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2. 多项式$a^2+3ab$的公因式是（）.
A.$a$
B.$a^2$
C.$3a$
D.$ab$
A.$a$
B.$a^2$
C.$3a$
D.$ab$
答案
A
解析
【分析】
要确定多项式的公因式，需按照两步法思考：第一步找各项系数的最大公约数，第二步找各项都含有的相同字母的最低次幂，二者的乘积就是公因式。首先观察多项式$a^2+3ab$的两项，系数分别为1和3，最大公约数是1；字母部分两项都含有的字母是$a$，$a$的最低次幂是1次，字母$b$仅在第二项出现，不属于公共字母，因此公因式为$1× a=a$。
【解析】
解：将多项式的两项分别分解因式：
第一项：$a^2=a· a$
第二项：$3ab=3· a· b$
两项都含有的公共因式为$a$，因此该多项式的公因式是$a$。
故选：A
【答案】
A
【知识点】
公因式的确定；提公因式法
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查公因式的识别方法，掌握“先定系数最大公约数、再定相同字母最低次幂”的找公因式步骤，就能快速解题。
【难度系数】
0.9
要确定多项式的公因式，需按照两步法思考：第一步找各项系数的最大公约数，第二步找各项都含有的相同字母的最低次幂，二者的乘积就是公因式。首先观察多项式$a^2+3ab$的两项，系数分别为1和3，最大公约数是1；字母部分两项都含有的字母是$a$，$a$的最低次幂是1次，字母$b$仅在第二项出现，不属于公共字母，因此公因式为$1× a=a$。
【解析】
解：将多项式的两项分别分解因式：
第一项：$a^2=a· a$
第二项：$3ab=3· a· b$
两项都含有的公共因式为$a$，因此该多项式的公因式是$a$。
故选：A
【答案】
A
【知识点】
公因式的确定；提公因式法
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查公因式的识别方法，掌握“先定系数最大公约数、再定相同字母最低次幂”的找公因式步骤，就能快速解题。
【难度系数】
0.9
3. 分解因式:$12abc-3bc^{2}=$ .
答案
$\boldsymbol{3bc(4a - c)}$
解析
【分析】
这是一道用提公因式法分解因式的基础题，解题思路如下：首先观察多项式的两项，判断是否存在公因式，确定用提公因式法求解；第一步先确定公因式：先找系数的最大公约数，12和3的最大公约数是3，再找两项都含有的相同字母为b、c，相同字母取最低次幂，b的次数都是1，c的最低次数是1，因此公因式为3bc；第二步提取公因式，将多项式每一项都除以公因式，把所得的商作为另一个因式，和公因式写成乘积形式即可。
【解析】
解：首先确定多项式$12abc-3bc^2$各项的公因式为$3bc$，对原式提取公因式：
$12abc-3bc^2$
$=3bc· 4a - 3bc· c$
$=3bc(4a - c)$
【答案】
$\boldsymbol{3bc(4a - c)}$
【知识点】
提公因式法分解因式，公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查提公因式法的应用，解题关键是准确确定公因式，提取公因式后要注意检查剩余项的运算是否正确，避免出现漏项、符号错误等问题。
【难度系数】
0.9
这是一道用提公因式法分解因式的基础题，解题思路如下：首先观察多项式的两项，判断是否存在公因式，确定用提公因式法求解；第一步先确定公因式：先找系数的最大公约数，12和3的最大公约数是3，再找两项都含有的相同字母为b、c，相同字母取最低次幂，b的次数都是1，c的最低次数是1，因此公因式为3bc；第二步提取公因式，将多项式每一项都除以公因式，把所得的商作为另一个因式，和公因式写成乘积形式即可。
【解析】
解：首先确定多项式$12abc-3bc^2$各项的公因式为$3bc$，对原式提取公因式：
$12abc-3bc^2$
$=3bc· 4a - 3bc· c$
$=3bc(4a - c)$
【答案】
$\boldsymbol{3bc(4a - c)}$
【知识点】
提公因式法分解因式，公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查提公因式法的应用，解题关键是准确确定公因式，提取公因式后要注意检查剩余项的运算是否正确，避免出现漏项、符号错误等问题。
【难度系数】
0.9
4.计算:4.3×202.6+7.6×202.6-1.9×202.6=.
