三、解答题
11. (2026 惠州市期末)因式分解:
(1)$2x^3y - 8xy$;
(2)$3x^2 - 6x + 3$.

11. (1) 解:原式 = $2xy(x^2 - 4) = 2xy(x + 2)(x - 2)$.
(2) 解:原式 = $3(x^2 - 2x + 1) = 3(x - 1)^2$.

【分析】
因式分解遵循“先提公因式，再用公式，最后检查是否分解彻底”的思路解题：①先观察多项式各项的公因式，优先提取公因式；②提取公因式后，若剩余部分是两项，判断是否符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构，若剩余部分是三项，判断是否符合完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$的结构；③最后确认所有因式都不能再分解。
针对第(1)题：先找公因式，两项系数最大公约数是2，共有的因式是$xy$，公因式为$2xy$，提取后剩余$x^2-4$，是平方差结构，可继续分解；针对第(2)题：先提取公因式3，剩余$x^2-2x+1$，是完全平方差结构，可继续分解。
【解析】
(1) 第一步提取公因式$2xy$：
原式$=2xy(x^2 - 4)$
第二步利用平方差公式分解$x^2-4$：
$=2xy(x + 2)(x - 2)$
(2) 第一步提取公因式3：
原式$=3(x^2 - 2x + 1)$
第二步利用完全平方差公式分解$x^2-2x+1$：
$=3(x - 1)^2$
【答案】
(1) $2xy(x + 2)(x - 2)$
(2) $3(x - 1)^2$
【知识点】
提公因式法因式分解、平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查因式分解的基本步骤，解题时注意要分解到每个因式都不能再分解为止，熟练掌握提公因式法和乘法公式的结构特征是解题的关键。
【难度系数】
0.8

12. 简便计算：
(1) $1.99^2 + 1.99 × 0.01$；
(2) $3.14 × 5.5^2 - 3.14 × 4.5^2$。

12. (1) 解:原式 = $1.99 × (1.99 + 0.01) = 1.99 × 2 = 3.98$.
(2) 解:原式 = $3.14 × (5.5^2 - 4.5^2)$
$= 3.14 × (5.5 + 4.5)(5.5 - 4.5) = 3.14 × 10 × 1 = 31.4$.

【分析】
(1) 观察第一小题的式子，两项都含有公因数1.99，可利用乘法分配律的逆运算（提取公因式）简化计算，提取1.99后，剩余部分相加刚好为整数2，可直接口算得出结果。
(2) 观察第二小题的式子，两项都含有公因数3.14，先提取3.14后，剩余部分为两个数的平方差，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构，代入公式计算后可得到整数乘积，大幅简化运算。
【解析】
(1) 解：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=1.99 × (1.99 + 0.01)\\&=1.99 × 2\\&=3.98\end{aligned}$
(2) 解：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=3.14 × (5.5^2 - 4.5^2)\\&=3.14 × (5.5 + 4.5)(5.5 - 4.5)\\&=3.14 × 10 × 1\\&=31.4\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{3.98}$；(2) $\boxed{31.4}$
【知识点】
提取公因式法，平方差公式，因式分解的应用
【点评】
这两道题是因式分解在简便运算中的典型应用，解题核心是先观察式子的公共因式，提取后再结合对应运算公式简化计算，既减少了计算量，也能降低出错概率，属于运算类基础题。
【难度系数】
0.8

13. (2026云浮市期末)在对“$(2m + n)^2 - (m + 2n)^2$”进行因式分解时,小华和小明产生了分歧.下面是他们的解答过程,请认真阅读并完成相应的任务.

任务:
(1)通过讨论,他们发现小华的解答正确,小明的解答错误.小华第一步依据的乘法公式为(用含a,b的等式表示);小明的解答从第步开始出现错误.
(2)按照小明的思路,写出正确的解答过程.

13. (1) $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，一
(2) 原式 = $(2m + n + m + 2n)(2m + n - m - 2n)$
$= (3m + 3n)(m - n) = 3(m + n)(m - n)$.

