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1.因式分解的概念
把一个多项式化成几个整式的的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。因式分解与是方向相反的变形。
2.提公因式法
(1)公因式:多项式的都含有的的因式。
(2)提公因式法:一般地,如果多项式的各项有,可以把这个提取出来,将多项式写成公因式与另一个因式的的形式,这种分解因式的方法叫作提公因式法。
把一个多项式化成几个整式的的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。因式分解与是方向相反的变形。
2.提公因式法
(1)公因式:多项式的都含有的的因式。
(2)提公因式法:一般地,如果多项式的各项有,可以把这个提取出来,将多项式写成公因式与另一个因式的的形式,这种分解因式的方法叫作提公因式法。
答案
解：
1. 积；整式乘法
2. (1) 各项；相同
(2) 公因式；公因式；乘积
1. 积；整式乘法
2. (1) 各项；相同
(2) 公因式；公因式；乘积
解析
【分析】
本题考查因式分解及提公因式法的基础概念，解题时结合课本对应定义内容逐一填写即可。首先回忆因式分解的核心特征：变形结果是几个整式相乘的形式，它和整式乘法是互逆的变形过程；再回忆公因式的定义：是多项式每一项都共同含有的相同因式；提公因式法的操作就是把各项的公因式提取出来，将原式写成公因式与剩余因式相乘的形式。
【解析】
1. 根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子变形叫作多项式的因式分解，因式分解与整式乘法是方向相反的变形，因此两个空依次填“积”“整式乘法”。
2. (1) 根据公因式的定义：多项式的各项都含有的相同的因式叫做公因式，因此两个空依次填“各项”“相同”。
(2) 根据提公因式法的定义：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法，因此三个空依次填“公因式”“公因式”“乘积”。
【答案】
1. 积；整式乘法
2. (1) 各项；相同
(2) 公因式；公因式；乘积
【知识点】
因式分解的定义，公因式的概念，提公因式法
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，重点考察对因式分解相关基础定义的掌握，熟记课本相关概念即可快速准确作答。
【难度系数】
0.9
本题考查因式分解及提公因式法的基础概念，解题时结合课本对应定义内容逐一填写即可。首先回忆因式分解的核心特征：变形结果是几个整式相乘的形式，它和整式乘法是互逆的变形过程；再回忆公因式的定义：是多项式每一项都共同含有的相同因式；提公因式法的操作就是把各项的公因式提取出来，将原式写成公因式与剩余因式相乘的形式。
【解析】
1. 根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子变形叫作多项式的因式分解，因式分解与整式乘法是方向相反的变形，因此两个空依次填“积”“整式乘法”。
2. (1) 根据公因式的定义：多项式的各项都含有的相同的因式叫做公因式，因此两个空依次填“各项”“相同”。
(2) 根据提公因式法的定义：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法，因此三个空依次填“公因式”“公因式”“乘积”。
【答案】
1. 积；整式乘法
2. (1) 各项；相同
(2) 公因式；公因式；乘积
【知识点】
因式分解的定义，公因式的概念，提公因式法
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，重点考察对因式分解相关基础定义的掌握，熟记课本相关概念即可快速准确作答。
【难度系数】
0.9
【例1】下列各式从左到右的变形是因式分解的是().