答案
解：
原式$=202.6×(4.3 + 7.6 - 1.9)$
$=202.6×10$
$=2026$
原式$=202.6×(4.3 + 7.6 - 1.9)$
$=202.6×10$
$=2026$
解析
【分析】
观察算式可知，三个乘法项中都含有相同的因数202.6，可利用提公因式法（乘法分配律的逆运算）简化计算。解题思路为：第一步提取公共因数202.6，将剩余的系数放在括号内做加减运算；第二步计算括号内的加减结果；第三步用公因数乘括号内的结果得到最终答案，避免逐一计算乘法再加减的繁琐步骤，减少计算错误。
【解析】
解：
原式$=202.6×(4.3 + 7.6 - 1.9)$
$=202.6×10$
$=2026$
【答案】
2026
【知识点】
提公因式法、乘法分配律逆用、有理数简便运算
【点评】
本题是简便运算的典型题型，解题核心是快速识别出各项共有的公因式，通过提取公因式将复杂的混合运算简化，有效降低计算量，减少出错概率。
【难度系数】
0.9
观察算式可知，三个乘法项中都含有相同的因数202.6，可利用提公因式法（乘法分配律的逆运算）简化计算。解题思路为：第一步提取公共因数202.6，将剩余的系数放在括号内做加减运算；第二步计算括号内的加减结果；第三步用公因数乘括号内的结果得到最终答案，避免逐一计算乘法再加减的繁琐步骤，减少计算错误。
【解析】
解：
原式$=202.6×(4.3 + 7.6 - 1.9)$
$=202.6×10$
$=2026$
【答案】
2026
【知识点】
提公因式法、乘法分配律逆用、有理数简便运算
【点评】
本题是简便运算的典型题型，解题核心是快速识别出各项共有的公因式，通过提取公因式将复杂的混合运算简化，有效降低计算量，减少出错概率。
【难度系数】
0.9
5. 分解因式:
(1) $x^2 - 4x$; (2) $x^2 + xy$;
(3) $a^2 + ab + 2a$; (4) $x^2y - 5xy + 2y$.
(1) $x^2 - 4x$; (2) $x^2 + xy$;
(3) $a^2 + ab + 2a$; (4) $x^2y - 5xy + 2y$.
答案
解：
(1) $x^2 - 4x = x(x - 4)$
(2) $x^2 + xy = x(x + y)$
(3) $a^2 + ab + 2a = a(a + b + 2)$
(4) $x^2y - 5xy + 2y = y(x^2 - 5x + 2)$
(1) $x^2 - 4x = x(x - 4)$
(2) $x^2 + xy = x(x + y)$
(3) $a^2 + ab + 2a = a(a + b + 2)$
(4) $x^2y - 5xy + 2y = y(x^2 - 5x + 2)$
解析
【分析】
这几道题均使用提公因式法分解因式，解题思路为：第一步先确定多项式各项的公因式，公因式由两部分组成：一是各项系数的最大公约数，二是各项都含有的相同字母的最低次幂，二者乘积即为公因式；第二步提取公因式，用原多项式的每一项除以公因式，将得到的商相加后放在括号内即可，注意提取公因式后括号内的项数要和原多项式项数一致，避免漏项。
【解析】
(1) 多项式$x^2 - 4x$的两项都含有公因式$x$，提取$x$后可得：
$x^2 - 4x = x· x - x· 4 = x(x - 4)$
(2) 多项式$x^2 + xy$的两项都含有公因式$x$，提取$x$后可得：
$x^2 + xy = x· x + x· y = x(x + y)$
(3) 多项式$a^2 + ab + 2a$的三项都含有公因式$a$，提取$a$后可得：
$a^2 + ab + 2a = a· a + a· b + a· 2 = a(a + b + 2)$
(4) 多项式$x^2y - 5xy + 2y$的三项都含有公因式$y$，提取$y$后可得：
$x^2y - 5xy + 2y = y· x^2 - y· 5x + y· 2 = y(x^2 - 5x + 2)$
【答案】
(1) $x(x - 4)$；(2) $x(x + y)$；(3) $a(a + b + 2)$；(4) $y(x^2 - 5x + 2)$
