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中考新考向 代数推理 探究特殊形式的乘法运算规律
(人教八上$\mathrm{P}_{134}$活动1改编)请你仔细阅读下列材料,并完成相应的任务.
观察下列各式:$15^2 = 225,25^2 = 625,35^2 = 1225,···$
个位数字是5的两位数平方后,末尾的两个数有什么规律?为什么?
小丽的思考如下:假设个位数字是5的两位数的十位数字为$a$,则这个两位数可以表示为$10a + 5$,这个两位数的平方为$(10a + 5)^2 = \_\_\_\_\_\_$,由此可知个位数字是5的两位数平方后末尾的两个数是________.
(1)任务一:补全上面小丽的解答过程:________;________.
(2)任务二:小丽继续探究发现,个位数字是5的两位数平方后,除了末尾两个数有规律外,其他数位上的数也有规律,并且与原两位数的十位数字有关.
①请直接写出:$75^2 = \_\_\_\_\_\_$;
②请用代数式表示小丽发现的这一规律:________.
(3)任务三:类比小丽的探索思路,观察:$4 × 6,14 × 16,24 × 26,···$的计算结果,请用代数式表示你发现的规律:________.
(人教八上$\mathrm{P}_{134}$活动1改编)请你仔细阅读下列材料,并完成相应的任务.
观察下列各式:$15^2 = 225,25^2 = 625,35^2 = 1225,···$
个位数字是5的两位数平方后,末尾的两个数有什么规律?为什么?
小丽的思考如下:假设个位数字是5的两位数的十位数字为$a$,则这个两位数可以表示为$10a + 5$,这个两位数的平方为$(10a + 5)^2 = \_\_\_\_\_\_$,由此可知个位数字是5的两位数平方后末尾的两个数是________.
(1)任务一:补全上面小丽的解答过程:________;________.
(2)任务二:小丽继续探究发现,个位数字是5的两位数平方后,除了末尾两个数有规律外,其他数位上的数也有规律,并且与原两位数的十位数字有关.
①请直接写出:$75^2 = \_\_\_\_\_\_$;
②请用代数式表示小丽发现的这一规律:________.
(3)任务三:类比小丽的探索思路,观察:$4 × 6,14 × 16,24 × 26,···$的计算结果,请用代数式表示你发现的规律:________.
答案
(1) 100a² + 100a + 25；25
(2) ① 5 625 ② $(10a + 5)^2 = 100a(a + 1) + 25$
(3) $[10(a - 1) + 4][10(a - 1) + 6] = 100a(a - 1) + 24$
(2) ① 5 625 ② $(10a + 5)^2 = 100a(a + 1) + 25$
(3) $[10(a - 1) + 4][10(a - 1) + 6] = 100a(a - 1) + 24$
解析
【分析】
解题思路如下：1. 任务一：先用完全平方公式展开个位为5的两位数的平方表达式，再分析展开式的项的特征，即可得出末尾两位数的规律；2. 任务二：①代入十位数字7到任务一推导的规律中，可直接计算出$75^2$的结果；②将展开式整理为含$a(a+1)$的形式，即可得到通用规律；3. 任务三：类比前面的探究方法，用字母表示出这组乘法算式的两个乘数，再通过多项式乘多项式法则展开整理，即可得到对应规律。
【解析】
(1) 任务一：根据完全平方公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$展开：
$(10a+5)^2=(10a)^2+2×10a×5+5^2=100a^2+100a+25$；
由于$100a^2+100a=100a(a+1)$，是100的正整数倍，因此平方结果的末尾两位仅由常数项25决定，即末尾两个数是25。
(2) 任务二：①$75^2$的十位数字$a=7$，代入规律得：$100×7×(7+1)+25=5600+25=5625$；
②将展开式整理可得通用规律：$(10a+5)^2=100a(a+1)+25$（$a$为1~9的正整数）。
(3) 任务三：观察可知该组算式的两个乘数十位数字相同，个位分别为4、6，设对应参数为$a$，则两个乘数可表示为$10(a-1)+4$、$10(a-1)+6$，展开计算：
$\begin{aligned}&[10(a-1)+4][10(a-1)+6]\\=&(10a-6)(10a-4)\\=&100a^2-40a-60a+24\\=&100a^2-100a+24\\=&100a(a-1)+24\end{aligned}$（$a$为正整数）。