A.$(y-1)(y+1)=y^2 -1$
B.$x^2y + xy^2 = xy(x+y) -1$
C.$(x-2)(x-3)=(3-x)(2-x)$
D.$x^2 -4x +4=(x-2)^2$
A.$(y-1)(y+1)=y^2 -1$
B.$x^2y + xy^2 = xy(x+y) -1$
C.$(x-2)(x-3)=(3-x)(2-x)$
D.$x^2 -4x +4=(x-2)^2$
答案
D
解析
【分析】
解题的核心是牢记因式分解的定义，判断变形是否为因式分解需同时满足3个条件：①等式左边是多项式；②等式右边是若干个整式的乘积形式，不能含有加减运算；③等式左右两边恒等。我们只需对照这3个条件逐一排查选项即可。
【解析】
首先明确因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这类变形叫做因式分解。
选项A：左边是两个整式的乘积，右边是多项式，属于整式乘法运算，是因式分解的逆过程，不属于因式分解；
选项B：右边为$xy(x+y)-1$，含有减法运算，不是几个整式乘积的形式，不符合要求；
选项C：左右两边均为整式乘积的形式，仅对左边的两个因式同时提取负号得到右边，没有对多项式进行分解，不属于因式分解；
选项D：左边是多项式$x^2-4x+4$，右边$(x-2)^2$是两个相同整式$(x-2)$的乘积，且左右两边恒等，完全符合因式分解的定义。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的定义、整式乘法运算
【点评】
本题是因式分解的基础概念考查题，易错点是容易混淆因式分解和整式乘法，或忽略右边必须为纯乘积的要求，解题时紧扣定义即可快速判断。
【难度系数】
0.8
解题的核心是牢记因式分解的定义，判断变形是否为因式分解需同时满足3个条件：①等式左边是多项式；②等式右边是若干个整式的乘积形式，不能含有加减运算；③等式左右两边恒等。我们只需对照这3个条件逐一排查选项即可。
【解析】
首先明确因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这类变形叫做因式分解。
选项A：左边是两个整式的乘积，右边是多项式，属于整式乘法运算，是因式分解的逆过程，不属于因式分解；
选项B：右边为$xy(x+y)-1$，含有减法运算，不是几个整式乘积的形式，不符合要求；
选项C：左右两边均为整式乘积的形式，仅对左边的两个因式同时提取负号得到右边，没有对多项式进行分解，不属于因式分解；
选项D：左边是多项式$x^2-4x+4$，右边$(x-2)^2$是两个相同整式$(x-2)$的乘积，且左右两边恒等，完全符合因式分解的定义。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的定义、整式乘法运算
【点评】
本题是因式分解的基础概念考查题，易错点是容易混淆因式分解和整式乘法，或忽略右边必须为纯乘积的要求，解题时紧扣定义即可快速判断。
【难度系数】
0.8
【变式1】对于①$x-3xy=x(1-3y)$，②$(x+3)(x-1)=x^2+2x-3$，从左到右的变形，表述正确的是（）。
A.都是因式分解
B.都是乘法运算
C.①是乘法运算，②是因式分解
D.①是因式分解，②是乘法运算
A.都是因式分解
B.都是乘法运算
C.①是乘法运算，②是因式分解
D.①是因式分解，②是乘法运算
答案
D
解析
【分析】
解题的核心是先明确因式分解和整式乘法的概念差异：因式分解是将多项式（和差形式）转化为几个整式的积的形式，即“和差化积”；整式乘法是将几个整式相乘的形式展开为多项式（和差形式），即“积化和差”。接下来分别判断两个式子的变形特征：首先看①的左右形式，再看②的左右形式，最后匹配选项得出答案。
【解析】
首先明确两个概念：
1. 因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的变形；
2. 整式乘法：把几个整式相乘，化简为一个多项式的运算。
对式子①判断：左边$x-3xy$是多项式（和差形式），右边$x(1-3y)$是两个整式的乘积，因此从左到右的变形属于因式分解。
对式子②判断：左边$(x+3)(x-1)$是两个整式相乘的形式，右边$x^2+2x-3$是多项式（和差形式），因此从左到右的变形属于整式乘法运算。
综上，①是因式分解，②是乘法运算，对应选项D正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 因式分解的定义
2. 整式乘法的概念
【点评】
本题是基础概念辨析题，核心考查因式分解与整式乘法的变形差异，只要抓住两种变形的形式特征（和差化积/积化和差）即可快速判断，是对基础概念掌握程度的常规考查。
【难度系数】
0.85
解题的核心是先明确因式分解和整式乘法的概念差异：因式分解是将多项式（和差形式）转化为几个整式的积的形式，即“和差化积”；整式乘法是将几个整式相乘的形式展开为多项式（和差形式），即“积化和差”。接下来分别判断两个式子的变形特征：首先看①的左右形式，再看②的左右形式，最后匹配选项得出答案。
【解析】
首先明确两个概念：
1. 因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的变形；
2. 整式乘法：把几个整式相乘，化简为一个多项式的运算。
对式子①判断：左边$x-3xy$是多项式（和差形式），右边$x(1-3y)$是两个整式的乘积，因此从左到右的变形属于因式分解。
对式子②判断：左边$(x+3)(x-1)$是两个整式相乘的形式，右边$x^2+2x-3$是多项式（和差形式），因此从左到右的变形属于整式乘法运算。
综上，①是因式分解，②是乘法运算，对应选项D正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 因式分解的定义
2. 整式乘法的概念
【点评】
本题是基础概念辨析题，核心考查因式分解与整式乘法的变形差异，只要抓住两种变形的形式特征（和差化积/积化和差）即可快速判断，是对基础概念掌握程度的常规考查。
【难度系数】
0.85
【例2】多项式$a^2 - 2a$的公因式是（）.
