引入 (1)填空:①$2(x - y)=$;②$-2(x - y + 1)=$.
(2)如图,某长方形操场由田径场、篮球场、排球场三部分构成,请计算操场的总面积.
方法一:由长乘宽直接求出操场总面积:;
方法二:先分别求出各部分面积,再求它们的和:;
以上两种方法得到等式:,该等式符合律.

(1) ① $2x-2y$ ② $-2x+2y-2$
(2) 方法一: $m(a+b+c)$
方法二: $ma+mb+mc$
等式: $m(a+b+c) = ma+mb+mc$，符合乘法分配律

【分析】
(1) 对应单项式乘多项式的基础运算，解题思路为遵循单项式乘多项式法则：用单项式依次乘多项式的每一项，再把所有的积相加，运算时要注意符号：若单项式带负号，乘多项式每一项都要对应改变符号。
(2) 对应乘法分配律的几何意义考查：方法一先确定大长方形的长和宽，利用长方形面积=长×宽直接计算总面积；方法二先分别计算三个小长方形的面积，求和得到总面积，两个结果相等，恰好对应乘法分配律的表达形式。
【解析】
(1) ①根据单项式乘多项式法则计算：
$2(x-y)=2· x - 2· y=2x-2y$
②同理计算，注意负号的运算：
$-2(x-y+1)=-2· x + (-2)· (-y) + (-2)· 1=-2x+2y-2$
(2) 方法一：大长方形的长为三个区域的长度和$a+b+c$，宽为$m$，根据长方形面积公式可得总面积为$m(a+b+c)$；
方法二：田径场面积为$ma$，篮球场面积为$mb$，排球场面积为$mc$，三部分面积相加得总面积为$ma+mb+mc$；
两种方法计算的是同一个操场的总面积，因此可得等式$m(a+b+c)=ma+mb+mc$，该等式符合乘法分配律。
【答案】
(1) ①$\boxed{2x-2y}$；②$\boxed{-2x+2y-2}$
(2) 方法一：$\boxed{m(a+b+c)}$；方法二：$\boxed{ma+mb+mc}$；等式：$\boxed{m(a+b+c)=ma+mb+mc}$，符合$\boxed{乘法分配}$律
【知识点】
单项式乘多项式运算，乘法分配律，长方形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，既考查了单项式乘多项式的基本运算规则，也通过几何图形直观呈现了乘法分配律的含义，能帮助学生理解代数运算和几何意义的关联。
【难度系数】
0.9

归纳 单项式乘多项式法则:一般地,单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘的每一项,再把所得的积相,即$m(a+b+c)=$。

单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即$m(a+b+c)=ma+mb+mc$

【分析】
解题时可以结合已学的乘法分配律推导法则内容：我们之前学习过有理数的乘法分配律，单项式乘多项式本质就是乘法分配律在整式运算中的拓展。思考步骤如下：①首先明确运算对象是单项式和多项式，需要用单项式去乘多项式的所有项，不能漏乘；②每一项相乘时遵循单项式乘单项式的运算规则；③最后将所有乘得的结果相加，再对应写出字母形式的公式即可。
【解析】
根据单项式乘多项式的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。结合乘法分配律对公式展开可得：$m(a+b+c)=ma+mb+mc$。
【答案】
多项式；加；$ma+mb+mc$
【知识点】
单项式乘多项式法则；乘法分配律；整式乘法运算
【点评】
本题是基础概念识记类题目，主要考查对单项式乘多项式运算法则的掌握，该法则是后续整式混合运算、因式分解等内容的重要基础，学习时要注意结合乘法分配律理解记忆，避免运算时漏乘多项式的项。
【难度系数】
0.9

1.【例1】计算：
(1)$2x(3x - 1) =$ ；
(2)$(4x + 1)(-2x) =$ ；
(3)$-3a^2(3a - b) =$ .
2.（人教八上$\mathrm{P}_{106}$练习$\mathrm{T}_{2}$改编）计算：
(1)$2a(5a + 3b) =$ ；
(2)$(5x - x^2)(-4x) =$ ；
(3)$(-2a^2)(3a - b + 1) =$ .

