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第6课 因式分解章末复习
知识体系构建
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答案
解：
① 乘积
② $(a+b)(a-b)$
③ $(a\pm b)^2$
① 乘积
② $(a+b)(a-b)$
③ $(a\pm b)^2$
解析
【分析】
本题考查因式分解相关的基础概念与常用公式，解题思路如下：
1. 针对空①：回忆因式分解的核心定义，明确因式分解最终的呈现形式是几个整式相乘的结构，即可确定答案；
2. 针对空②：回忆平方差公式的因式分解形式，平方差是两个平方项作差，分解后为两数和乘两数差的形式；
3. 针对空③：回忆完全平方公式的因式分解形式，符合“首平方、尾平方，乘积二倍在中央”特征的式子，分解后为两数和（或差）的平方。
【解析】
①根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫作因式分解，因此①填“乘积”；
②根据平方差因式分解公式可得：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，因此②填$(a+b)(a-b)$；
③根据完全平方因式分解公式可得：$a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b)^2$，因此③填$(a\pm b)^2$。
【答案】
①乘积；②$\boldsymbol{(a+b)(a-b)}$；③$\boldsymbol{(a\pm b)^2}$
【知识点】
因式分解的定义，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题属于基础概念类习题，重点考查对因式分解基础定义和常用公式的记忆，是开展复杂因式分解运算的基础，需要熟练识记相关内容。
【难度系数】
0.9
本题考查因式分解相关的基础概念与常用公式，解题思路如下：
1. 针对空①：回忆因式分解的核心定义，明确因式分解最终的呈现形式是几个整式相乘的结构，即可确定答案；
2. 针对空②：回忆平方差公式的因式分解形式，平方差是两个平方项作差，分解后为两数和乘两数差的形式；
3. 针对空③：回忆完全平方公式的因式分解形式，符合“首平方、尾平方，乘积二倍在中央”特征的式子，分解后为两数和（或差）的平方。
【解析】
①根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫作因式分解，因此①填“乘积”；
②根据平方差因式分解公式可得：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，因此②填$(a+b)(a-b)$；
③根据完全平方因式分解公式可得：$a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b)^2$，因此③填$(a\pm b)^2$。
【答案】
①乘积；②$\boldsymbol{(a+b)(a-b)}$；③$\boldsymbol{(a\pm b)^2}$
【知识点】
因式分解的定义，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题属于基础概念类习题，重点考查对因式分解基础定义和常用公式的记忆，是开展复杂因式分解运算的基础，需要熟练识记相关内容。
【难度系数】
0.9
1. 下列从左到右的变形属于因式分解的是
（
A.$a(b + c) = ab + ac$
B.$x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)$
C.$4m^2b = 2m^2 · 2b$
D.$m^2 - 1 + x = (m + 1)(m - 1) + x$
（
B
）A.$a(b + c) = ab + ac$
B.$x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)$
C.$4m^2b = 2m^2 · 2b$
D.$m^2 - 1 + x = (m + 1)(m - 1) + x$
答案
1. B
解析
【分析】