A.$a$
B.$a^2$
C.$2a$
D.$-2a$
【变式2】多项式$x^3 + 12xy$的公因式是.
A.$a$
B.$a^2$
C.$2a$
D.$-2a$
【变式2】多项式$x^3 + 12xy$的公因式是.
答案
A；$x$
解析
【分析】
要确定多项式的公因式，需遵循三个步骤：①定系数：找出多项式各项系数的最大公约数；②定字母：找出各项都含有的相同字母；③定指数：找出相同字母的最低次幂，三者组合得到的就是公因式。
针对例2：先拆分多项式$a^2 - 2a$的两项为$a^2$和$-2a$，按上述步骤判断即可选出正确选项；针对变式2：拆分多项式$x^3 + 12xy$的两项为$x^3$和$12xy$，按相同步骤计算即可得到公因式。
【解析】
例2解析：
多项式$a^2 - 2a$的两项分别为$a^2$、$-2a$：
1. 系数部分：1和-2的最大公约数是1；
2. 公共字母：两项都含有的字母是$a$；
3. 最低次幂：$a$的最低次幂是1次；
因此公因式为$a$，对应选项A。
变式2解析：
多项式$x^3 + 12xy$的两项分别为$x^3$、$12xy$：
1. 系数部分：1和12的最大公约数是1；
2. 公共字母：两项都含有的字母是$x$（$y$仅第二项有，不属于公共字母）；
3. 最低次幂：$x$的最低次幂是1次；
因此公因式为$x$。
【答案】
A；$x$
【知识点】
公因式的确定方法
【点评】
本题属于公因式判定的基础题，核心是熟练掌握公因式的三步确定法，该内容是后续学习提公因式法因式分解的重要基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.9
要确定多项式的公因式，需遵循三个步骤：①定系数：找出多项式各项系数的最大公约数；②定字母：找出各项都含有的相同字母；③定指数：找出相同字母的最低次幂，三者组合得到的就是公因式。
针对例2：先拆分多项式$a^2 - 2a$的两项为$a^2$和$-2a$，按上述步骤判断即可选出正确选项；针对变式2：拆分多项式$x^3 + 12xy$的两项为$x^3$和$12xy$，按相同步骤计算即可得到公因式。
【解析】
例2解析：
多项式$a^2 - 2a$的两项分别为$a^2$、$-2a$：
1. 系数部分：1和-2的最大公约数是1；
2. 公共字母：两项都含有的字母是$a$；
3. 最低次幂：$a$的最低次幂是1次；
因此公因式为$a$，对应选项A。
变式2解析：
多项式$x^3 + 12xy$的两项分别为$x^3$、$12xy$：
1. 系数部分：1和12的最大公约数是1；
2. 公共字母：两项都含有的字母是$x$（$y$仅第二项有，不属于公共字母）；
3. 最低次幂：$x$的最低次幂是1次；
因此公因式为$x$。
【答案】
A；$x$
【知识点】
公因式的确定方法
【点评】
本题属于公因式判定的基础题，核心是熟练掌握公因式的三步确定法，该内容是后续学习提公因式法因式分解的重要基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.9
【例3】分解因式：
(1)$x^2 - x =$;
(2)$x^2 + 3x =$;
(3)$m^2 -5m =$.
【变式3】分解因式：
(1)$3mn + m =$;
(2)$a^2 -ab =$;
(3)$-mn + m^2 =$.
(1)$x^2 - x =$;
(2)$x^2 + 3x =$;
(3)$m^2 -5m =$.
【变式3】分解因式：
(1)$3mn + m =$;
(2)$a^2 -ab =$;
(3)$-mn + m^2 =$.