1. (1) $6x^2-2x$ (2) $-8x^2-2x$ (3) $-9a^3+3a^2b$
2. (1) $10a^2+6ab$ (2) $-20x^2+4x^3$ (3) $-6a^3+2a^2b-2a^2$

【分析】
这组题目考查单项式乘多项式的运算，解题思路遵循单项式乘多项式法则：利用乘法分配律，用单项式去乘多项式的每一项，再把所有的积相加。运算时需注意两点：一是要关注多项式每一项的符号，单项式与项相乘时同号得正、异号得负；二是单项式与单项式相乘时，遵循同底数幂相乘“底数不变，指数相加”的规则，不要漏乘多项式的任意一项。
【解析】
第1题
(1) 根据单项式乘多项式法则：
$2x(3x-1)=2x·3x + 2x·(-1)=6x^2 - 2x$
(2) 同理：
$(4x+1)(-2x)=4x·(-2x) + 1·(-2x)=-8x^2 - 2x$
(3) 同理：
$-3a^2(3a - b)=-3a^2·3a + (-3a^2)·(-b)=-9a^3 + 3a^2b$
第2题
(1) $2a(5a+3b)=2a·5a + 2a·3b=10a^2 + 6ab$
(2) $(5x - x^2)(-4x)=5x·(-4x) + (-x^2)·(-4x)=-20x^2 + 4x^3$
(3) $(-2a^2)(3a - b + 1)=(-2a^2)·3a + (-2a^2)·(-b) + (-2a^2)·1=-6a^3 + 2a^2b - 2a^2$
【答案】
1. (1) $6x^2-2x$ (2) $-8x^2-2x$ (3) $-9a^3+3a^2b$
2. (1) $10a^2+6ab$ (2) $-20x^2+4x^3$ (3) $-6a^3+2a^2b-2a^2$
【知识点】
单项式乘多项式，同底数幂的乘法，整式运算
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，重点考查单项式乘多项式的运算法则，易错点为运算时忽略多项式项的符号、漏乘多项式的项，熟练掌握该运算为后续学习复杂整式乘法打下基础，需通过练习提升运算的准确率和速度。
【难度系数】
0.8

3.【例2】计算:(1)$(-3xy)^2 · (x - 2y)$；
(2)$(\frac{1}{4}m^2 -5m -3) · (-2m)^2$.
4.计算:(1)$(-2xy^2)^3 · (\frac{3}{2}xy + \frac{1}{4}y^2)$；
(2)$c(a + b) - a(b - c) + b(c - a)$.

3. (1) 解:原式 $=9x^2y^2 · (x - 2y)$
$=9x^2y^2 · x + 9x^2y^2 · (-2y) =9x^3y^2 -18x^2y^3$.
(2) 解:原式 $= ( \frac{1}{4}m^2 -5m -3 ) · 4m^2$
$=\frac{1}{4}m^2 · 4m^2 + (-5m) · 4m^2 + (-3) · 4m^2$
$=m^4 -20m^3 -12m^2$.
4. (1) 解:原式 $= -8x^3y^6 · ( \frac{3}{2}xy + \frac{1}{4}y^2 )$
$= -8x^3y^6 · ( \frac{3}{2}xy ) + (-8x^3y^6) · ( \frac{1}{4}y^2 )$
$= -12x^4y^7 -2x^3y^8$.
(2) 解:原式 $=ac + bc + (-a)b + (-a)(-c) + bc + b(-a)$
$=ac + bc -ab + ac + bc -ab =2ac + 2bc -2ab$.