【分析】
（1）小华第一步是将两个完全平方式展开，对应完全平方公式的应用，即可得到其依据的公式；小明采用平方差公式因式分解，平方差公式为$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，本题中$a=2m+n$，$b=m+2n$，因此$a-b=(2m+n)-(m+2n)$，去括号后应为$2m+n-m-2n$，对比小明的步骤可发现他第一步去括号时符号出错，因此从第一步开始错误。
（2）按照小明使用平方差公式的思路，先正确套用平方差公式，再合并同类项，最后提取公因式即可得到正确的因式分解结果。
【解析】
（1）小华第一步展开完全平方式，依据的是完全平方和公式；小明套用平方差公式时，第二个因式去括号未变号，因此从第一步就出现错误。
（2）正确解答过程如下：
原式$=(2m+n+m+2n)[(2m+n)-(m+2n)]$
$=(3m+3n)(2m+n-m-2n)$
$=(3m+3n)(m-n)$
$=3(m+n)(m-n)$
【答案】
(1) $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，一
(2) 原式 = $(2m + n + m + 2n)(2m + n - m - 2n)$
$= (3m + 3n)(m - n) = 3(m + n)(m - n)$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，因式分解
【点评】
本题考查乘法公式在因式分解中的应用，解题时要注意公式的正确套用，去括号时注意符号变化，因式分解要分解到每个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.7

14.（新定义）若一个正整数$ a $可以表示为连续的两个奇数的平方差的形式，如：$ 8 = 3^2 - 1^2 $，$ 16 = 5^2 - 3^2 $，$ 24 = 7^2 - 5^2 $，…，我们则称形如8,16,24这样的正整数$ a $为“奇特数”。
（1）请写出最小的三位数的“奇特数”是，将它表示成连续的两个奇数的平方差的形式为；
（2）求证：任意一个“奇特数”都是8的倍数。

14. (1) 104，$104 = 27^2 - 25^2$
(2) 证明:设连续的两个奇数分别为$2k + 3,2k + 1(k = 0,1,2,···)$.
$\therefore m = (2k + 3)^2 - (2k + 1)^2 = (2k + 3 + 2k + 1)(2k + 3 - 2k - 1) = 2(4k + 4) = 8(k + 1)$.
$\therefore$ 任意一个“奇特数”都是8的倍数.

【分析】
（1）首先观察给出的“奇特数”示例8、16、24，可发现其均为8的正整数倍，因此先找大于等于100的最小的8的倍数，即可得到最小的三位数“奇特数”。再设两个连续奇数中较小的为$x$，较大的为$x+2$，结合平方差公式列方程求解，就能得到对应的两个奇数，写出平方差形式。
（2）要证明任意“奇特数”都是8的倍数，可先设出两个连续的奇数，利用平方差公式对两个奇数的平方差进行因式分解、化简，验证化简结果为8的正整数倍即可。
【解析】
（1）计算8的倍数：$8×12=96$（为两位数，不符合要求），$8×13=104$（为三位数，是最小的三位数“奇特数”）。
设构成104的两个连续奇数中较小的为$x$，较大的为$x+2$，根据题意列方程：
$(x+2)^2 - x^2 = 104$
由平方差公式展开得：$(x+2+x)(x+2-x)=104$
化简得：$2(2x+2)=104$，即$4x+4=104$
解得$x=25$，则较大的奇数为$25+2=27$，因此平方差形式为$104=27^2 - 25^2$。
（2）证明：设连续的两个奇数分别为$2k+3,2k+1$（$k=0,1,2,···$）
则“奇特数”$m=(2k+3)^2 - (2k+1)^2$
由平方差公式因式分解得：
$\begin{aligned}m&=(2k+3 + 2k + 1)(2k+3 - 2k - 1)\\&=(4k+4)×2\\&=8(k+1)\end{aligned}$
∵$k$为非负整数，
∴$k+1$是正整数，即$m$是8的正整数倍
∴任意一个“奇特数”都是8的倍数。
【答案】
（1）$104$，$104=27^2 - 25^2$
（2）证明见上述解析
【知识点】
平方差公式，新定义运算，整式化简
【点评】
本题结合新定义考查平方差公式的应用，解题核心是准确理解“奇特数”的定义，通过设参数推导其代数特征，既考查对新概念的阅读理解能力，也检验了整式运算的掌握程度。
【难度系数】
0.7