【答案】
(1) $100a^2 + 100a + 25$；$25$
(2) ① $5625$ ② $(10a + 5)^2 = 100a(a + 1) + 25$
(3) $[10(a - 1) + 4][10(a - 1) + 6] = 100a(a - 1) + 24$
【知识点】
完全平方公式，整式乘法运算，数字规律探究
【点评】
本题以特殊乘法运算规律探究为载体，考查整式乘法知识的灵活运用，要求学生掌握从特殊数字运算到一般代数规律推导的方法，能有效提升代数推理能力和归纳能力。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 任务一：先用完全平方公式展开个位为5的两位数的平方表达式，再分析展开式的项的特征，即可得出末尾两位数的规律；2. 任务二：①代入十位数字7到任务一推导的规律中，可直接计算出$75^2$的结果；②将展开式整理为含$a(a+1)$的形式，即可得到通用规律；3. 任务三：类比前面的探究方法，用字母表示出这组乘法算式的两个乘数，再通过多项式乘多项式法则展开整理，即可得到对应规律。
【解析】
(1) 任务一：根据完全平方公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$展开：
$(10a+5)^2=(10a)^2+2×10a×5+5^2=100a^2+100a+25$；
由于$100a^2+100a=100a(a+1)$，是100的正整数倍，因此平方结果的末尾两位仅由常数项25决定，即末尾两个数是25。
(2) 任务二：①$75^2$的十位数字$a=7$，代入规律得：$100×7×(7+1)+25=5600+25=5625$；
②将展开式整理可得通用规律：$(10a+5)^2=100a(a+1)+25$（$a$为1~9的正整数）。
(3) 任务三：观察可知该组算式的两个乘数十位数字相同，个位分别为4、6，设对应参数为$a$，则两个乘数可表示为$10(a-1)+4$、$10(a-1)+6$，展开计算：
$\begin{aligned}&[10(a-1)+4][10(a-1)+6]\\=&(10a-6)(10a-4)\\=&100a^2-40a-60a+24\\=&100a^2-100a+24\\=&100a(a-1)+24\end{aligned}$（$a$为正整数）。
【答案】
(1) $100a^2 + 100a + 25$；$25$
(2) ① $5625$ ② $(10a + 5)^2 = 100a(a + 1) + 25$
(3) $[10(a - 1) + 4][10(a - 1) + 6] = 100a(a - 1) + 24$
【知识点】
完全平方公式，整式乘法运算，数字规律探究
【点评】
本题以特殊乘法运算规律探究为载体，考查整式乘法知识的灵活运用，要求学生掌握从特殊数字运算到一般代数规律推导的方法，能有效提升代数推理能力和归纳能力。
【难度系数】
0.7
(人教八上$\mathrm{P}_{134}$活动2改编)在当今“互联网 +”的时代,在日常生活中经常需要用到密码,有一种用“因式分解法”生成密码的方法,其原理是:将一个多项式分解因式,如多项式:$x^3 + 2x^2 - x - 2$因式分解的结果是$(x - 1)(x + 1)(x + 2)$,当取$x = 19$时,各个因式的值是:$x - 1 = 18,x + 1 = 20,x + 2 = 21$,将这三个数按照从小到大的顺序排列为“182021”,于是就可以把“182021”作为密码.当然也可取另外一些适当的数,得出新的密码.
(1)根据上述方法,当$x = 16,y = 4$时,多项式$x^3 - xy^2$分解因式后形成的数字密码是
(2)将多项式$x^3 + (m - n)x^2 + nx$因式分解后,利用题目中所示的方法,当$x = 10$时可以得到密码101213,求$m,n$的值.
(1)根据上述方法,当$x = 16,y = 4$时,多项式$x^3 - xy^2$分解因式后形成的数字密码是
121620
;(2)将多项式$x^3 + (m - n)x^2 + nx$因式分解后,利用题目中所示的方法,当$x = 10$时可以得到密码101213,求$m,n$的值.
答案
(1) 121620
(2)
∵ 当$x = 10$时,密码为 101213,且$x^3$的系数是 1,
∴ 由(1)知$x + 2 = 12,x + 3 = 13$.