【分析】
解决这类整式运算题遵循“先乘方、再乘法、最后合并同类项”的顺序：第一步先根据积的乘方法则化简单项式部分，即把积的每个因式分别乘方，再将所得的幂相乘；第二步运用单项式乘多项式法则，用化简后的单项式依次乘多项式的每一项，注意不要漏乘项，同时要准确判断每一项乘积的符号；第三步合并同类项得到最简结果，计算时要牢记同底数幂相乘，底数不变、指数相加，避免指数运算错误。
【解析】
3. (1) 先计算积的乘方：$(-3xy)^2=(-3)^2x^2y^2=9x^2y^2$，再用单项式乘多项式：
原式 $=9x^2y^2 · (x - 2y)$
$=9x^2y^2 · x + 9x^2y^2 · (-2y) =9x^3y^2 -18x^2y^3$
(2) 先计算积的乘方：$(-2m)^2=(-2)^2m^2=4m^2$，再用单项式乘多项式：
原式 $= ( \frac{1}{4}m^2 -5m -3 ) · 4m^2$
$=\frac{1}{4}m^2 · 4m^2 + (-5m) · 4m^2 + (-3) · 4m^2$
$=m^4 -20m^3 -12m^2$
4. (1) 先计算积的乘方：$(-2xy^2)^3=(-2)^3x^3(y^2)^3=-8x^3y^6$，再用单项式乘多项式：
原式 $= -8x^3y^6 · ( \frac{3}{2}xy + \frac{1}{4}y^2 )$
$= -8x^3y^6 · ( \frac{3}{2}xy ) + (-8x^3y^6) · ( \frac{1}{4}y^2 )$
$= -12x^4y^7 -2x^3y^8$
(2) 先去括号，运用单项式乘多项式法则展开每一项，再合并同类项：
原式 $=ac + bc + (-a)b + (-a)(-c) + bc + b(-a)$
$=ac + bc -ab + ac + bc -ab =2ac + 2bc -2ab$
【答案】
3. (1) $9x^3y^2 - 18x^2y^3$；(2) $m^4 - 20m^3 - 12m^2$
4. (1) $-12x^4y^7 - 2x^3y^8$；(2) $2ac + 2bc - 2ab$
【知识点】
积的乘方运算、单项式乘多项式、整式的加减
【点评】
这是整式乘法的基础常规题，主要考查幂的运算法则和单项式乘多项式法则的应用，计算时要重点注意符号判断、指数运算，避免漏乘多项式的项，熟练掌握基础运算法则是解题的核心。
【难度系数】
0.7

5.【例3】(人教八上$\mathrm{P}_{106}$练习$\mathrm{T}_{4}$改编)先化简；再求值：$x^2(5x+1)-x(x^2+x-3)$，其中$x=\frac{1}{2}$.

5. 解:原式 $=5x^3 +x^2 -x^3 -x^2 +3x =4x^3 +3x$.
当 $x=\frac{1}{2}$ 时,原式 $=4 × ( \frac{1}{2} )^3 +3 × \frac{1}{2} =\frac{1}{2} + \frac{3}{2} =2$.

【分析】
本题属于整式化简求值类题目，解题思路分为三步：第一步，根据单项式乘多项式的法则去掉原式中的括号，注意括号前是负号时，去括号后括号内每一项都要变号；第二步，对去括号后的式子合并同类项，得到最简整式；第三步，将已知的x的值代入最简整式中，计算得到最终结果。
【解析】
解：先利用单项式乘多项式法则展开式子：
原式$=5x^3 +x^2 -x^3 -x^2 +3x$
合并同类项化简：
$=(5x^3 -x^3)+(x^2 -x^2)+3x$
$=4x^3 +3x$
将$x=\frac{1}{2}$代入化简后的式子：
原式$=4 × ( \frac{1}{2} )^3 +3 × \frac{1}{2}$
$=4×\frac{1}{8}+\frac{3}{2}$
$=\frac{1}{2} + \frac{3}{2}$
$=2$
【答案】
$2$
【知识点】
单项式乘多项式，合并同类项，代数式求值
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心考查单项式乘多项式的运算法则，解题时需注意去括号的符号问题，熟练掌握运算法则就能顺利求解，是整式运算部分的常规考题。
【难度系数】
0.8