要判断一个变形是不是因式分解，首先要牢记因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。判断时要抓住三个核心要点：1. 变形的对象是多项式；2. 变形的结果是几个整式的乘积；3. 左右两边恒等。解题时我们用这三个要点逐一核对每个选项即可。
【解析】
首先明确因式分解的判断标准，再逐一分析选项：
A选项：左边是整式乘积的形式，右边是和的形式，属于整式乘法运算，是因式分解的逆过程，不属于因式分解，排除；
B选项：左边$x^2-y^2$是多项式，右边是$(x+y)$和$(x-y)$两个整式的乘积，且左右两边恒等，完全符合因式分解的定义，符合要求；
C选项：左边$4m^2b$是单项式，因式分解的对象必须是多项式，不符合要求，排除；
D选项：右边是$(m+1)(m-1)$与$x$的和，不是几个整式乘积的形式，不符合要求，排除。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
因式分解的定义、整式乘法运算、平方差公式
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是准确理解因式分解的定义，注意区分因式分解和整式乘法是互逆的变形，避免将乘法运算误认为是因式分解，同时要注意因式分解的结果必须是纯乘积的形式，不能含有加减项。
【难度系数】
0.8
要判断一个变形是不是因式分解，首先要牢记因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。判断时要抓住三个核心要点：1. 变形的对象是多项式；2. 变形的结果是几个整式的乘积；3. 左右两边恒等。解题时我们用这三个要点逐一核对每个选项即可。
【解析】
首先明确因式分解的判断标准，再逐一分析选项：
A选项：左边是整式乘积的形式，右边是和的形式，属于整式乘法运算，是因式分解的逆过程，不属于因式分解，排除；
B选项：左边$x^2-y^2$是多项式，右边是$(x+y)$和$(x-y)$两个整式的乘积，且左右两边恒等，完全符合因式分解的定义，符合要求；
C选项：左边$4m^2b$是单项式，因式分解的对象必须是多项式，不符合要求，排除；
D选项：右边是$(m+1)(m-1)$与$x$的和，不是几个整式乘积的形式，不符合要求，排除。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
因式分解的定义、整式乘法运算、平方差公式
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是准确理解因式分解的定义，注意区分因式分解和整式乘法是互逆的变形，避免将乘法运算误认为是因式分解，同时要注意因式分解的结果必须是纯乘积的形式，不能含有加减项。
【难度系数】
0.8
2. $8x^2y^3z - 6xy^2z^2 + 12xy^3z$ 分解因式时，应提取的公因式是（
A.$4x^2y^2z$
B.$2xy^2z$
C.$6xy$
D.$2$
B
）A.$4x^2y^2z$
B.$2xy^2z$
C.$6xy$
D.$2$
答案
2. B
解析
【分析】
要确定多项式分解因式时提取的公因式，需按照公因式的确定规则逐步推导：第一步先找各项系数的最大公约数，第二步找出各项都含有的相同字母，第三步取相同字母的最低次幂，最后将三者相乘就能得到公因式，再对应选项判断即可。
【解析】
确定公因式需分三步：
1. 定系数：多项式各项系数为8、-6、12，它们的最大公约数是2；
2. 定字母：观察三项，都含有的相同字母是x、y、z；
3. 定指数：相同字母的最低次幂：x的最低次数是1，y的最低次数是2，z的最低次数是1。
综上，公因式为$2xy^2z$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
公因式的确定，提公因式法分解因式
【点评】
本题是基础题，核心考查公因式的确定方法，掌握“系数取最大公约数、相同字母取最低次幂、仅保留各项共有的字母”的规则就能快速解题。
【难度系数】
0.8
要确定多项式分解因式时提取的公因式，需按照公因式的确定规则逐步推导：第一步先找各项系数的最大公约数，第二步找出各项都含有的相同字母，第三步取相同字母的最低次幂，最后将三者相乘就能得到公因式，再对应选项判断即可。