答案
解：
【例3】
(1) 多项式各项的公因式为$x$，提取公因式得：
$x^2 - x = \boldsymbol{x(x-1)}$
(2) 多项式各项的公因式为$x$，提取公因式得：
$x^2 + 3x = \boldsymbol{x(x+3)}$
(3) 多项式各项的公因式为$m$，提取公因式得：
$m^2 -5m = \boldsymbol{m(m-5)}$
【变式3】
(1) 多项式各项的公因式为$m$，提取公因式得：
$3mn + m = \boldsymbol{m(3n+1)}$
(2) 多项式各项的公因式为$a$，提取公因式得：
$a^2 -ab = \boldsymbol{a(a-b)}$
(3) 多项式各项的公因式为$m$，提取公因式得：
$-mn + m^2 = \boldsymbol{m(m-n)}$
【例3】
(1) 多项式各项的公因式为$x$，提取公因式得：
$x^2 - x = \boldsymbol{x(x-1)}$
(2) 多项式各项的公因式为$x$，提取公因式得：
$x^2 + 3x = \boldsymbol{x(x+3)}$
(3) 多项式各项的公因式为$m$，提取公因式得：
$m^2 -5m = \boldsymbol{m(m-5)}$
【变式3】
(1) 多项式各项的公因式为$m$，提取公因式得：
$3mn + m = \boldsymbol{m(3n+1)}$
(2) 多项式各项的公因式为$a$，提取公因式得：
$a^2 -ab = \boldsymbol{a(a-b)}$
(3) 多项式各项的公因式为$m$，提取公因式得：
$-mn + m^2 = \boldsymbol{m(m-n)}$
解析
【分析】
这组题目均考查提公因式法分解因式，解题可按两步开展：第一步先确定多项式各项的公因式，公因式是各项系数的最大公约数与各项都含有的相同字母最低次幂的乘积；第二步提取公因式，将原多项式写成公因式乘剩余多项式的形式即可，注意若某一项恰好等于公因式，提取后该项剩余1，不可漏写。
【解析】
【例3】
(1) 多项式$x^2 - x$各项的公因式为$x$，提取公因式得：
$x^2 - x = x· x - x·1 = x(x-1)$
(2) 多项式$x^2 + 3x$各项的公因式为$x$，提取公因式得：
$x^2 + 3x = x· x + x·3 = x(x+3)$
(3) 多项式$m^2 -5m$各项的公因式为$m$，提取公因式得：
$m^2 -5m = m· m - m·5 = m(m-5)$
【变式3】
(1) 多项式$3mn + m$各项的公因式为$m$，提取公因式得：
$3mn + m = m·3n + m·1 = m(3n+1)$
(2) 多项式$a^2 -ab$各项的公因式为$a$，提取公因式得：
$a^2 -ab = a· a - a· b = a(a-b)$
(3) 多项式$-mn + m^2$各项的公因式为$m$，提取公因式得：
$-mn + m^2 = m·(-n) + m· m = m(m-n)$
【答案】
例3：(1)$x(x-1)$；(2)$x(x+3)$；(3)$m(m-5)$
变式3：(1)$m(3n+1)$；(2)$a(a-b)$；(3)$m(m-n)$
【知识点】
1.提公因式法分解因式 2.公因式的确定
【点评】
本组是提公因式法分解因式的基础训练题，熟练掌握公因式的查找方法是解题核心，提取公因式时需注意不要漏写项，尤其当某一项与公因式完全相同时，提取后剩余的1不能省略。
【难度系数】
0.85
这组题目均考查提公因式法分解因式，解题可按两步开展：第一步先确定多项式各项的公因式，公因式是各项系数的最大公约数与各项都含有的相同字母最低次幂的乘积；第二步提取公因式，将原多项式写成公因式乘剩余多项式的形式即可，注意若某一项恰好等于公因式，提取后该项剩余1，不可漏写。
【解析】
【例3】
(1) 多项式$x^2 - x$各项的公因式为$x$，提取公因式得：
$x^2 - x = x· x - x·1 = x(x-1)$
(2) 多项式$x^2 + 3x$各项的公因式为$x$，提取公因式得：
$x^2 + 3x = x· x + x·3 = x(x+3)$
(3) 多项式$m^2 -5m$各项的公因式为$m$，提取公因式得：
$m^2 -5m = m· m - m·5 = m(m-5)$
【变式3】
(1) 多项式$3mn + m$各项的公因式为$m$，提取公因式得：
$3mn + m = m·3n + m·1 = m(3n+1)$
(2) 多项式$a^2 -ab$各项的公因式为$a$，提取公因式得：
$a^2 -ab = a· a - a· b = a(a-b)$
(3) 多项式$-mn + m^2$各项的公因式为$m$，提取公因式得：
$-mn + m^2 = m·(-n) + m· m = m(m-n)$
【答案】
例3：(1)$x(x-1)$；(2)$x(x+3)$；(3)$m(m-5)$
变式3：(1)$m(3n+1)$；(2)$a(a-b)$；(3)$m(m-n)$
【知识点】
1.提公因式法分解因式 2.公因式的确定
【点评】
本组是提公因式法分解因式的基础训练题，熟练掌握公因式的查找方法是解题核心，提取公因式时需注意不要漏写项，尤其当某一项与公因式完全相同时，提取后剩余的1不能省略。
【难度系数】
0.85
1. 下列变形中,是因式分解的是().
