ 000}{3}＜400$,所以小明能在400 m终点前追上爸爸。
追上时距离终点还有$400-\frac{1\ 000}{3}=\frac{200}{3}(\mathrm{m})$。
解析
【分析】
（1）本题是环形跑道的行程问题，相向跑首次相遇时，两人路程和等于跑道一圈长度400m；同向跑首次追上时，爸爸比小明多跑一圈长度400m。我们可以设两人速度为未知数，根据这两个等量关系列二元一次方程组求解。
（2）先计算爸爸跑到半圈的用时，算出此时小明跑的路程，得到两人的路程差；再根据爸爸减速后的速度差，计算小明追上爸爸的用时，算出此时爸爸总共跑的路程，和400m比较判断是否在终点前追上，若能再计算距离终点的距离。
【解析】
（1）设小明的速度为$x$ m/s，爸爸的速度为$y$ m/s。
根据相向跑36s首次相遇，可列方程：$36(x+y)=400$ ①
根据同向跑180s爸爸首次追上小明，可列方程：$180(y-x)=400$ ②
化简①得：$x+y=\frac{100}{9}$，化简②得：$y-x=\frac{20}{9}$
两式相加得$2y=\frac{40}{3}$，解得$y=\frac{20}{3}$，代入$x+y=\frac{100}{9}$得$x=\frac{40}{9}$。
（2）爸爸跑半圈（200m）的时间：$t_1=\frac{200}{6}=\frac{100}{3}\ \mathrm{s}$
此时小明跑的路程：$s_1=5×\frac{100}{3}=\frac{500}{3}\ \mathrm{m}$
两人路程差：$\Delta s=200-\frac{500}{3}=\frac{100}{3}\ \mathrm{m}$
爸爸减速后两人速度差为$5-4=1\ \mathrm{m/s}$，追及时间$t_2=\frac{\frac{100}{3}}{1}=\frac{100}{3}\ \mathrm{s}$
此时爸爸总路程：$200+4×\frac{100}{3}=\frac{1000}{3}\ \mathrm{m}＜400\ \mathrm{m}$，说明还没到终点。
距离终点路程：$400-\frac{1000}{3}=\frac{200}{3}\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 小明的速度为$\frac{40}{9}$ m/s，爸爸的速度为$\frac{20}{3}$ m/s。
(2) 能。理由如下：
爸爸跑半圈所用的时间为$\frac{200}{6}=\frac{100}{3}(\mathrm{s})$，
此时小明所跑的路程为$\frac{100}{3}×5=\frac{500}{3}(\mathrm{m})$，
爸爸领先小明的距离为$200-\frac{500}{3}=\frac{100}{3}(\mathrm{m})$，
因此小明接下来追上爸爸所需的时间为$\frac{100}{3}÷(5-4)=\frac{100}{3}(\mathrm{s})$,则追上时,爸爸所跑的总路程为$200+\frac{100}{3}×4=\frac{1\ 000}{3}(\mathrm{m})$。
因为$\frac{1\ 000}{3}＜400$,所以小明能在400 m终点前追上爸爸。
追上时距离终点还有$400-\frac{1\ 000}{3}=\frac{200}{3}(\mathrm{m})$。
【知识点】
二元一次方程组应用，相遇问题，追及问题
【点评】
本题结合实际运动场景，考查行程问题核心公式的应用，既锻炼列方程解应用题的能力，也考查分段行程的分析能力，解题关键是找准不同运动状态下的路程等量关系。
【难度系数】
0.6
（1）本题是环形跑道的行程问题，相向跑首次相遇时，两人路程和等于跑道一圈长度400m；同向跑首次追上时，爸爸比小明多跑一圈长度400m。我们可以设两人速度为未知数，根据这两个等量关系列二元一次方程组求解。
（2）先计算爸爸跑到半圈的用时，算出此时小明跑的路程，得到两人的路程差；再根据爸爸减速后的速度差，计算小明追上爸爸的用时，算出此时爸爸总共跑的路程，和400m比较判断是否在终点前追上，若能再计算距离终点的距离。
【解析】
（1）设小明的速度为$x$ m/s，爸爸的速度为$y$ m/s。
根据相向跑36s首次相遇，可列方程：$36(x+y)=400$ ①
根据同向跑180s爸爸首次追上小明，可列方程：$180(y-x)=400$ ②
化简①得：$x+y=\frac{100}{9}$，化简②得：$y-x=\frac{20}{9}$
两式相加得$2y=\frac{40}{3}$，解得$y=\frac{20}{3}$，代入$x+y=\frac{100}{9}$得$x=\frac{40}{9}$。
（2）爸爸跑半圈（200m）的时间：$t_1=\frac{200}{6}=\frac{100}{3}\ \mathrm{s}$
此时小明跑的路程：$s_1=5×\frac{100}{3}=\frac{500}{3}\ \mathrm{m}$
两人路程差：$\Delta s=200-\frac{500}{3}=\frac{100}{3}\ \mathrm{m}$
爸爸减速后两人速度差为$5-4=1\ \mathrm{m/s}$，追及时间$t_2=\frac{\frac{100}{3}}{1}=\frac{100}{3}\ \mathrm{s}$
此时爸爸总路程：$200+4×\frac{100}{3}=\frac{1000}{3}\ \mathrm{m}＜400\ \mathrm{m}$，说明还没到终点。
距离终点路程：$400-\frac{1000}{3}=\frac{200}{3}\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 小明的速度为$\frac{40}{9}$ m/s，爸爸的速度为$\frac{20}{3}$ m/s。
(2) 能。理由如下：
爸爸跑半圈所用的时间为$\frac{200}{6}=\frac{100}{3}(\mathrm{s})$，
此时小明所跑的路程为$\frac{100}{3}×5=\frac{500}{3}(\mathrm{m})$，
爸爸领先小明的距离为$200-\frac{500}{3}=\frac{100}{3}(\mathrm{m})$，
因此小明接下来追上爸爸所需的时间为$\frac{100}{3}÷(5-4)=\frac{100}{3}(\mathrm{s})$,则追上时,爸爸所跑的总路程为$200+\frac{100}{3}×4=\frac{1\ 000}{3}(\mathrm{m})$。
因为$\frac{1\ 000}{3}＜400$,所以小明能在400 m终点前追上爸爸。
追上时距离终点还有$400-\frac{1\ 000}{3}=\frac{200}{3}(\mathrm{m})$。
【知识点】
二元一次方程组应用，相遇问题，追及问题
【点评】
本题结合实际运动场景，考查行程问题核心公式的应用，既锻炼列方程解应用题的能力，也考查分段行程的分析能力，解题关键是找准不同运动状态下的路程等量关系。
【难度系数】
0.6