【解析】
确定公因式需分三步：
1. 定系数：多项式各项系数为8、-6、12，它们的最大公约数是2；
2. 定字母：观察三项，都含有的相同字母是x、y、z；
3. 定指数：相同字母的最低次幂：x的最低次数是1，y的最低次数是2，z的最低次数是1。
综上，公因式为$2xy^2z$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
公因式的确定，提公因式法分解因式
【点评】
本题是基础题，核心考查公因式的确定方法，掌握“系数取最大公约数、相同字母取最低次幂、仅保留各项共有的字母”的规则就能快速解题。
【难度系数】
0.8
3.（2026潮州市期末）下列多项式能运用完全平方公式分解因式的是（
A.$x^2 + 2x + y^2$
B.$4x^2 - 4x - 1$
C.$x^2 + 4xy + y^2$
D.$x^2 - 4x + 4$
D
）A.$x^2 + 2x + y^2$
B.$4x^2 - 4x - 1$
C.$x^2 + 4xy + y^2$
D.$x^2 - 4x + 4$
答案
3. D
解析
【分析】
解本题的核心是明确能用完全平方公式分解因式的多项式必须是完全平方式，完全平方式满足三个特征：①共三项；②有两项是两个整式的平方，且这两项符号相同；③第三项是这两个整式乘积的2倍，符号可正可负。解题时只需将每个选项对照这三个特征逐一判断即可。
【解析】
完全平方公式的形式为：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，我们对各选项逐一分析：
A. $x^2+2x+y^2$：中间项$2x$不是$x$和$y$乘积的2倍，不符合完全平方式的结构，不能用完全平方公式分解；
B. $4x^2-4x-1$：平方项$4x^2$和$-1$符号相反，不符合完全平方式的要求，不能用完全平方公式分解；
C. $x^2+4xy+y^2$：中间项$4xy$不是$x$和$y$乘积的2倍，不符合结构，不能用完全平方公式分解；
D. $x^2-4x+4$可变形为$x^2-2· x·2 +2^2$，符合$a^2-2ab+b^2$的结构，可分解为$(x-2)^2$，满足要求。
【答案】
D
【知识点】
1. 完全平方式的特征
2. 公式法分解因式
【点评】
本题考查完全平方公式分解因式的适用条件，解题关键是熟记完全平方式的结构特征，逐个对照选项验证即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
解本题的核心是明确能用完全平方公式分解因式的多项式必须是完全平方式，完全平方式满足三个特征：①共三项；②有两项是两个整式的平方，且这两项符号相同；③第三项是这两个整式乘积的2倍，符号可正可负。解题时只需将每个选项对照这三个特征逐一判断即可。
【解析】
完全平方公式的形式为：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，我们对各选项逐一分析：
A. $x^2+2x+y^2$：中间项$2x$不是$x$和$y$乘积的2倍，不符合完全平方式的结构，不能用完全平方公式分解；
B. $4x^2-4x-1$：平方项$4x^2$和$-1$符号相反，不符合完全平方式的要求，不能用完全平方公式分解；
C. $x^2+4xy+y^2$：中间项$4xy$不是$x$和$y$乘积的2倍，不符合结构，不能用完全平方公式分解；
D. $x^2-4x+4$可变形为$x^2-2· x·2 +2^2$，符合$a^2-2ab+b^2$的结构，可分解为$(x-2)^2$，满足要求。
【答案】
D
【知识点】
1. 完全平方式的特征
2. 公式法分解因式
【点评】
本题考查完全平方公式分解因式的适用条件，解题关键是熟记完全平方式的结构特征，逐个对照选项验证即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
4. (2026佛山市月考)小贤在抄分解因式的题目时,不小心漏抄了二项式$a^2 - □ b^2$中“”的部分,若该二项式能分解因式,则“”不可能是 (
A.$a$
B.$-16$
C.$49$
D.$a^2$
B
)A.$a$
B.$-16$
C.$49$
D.$a^2$