A.$(x+2)(x-2)=x^2 -4$
B.$x^2 -1 = x(x - \frac{1}{x})$
C.$a^2 -2a +1 = (a-1)^2$
D.$x^2 -2x -6 = x(x-2)-6$
A.$(x+2)(x-2)=x^2 -4$
B.$x^2 -1 = x(x - \frac{1}{x})$
C.$a^2 -2a +1 = (a-1)^2$
D.$x^2 -2x -6 = x(x-2)-6$
答案
C
解析
【分析】
要判断是否为因式分解，首先需明确因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，判断时需紧扣三个核心要点：①变形的对象是多项式；②最终变形结果是几个整式的乘积；③变形前后等式两边值相等。接下来只需逐一核对每个选项是否满足以上要点即可得出答案。
【解析】
我们结合因式分解的定义逐一分析选项：
A选项：等号左侧是两个整式的乘积，右侧是展开后的多项式，属于整式乘法运算，是因式分解的逆运算，不属于因式分解，故A错误；
B选项：等号右侧的因式$\frac{1}{x}$分母含有字母，不属于整式，不符合因式分解的因式必须为整式的要求，故B错误；
C选项：等号左侧是多项式$a^2-2a+1$，右侧是整式$(a-1)$的平方（即两个整式$(a-1)$相乘的形式），且等式左右两边相等，完全符合因式分解的定义，故C正确；
D选项：等号右侧$x(x-2)-6$是整式乘积与常数的和，最终结果不是几个整式的乘积形式，不符合因式分解的要求，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
因式分解的定义；整式的识别；整式乘法运算
【点评】
本题是因式分解的基础概念题，主要考查对因式分解定义的掌握程度，抓住“结果为若干个整式的乘积”这一核心特征即可快速解题，是学习后续因式分解方法的必备基础。
【难度系数】
0.8
要判断是否为因式分解，首先需明确因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，判断时需紧扣三个核心要点：①变形的对象是多项式；②最终变形结果是几个整式的乘积；③变形前后等式两边值相等。接下来只需逐一核对每个选项是否满足以上要点即可得出答案。
【解析】
我们结合因式分解的定义逐一分析选项：
A选项：等号左侧是两个整式的乘积，右侧是展开后的多项式，属于整式乘法运算，是因式分解的逆运算，不属于因式分解，故A错误；
B选项：等号右侧的因式$\frac{1}{x}$分母含有字母，不属于整式，不符合因式分解的因式必须为整式的要求，故B错误；
C选项：等号左侧是多项式$a^2-2a+1$，右侧是整式$(a-1)$的平方（即两个整式$(a-1)$相乘的形式），且等式左右两边相等，完全符合因式分解的定义，故C正确；
D选项：等号右侧$x(x-2)-6$是整式乘积与常数的和，最终结果不是几个整式的乘积形式，不符合因式分解的要求，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
因式分解的定义；整式的识别；整式乘法运算
【点评】
本题是因式分解的基础概念题，主要考查对因式分解定义的掌握程度，抓住“结果为若干个整式的乘积”这一核心特征即可快速解题，是学习后续因式分解方法的必备基础。
【难度系数】
0.8