∴ $x^3 + (m - n)x^2 + nx = x(x + 2)(x + 3) = x^3 + 5x^2 + 6x$.
∴ $m - n = 5,n = 6. ∴ m = 11,n = 6$.
(2)
∵ 当$x = 10$时,密码为 101213,且$x^3$的系数是 1,
∴ 由(1)知$x + 2 = 12,x + 3 = 13$.
∴ $x^3 + (m - n)x^2 + nx = x(x + 2)(x + 3) = x^3 + 5x^2 + 6x$.
∴ $m - n = 5,n = 6. ∴ m = 11,n = 6$.
解析
【分析】
(1) 解决第一问首先需要对多项式$x^3 - xy^2$进行因式分解，先提取公因式$x$，再利用平方差公式分解为三个一次因式的乘积，再将$x=16$、$y=4$代入三个因式计算结果，将结果从小到大排列即可得到密码。
(2) 解决第二问首先根据给出的密码101213和$x=10$，确定多项式分解后的三个因式，再将三个因式的乘积展开，与原多项式对比对应项的系数，列方程求解$m$、$n$的值即可。
【解析】
(1) 先对多项式因式分解：
$x^3 - xy^2 = x(x^2 - y^2) = x(x-y)(x+y)$
将$x=16$，$y=4$代入三个因式得：
$x-y=16-4=12$，$x=16$，$x+y=16+4=20$
将三个结果从小到大排列为12、16、20，因此形成的数字密码是121620。
(2) 当$x=10$时得到密码101213，可知多项式分解后的三个因式的值分别为10、12、13，对应因式为$x$、$x+2$、$x+3$，因此：
$x^3 + (m - n)x^2 + nx = x(x+2)(x+3)$
先展开右侧：
$x(x+2)(x+3) = x(x^2 + 5x + 6) = x^3 + 5x^2 + 6x$
对比左右两侧多项式的对应项系数，可得：
$\begin{cases}m - n = 5 \\n = 6\end{cases}$
将$n=6$代入$m-n=5$，解得$m=5+6=11$。
【答案】
(1) $\boxed{121620}$
(2) $\boxed{m=11,n=6}$
【知识点】
因式分解；代数式求值；多项式系数对应
【点评】
本题以因式分解生成密码为新情景，考查因式分解的应用，解题关键是读懂题意，建立密码和多项式因式的对应关系，再结合代数运算求解，侧重对知识灵活运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
(1) 解决第一问首先需要对多项式$x^3 - xy^2$进行因式分解，先提取公因式$x$，再利用平方差公式分解为三个一次因式的乘积，再将$x=16$、$y=4$代入三个因式计算结果，将结果从小到大排列即可得到密码。
(2) 解决第二问首先根据给出的密码101213和$x=10$，确定多项式分解后的三个因式，再将三个因式的乘积展开，与原多项式对比对应项的系数，列方程求解$m$、$n$的值即可。
【解析】
(1) 先对多项式因式分解：
$x^3 - xy^2 = x(x^2 - y^2) = x(x-y)(x+y)$
将$x=16$，$y=4$代入三个因式得：
$x-y=16-4=12$，$x=16$，$x+y=16+4=20$
将三个结果从小到大排列为12、16、20，因此形成的数字密码是121620。
(2) 当$x=10$时得到密码101213，可知多项式分解后的三个因式的值分别为10、12、13，对应因式为$x$、$x+2$、$x+3$，因此：
$x^3 + (m - n)x^2 + nx = x(x+2)(x+3)$
先展开右侧：
$x(x+2)(x+3) = x(x^2 + 5x + 6) = x^3 + 5x^2 + 6x$
对比左右两侧多项式的对应项系数，可得：
$\begin{cases}m - n = 5 \\n = 6\end{cases}$
将$n=6$代入$m-n=5$，解得$m=5+6=11$。
【答案】
(1) $\boxed{121620}$
(2) $\boxed{m=11,n=6}$
【知识点】
因式分解；代数式求值；多项式系数对应
【点评】
本题以因式分解生成密码为新情景，考查因式分解的应用，解题关键是读懂题意，建立密码和多项式因式的对应关系，再结合代数运算求解，侧重对知识灵活运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