答案
4. B
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要结合因式分解的常用方法（提公因式法、公式法），逐个将选项代入空缺位置，判断得到的二项式是否能分解因式，无法分解的即为正确答案。首先明确因式分解的两个常用判断依据：一是多项式各项有公因式可提，二是符合平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$的“两项平方异号”结构特征。
【解析】
我们依次将各选项代入“”处验证：
A. 若为$a$，原式为$a^2-ab^2$，提取公因式$a$可得$a(a-b^2)$，能分解因式，不符合题意；
B. 若为$-16$，原式为$a^2-(-16)b^2=a^2+16b^2$，该式是两个平方项的和，没有公因式，也不符合平方差公式的结构，无法分解因式，符合题意；
C. 若为$49$，原式为$a^2-49b^2=a^2-(7b)^2$，利用平方差公式分解得$(a+7b)(a-7b)$，能分解因式，不符合题意；
D. 若为$a^2$，原式为$a^2-a^2b^2$，先提取公因式$a^2$得$a^2(1-b^2)$，再用平方差公式分解得$a^2(1+b)(1-b)$，能分解因式，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
因式分解，平方差公式，提公因式法
【点评】
本题考查因式分解的应用，解题关键是熟练掌握因式分解的常用方法，牢记平方差公式的结构特征，避免符号判断出错。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们需要结合因式分解的常用方法（提公因式法、公式法），逐个将选项代入空缺位置，判断得到的二项式是否能分解因式，无法分解的即为正确答案。首先明确因式分解的两个常用判断依据：一是多项式各项有公因式可提，二是符合平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$的“两项平方异号”结构特征。
【解析】
我们依次将各选项代入“”处验证：
A. 若为$a$，原式为$a^2-ab^2$，提取公因式$a$可得$a(a-b^2)$，能分解因式，不符合题意；
B. 若为$-16$，原式为$a^2-(-16)b^2=a^2+16b^2$，该式是两个平方项的和，没有公因式，也不符合平方差公式的结构，无法分解因式，符合题意；
C. 若为$49$，原式为$a^2-49b^2=a^2-(7b)^2$，利用平方差公式分解得$(a+7b)(a-7b)$，能分解因式，不符合题意；
D. 若为$a^2$，原式为$a^2-a^2b^2$，先提取公因式$a^2$得$a^2(1-b^2)$，再用平方差公式分解得$a^2(1+b)(1-b)$，能分解因式，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
因式分解，平方差公式，提公因式法
【点评】
本题考查因式分解的应用，解题关键是熟练掌握因式分解的常用方法，牢记平方差公式的结构特征，避免符号判断出错。
【难度系数】
0.7
5. 如图，长、宽分别为$a,b$的长方形周长为16，面积为12，则$a(a+b)(a-b)-a(a+b)^2$的值为
(
A.193
B.-192
C.384
D.-384
(
B
)A.193
B.-192
C.384
D.-384
答案
5. B
解析
【分析】
首先根据长方形的周长和面积公式先求出a+b与ab的值，观察所求代数式结构复杂，优先考虑先对代数式进行因式分解化简，再整体代入a+b和ab的值计算，无需单独求解a、b的具体数值，可简化计算过程。
【解析】
解：由题意得：
长方形周长：$2(a+b)=16$，解得 $a+b=8$；
长方形面积：$ab=12$。
对所求代数式化简：
$\begin{aligned}&a(a+b)(a-b)-a(a+b)^2\\=&a(a+b)[(a-b)-(a+b)] \quad \mathrm{提取公因式}a(a+b)\\=&a(a+b)(a-b-a-b)\\=&a(a+b)(-2b)\\=&-2ab(a+b)\end{aligned}$
将$a+b=8$，$ab=12$代入上式：
原式$=-2×12×8=-192$