15. 观察下列分解因式的过程：$x^2 - 2xy - 3y^2$.
解:原式$=x^2 -2xy + y^2 - y^2 -3y^2=(x^2 -2xy + y^2)-4y^2=(x - y)^2 - (2y)^2=(x - y +2y)(x - y -2y)=(x + y)(x -3y)$.
像这种通过增项或减项把多项式转化成完全平方形式的方法称为配方法.
(1) 请你运用上述配方法分解因式:$x^2 -6xy +5y^2$;
(2) 已知$△ ABC$的三边长$a,b,c$都是正整数,且满足$2a^2 +b^2=20a +14b -99$,求$△ ABC$周长的最大值.

15. (1) 解:原式 = $x^2 -6xy +9y^2 -4y^2 = (x - 3y)^2 - (2y)^2$
$= (x - 3y + 2y)(x - 3y - 2y) = (x - y)(x - 5y)$.
(2) 由$2a^2 + b^2 = 20a + 14b - 99$ 整理,得$2a^2 - 20a + 50 + b^2 - 14b + 49 = 0$.
$\therefore 2(a^2 - 10a + 25) + (b^2 - 14b + 49) = 0$.
$\therefore 2(a - 5)^2 + (b - 7)^2 = 0$. 解得$a = 5,b = 7$.
由三角形三边之间的关系,得$2 ＜ c ＜ 12$.
$\because c$为正整数,且使$△ ABC$周长最大,$\therefore c = 11$.
$\therefore a + b + c = 5 + 7 + 11 = 23$,即$△ ABC$周长的最大值为23.

【分析】
(1) 第一问参照题干给出的配方法思路：先观察含x的二次项和一次项$x^2-6xy$，要凑成完全平方需加上$(6y÷2)^2=9y^2$，原式常数项为$5y^2$，因此可将$5y^2$拆为$9y^2-4y^2$，前三项构成完全平方式后，剩余的$-4y^2$是$(2y)^2$的相反数，再用平方差公式分解即可。
(2) 第二问先处理含a、b的等式：将所有项移到等号左侧，用配方法整理为若干个非负式子相加等于0的形式，利用平方的非负性求出a、b的取值；再根据三角形三边关系确定第三边c的取值范围，结合c为正整数的条件找出c的最大值，最后计算周长最大值即可。
【解析】
(1) 分解因式$x^2 -6xy +5y^2$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=x^2 -6xy +9y^2 -4y^2\\&=(x - 3y)^2 - (2y)^2\\&=(x - 3y + 2y)(x - 3y - 2y)\\&=(x - y)(x - 5y)\end{aligned}$
(2) 求$△ ABC$周长的最大值：
将$2a^2 +b^2=20a +14b -99$移项得$2a^2 -20a +b^2 -14b +99=0$，拆分常数项配方：
$\begin{aligned}2(a^2 -10a +25) + (b^2 -14b +49)&=0\\2(a - 5)^2 + (b - 7)^2 &= 0\end{aligned}$
由平方的非负性可知$2(a-5)^2≥0$，$(b-7)^2≥0$，因此仅当$a-5=0$且$b-7=0$时等式成立，解得$a=5$，$b=7$。
根据三角形三边关系$b-a ＜ c ＜ a+b$，代入得$2 ＜ c ＜ 12$。
$\because$c为正整数，要使周长最大需取c的最大值，$\therefore c=11$。
$\therefore$周长最大值为$5+7+11=23$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(x-y)(x-5y)}$；(2) $\boldsymbol{23}$
【知识点】
配方法因式分解，平方的非负性，三角形三边关系
【点评】
本题考查配方法的灵活应用，既涉及因式分解中公式法的运用，又结合了非负数性质与三角形三边关系的考点，解题核心是熟练掌握完全平方公式的结构特征，准确完成配方步骤，能较好地考查学生对知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7