【答案】
B
【知识点】
整式化简，因式分解，代数式求值
【点评】
本题主要考查代数式的化简求值，解题时采用整体代入的思想，先化简代数式再代入已知条件计算，避免了求解单个未知数的繁琐过程，有效提升解题效率和正确率。
【难度系数】
0.7
首先根据长方形的周长和面积公式先求出a+b与ab的值，观察所求代数式结构复杂，优先考虑先对代数式进行因式分解化简，再整体代入a+b和ab的值计算，无需单独求解a、b的具体数值，可简化计算过程。
【解析】
解：由题意得：
长方形周长：$2(a+b)=16$，解得 $a+b=8$；
长方形面积：$ab=12$。
对所求代数式化简：
$\begin{aligned}&a(a+b)(a-b)-a(a+b)^2\\=&a(a+b)[(a-b)-(a+b)] \quad \mathrm{提取公因式}a(a+b)\\=&a(a+b)(a-b-a-b)\\=&a(a+b)(-2b)\\=&-2ab(a+b)\end{aligned}$
将$a+b=8$，$ab=12$代入上式：
原式$=-2×12×8=-192$
【答案】
B
【知识点】
整式化简，因式分解，代数式求值
【点评】
本题主要考查代数式的化简求值，解题时采用整体代入的思想，先化简代数式再代入已知条件计算，避免了求解单个未知数的繁琐过程，有效提升解题效率和正确率。
【难度系数】
0.7
二、填空题
6. (2025 吉林)因式分解：$a^2 - ab =$
6. (2025 吉林)因式分解：$a^2 - ab =$
$a(a - b)$
.答案
6. $a(a - b)$
解析
【分析】
拿到因式分解题目首先观察多项式结构，本题包含两项，优先用提公因式法求解。第一步找公因式：两项系数的最大公约数是1，两项都含有的公共字母是a，且a的最低次数为1，因此公因式为a。第二步提取公因式，将各项除以公因式后的结果放在括号内，即可完成因式分解。
【解析】
解：对多项式$a^2 - ab$提取公因式$a$：
$a^2 - ab = a· a - a· b = a(a - b)$
【答案】
$a(a - b)$
【知识点】
提公因式法因式分解；公因式的确定
【点评】
本题属于因式分解的基础考题，核心考察提公因式法的应用，只要能准确找到各项的公因式，就能快速得出结果，是基础得分题。
【难度系数】
0.9
拿到因式分解题目首先观察多项式结构，本题包含两项，优先用提公因式法求解。第一步找公因式：两项系数的最大公约数是1，两项都含有的公共字母是a，且a的最低次数为1，因此公因式为a。第二步提取公因式，将各项除以公因式后的结果放在括号内，即可完成因式分解。
【解析】
解：对多项式$a^2 - ab$提取公因式$a$：
$a^2 - ab = a· a - a· b = a(a - b)$
【答案】
$a(a - b)$
【知识点】
提公因式法因式分解；公因式的确定
【点评】
本题属于因式分解的基础考题，核心考察提公因式法的应用，只要能准确找到各项的公因式，就能快速得出结果，是基础得分题。
【难度系数】
0.9
7. 若多项式$x^2 + mx + 12$因式分解得$(x + 3) · (x + n)$，则$m + n =$
11
。答案
7. 11
解析
【分析】
本题可利用因式分解与整式乘法互为逆运算的关系求解。首先将右边的因式乘积展开为多项式形式，再根据两个多项式相等时对应项的系数完全相等，分别列出关于m、n的等式，先求出n的值，再求出m的值，最后计算m+n的结果即可。
【解析】
首先将$(x + 3)(x + n)$展开：
$\begin{aligned}(x + 3)(x + n)&=x^2 + nx + 3x + 3n\\&=x^2 + (n + 3)x + 3n\end{aligned}$
已知多项式$x^2 + mx + 12=(x + 3)(x + n)$，因此两个多项式对应项系数相等：
1. 常数项相等：$3n = 12$，解得$n = 4$；
2. 一次项系数相等：$m = n + 3$，将$n=4$代入得$m = 4 + 3 = 7$。
因此$m + n = 7 + 4 = 11$。
【答案】
11
【知识点】
因式分解与整式乘法的互逆性、多项式对应系数相等、整式乘法运算
【点评】
本题属于基础题型，核心是利用整式乘法与因式分解的互逆关系，通过对比系数求解未知参数，熟练掌握整式乘法运算和多项式相等的条件是解题的关键。
【难度系数】
0.8
本题可利用因式分解与整式乘法互为逆运算的关系求解。首先将右边的因式乘积展开为多项式形式，再根据两个多项式相等时对应项的系数完全相等，分别列出关于m、n的等式，先求出n的值，再求出m的值，最后计算m+n的结果即可。
【解析】
首先将$(x + 3)(x + n)$展开：
$\begin{aligned}(x + 3)(x + n)&=x^2 + nx + 3x + 3n\\&=x^2 + (n + 3)x + 3n\end{aligned}$
已知多项式$x^2 + mx + 12=(x + 3)(x + n)$，因此两个多项式对应项系数相等：
1. 常数项相等：$3n = 12$，解得$n = 4$；
2. 一次项系数相等：$m = n + 3$，将$n=4$代入得$m = 4 + 3 = 7$。
因此$m + n = 7 + 4 = 11$。
【答案】
11
【知识点】
因式分解与整式乘法的互逆性、多项式对应系数相等、整式乘法运算
【点评】
本题属于基础题型，核心是利用整式乘法与因式分解的互逆关系，通过对比系数求解未知参数，熟练掌握整式乘法运算和多项式相等的条件是解题的关键。
【难度系数】
0.8
8. 已知$4a^2 + 12ab + m$是一个完全平方式，则$m$的值为
$9b^2$
.答案
8. $9b^2$
解析
【分析】
遇到判断完全平方式中未知项的问题，首先回忆完全平方式的结构：$(x\pm y)^2=x^2\pm2xy+y^2$，由两项平方项和两倍乘积项共三项组成。首先将已知的第一项对应首平方项，求出首项的底数，再将中间项对应两倍乘积项，代入首项底数求出另一底数，最后未知项就是另一底数的平方，即可求出m的值。
【解析】
根据完全平方公式$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，
先将已知项变形：$4a^2=(2a)^2$，中间项$12ab=2×2a×3b$，
要使$4a^2+12ab+m$为完全平方式，则缺失的尾项$m$为3b的平方，
即$m=(3b)^2=9b^2$。
【答案】
$9b^2$
【知识点】
完全平方公式，完全平方式的特征
【点评】
本题是对完全平方公式基础应用的考查，解题核心是掌握完全平方式的三项构成，计算尾项时注意不要漏掉平方运算，避免出现误写为3b的错误。
【难度系数】
0.8
遇到判断完全平方式中未知项的问题，首先回忆完全平方式的结构：$(x\pm y)^2=x^2\pm2xy+y^2$，由两项平方项和两倍乘积项共三项组成。首先将已知的第一项对应首平方项，求出首项的底数，再将中间项对应两倍乘积项，代入首项底数求出另一底数，最后未知项就是另一底数的平方，即可求出m的值。
【解析】
根据完全平方公式$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，
先将已知项变形：$4a^2=(2a)^2$，中间项$12ab=2×2a×3b$，
要使$4a^2+12ab+m$为完全平方式，则缺失的尾项$m$为3b的平方，
即$m=(3b)^2=9b^2$。
【答案】
$9b^2$
【知识点】
完全平方公式，完全平方式的特征
【点评】
本题是对完全平方公式基础应用的考查，解题核心是掌握完全平方式的三项构成，计算尾项时注意不要漏掉平方运算，避免出现误写为3b的错误。
【难度系数】
0.8
9. (2026惠州市期末)若$a+b=1$,则$3a^2 +6ab +3b^2=$
3
.答案
9. 3
解析
【分析】
本题已知a+b的取值，要求对应代数式的值，可先对所求代数式做变形处理：首先观察到代数式每一项都含有公因式3，先提取公因式，再根据完全平方公式将剩余部分转化为含(a+b)的形式，最后整体代入已知条件计算即可，无需单独求解a、b的具体数值。
【解析】
解：对所求代数式进行因式分解：
$\begin{aligned}3a^2 +6ab +3b^2&=3(a^2+2ab+b^2) \quad \mathrm{（提取公因式3）}\\&=3(a+b)^2 \quad \mathrm{（运用完全平方和公式）}\end{aligned}$
已知$a+b=1$，将其代入上式得：
原式$=3×1^2=3$
【答案】
3
【知识点】
完全平方公式、因式分解、整体代入求值
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是熟练掌握因式分解的方法和完全平方公式的结构特征，运用整体代入思想可以大幅简化计算，避免不必要的运算。
【难度系数】
0.8
本题已知a+b的取值，要求对应代数式的值，可先对所求代数式做变形处理：首先观察到代数式每一项都含有公因式3，先提取公因式，再根据完全平方公式将剩余部分转化为含(a+b)的形式，最后整体代入已知条件计算即可，无需单独求解a、b的具体数值。
【解析】
解：对所求代数式进行因式分解：
$\begin{aligned}3a^2 +6ab +3b^2&=3(a^2+2ab+b^2) \quad \mathrm{（提取公因式3）}\\&=3(a+b)^2 \quad \mathrm{（运用完全平方和公式）}\end{aligned}$
已知$a+b=1$，将其代入上式得：
原式$=3×1^2=3$
【答案】
3
【知识点】
完全平方公式、因式分解、整体代入求值
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是熟练掌握因式分解的方法和完全平方公式的结构特征，运用整体代入思想可以大幅简化计算，避免不必要的运算。
【难度系数】
0.8
10. 甲、乙两位同学在对多项式$x^2 + bx + c$分解因式时，甲看错了$b$的值，分解的结果是$(x-4)(x+5)$，乙看错了$c$的值，分解的结果是$(x+3)(x-4)$，那么多项式$x^2 + bx + c$分解因式正确的结果为$\underline{\hspace{5cm}}$。
答案
$(x + 4)(x - 5)$
解析
【分析】
因式分解与整式乘法是互逆运算。甲仅看错了b的值，说明其分解结果中两个因式的常数项的乘积是正确的，即可求出原多项式的c值；乙仅看错了c的值，说明其分解结果中两个因式的常数项的和是正确的，即可求出原多项式的b值。得到正确的b、c后，再对原多项式做因式分解即可得到正确结果。
【解析】
1. 求正确的c值：
将甲的分解结果展开：$(x-4)(x+5)=x^2+5x-4x-20=x^2+x-20$，
因为甲只看错$b$，$c$值正确，所以$c=-20$。
2. 求正确的b值：
将乙的分解结果展开：$(x+3)(x-4)=x^2-4x+3x-12=x^2-x-12$，
因为乙只看错$c$，$b$值正确，所以$b=-1$。
3. 分解正确的多项式：
原多项式为$x^2 - x - 20$，用十字相乘法分解，找到两个数乘积为$-20$、和为$-1$，即$4$和$-5$，因此：
$x^2 - x - 20=(x+4)(x-5)$
【答案】
$(x + 4)(x - 5)$
【知识点】
因式分解与整式乘法的互逆性，十字相乘法分解因式
【点评】
本题解题核心是抓住看错系数时不影响另一系数的正确性，结合整式乘法与因式分解的互逆关系求解，逻辑清晰，只要理清对应关系即可得分。
【难度系数】
0.7
因式分解与整式乘法是互逆运算。甲仅看错了b的值，说明其分解结果中两个因式的常数项的乘积是正确的，即可求出原多项式的c值；乙仅看错了c的值，说明其分解结果中两个因式的常数项的和是正确的，即可求出原多项式的b值。得到正确的b、c后，再对原多项式做因式分解即可得到正确结果。
【解析】
1. 求正确的c值：
将甲的分解结果展开：$(x-4)(x+5)=x^2+5x-4x-20=x^2+x-20$，
因为甲只看错$b$，$c$值正确，所以$c=-20$。
2. 求正确的b值：
将乙的分解结果展开：$(x+3)(x-4)=x^2-4x+3x-12=x^2-x-12$，
因为乙只看错$c$，$b$值正确，所以$b=-1$。
3. 分解正确的多项式：
原多项式为$x^2 - x - 20$，用十字相乘法分解，找到两个数乘积为$-20$、和为$-1$，即$4$和$-5$，因此：
$x^2 - x - 20=(x+4)(x-5)$
【答案】
$(x + 4)(x - 5)$
【知识点】
因式分解与整式乘法的互逆性，十字相乘法分解因式
【点评】
本题解题核心是抓住看错系数时不影响另一系数的正确性，结合整式乘法与因式分解的互逆关系求解，逻辑清晰，只要理清对应关系即可得分。
【难度系数】
0.7