【知识点】
提公因式法分解因式，公因式的确定
【点评】
本题是提公因式法分解因式的基础题型，核心考点是公因式的识别，提取公因式时要注意不要漏写常数项，提取后括号内的项数需要和原多项式的项数保持一致。
【难度系数】
0.85
这几道题均使用提公因式法分解因式，解题思路为：第一步先确定多项式各项的公因式，公因式由两部分组成：一是各项系数的最大公约数，二是各项都含有的相同字母的最低次幂，二者乘积即为公因式；第二步提取公因式，用原多项式的每一项除以公因式，将得到的商相加后放在括号内即可，注意提取公因式后括号内的项数要和原多项式项数一致，避免漏项。
【解析】
(1) 多项式$x^2 - 4x$的两项都含有公因式$x$，提取$x$后可得：
$x^2 - 4x = x· x - x· 4 = x(x - 4)$
(2) 多项式$x^2 + xy$的两项都含有公因式$x$，提取$x$后可得：
$x^2 + xy = x· x + x· y = x(x + y)$
(3) 多项式$a^2 + ab + 2a$的三项都含有公因式$a$，提取$a$后可得：
$a^2 + ab + 2a = a· a + a· b + a· 2 = a(a + b + 2)$
(4) 多项式$x^2y - 5xy + 2y$的三项都含有公因式$y$，提取$y$后可得：
$x^2y - 5xy + 2y = y· x^2 - y· 5x + y· 2 = y(x^2 - 5x + 2)$
【答案】
(1) $x(x - 4)$；(2) $x(x + y)$；(3) $a(a + b + 2)$；(4) $y(x^2 - 5x + 2)$
【知识点】
提公因式法分解因式，公因式的确定
【点评】
本题是提公因式法分解因式的基础题型，核心考点是公因式的识别，提取公因式时要注意不要漏写常数项，提取后括号内的项数需要和原多项式的项数保持一致。
【难度系数】
0.85
1. 下列由左边到右边的变形中,是因式分解的是().
A.$(x+1)(x-1)=x^2 -1$
B.$(x-1)^2 =x^2 -2x +1$
C.$2x -2 =2(x-1)$
D.$x^2 -16 +3x =(x+4)(x-4)+3x$
A.$(x+1)(x-1)=x^2 -1$
B.$(x-1)^2 =x^2 -2x +1$
C.$2x -2 =2(x-1)$
D.$x^2 -16 +3x =(x+4)(x-4)+3x$
答案
C
解析
【分析】解题前首先要牢记因式分解的定义：把一个多项式转化为几个整式乘积的形式的变形，叫做因式分解。解题思路为逐个验证选项，判断变形是否满足两个核心特征：一是变形前后式子恒等，二是变形后的结果是几个整式的乘积，同时注意因式分解和整式乘法是互逆过程，整式乘法是从乘积形式转化为和差形式，不要混淆二者。
【解析】我们对每个选项逐一判断：
1. 选项A：左边是$(x+1)(x-1)$，是两个整式的乘积，右边是多项式$x^2-1$，属于整式乘法运算，不是因式分解，排除；
2. 选项B：左边是$(x-1)^2$，是整式的乘方（乘积形式），右边是多项式$x^2-2x+1$，属于整式乘法中的完全平方公式展开，不是因式分解，排除；
3. 选项C：左边是多项式$2x-2$，右边是$2$和$(x-1)$两个整式的乘积，符合因式分解的定义，当选；
4. 选项D：右边是$(x+4)(x-4)+3x$，是乘积与单项式相加的形式，不是几个整式的乘积，不符合因式分解的要求，排除。
【答案】C
【知识点】因式分解的定义、提公因式法
【点评】本题考查因式分解的基础概念，解题关键是抓住因式分解结果为整式乘积这一核心特征，注意区分因式分解与整式乘法的互逆关系，是因式分解章节的基础题型。
【难度系数】0.8
【解析】我们对每个选项逐一判断：
1. 选项A：左边是$(x+1)(x-1)$，是两个整式的乘积，右边是多项式$x^2-1$，属于整式乘法运算，不是因式分解，排除；
2. 选项B：左边是$(x-1)^2$，是整式的乘方（乘积形式），右边是多项式$x^2-2x+1$，属于整式乘法中的完全平方公式展开，不是因式分解，排除；
3. 选项C：左边是多项式$2x-2$，右边是$2$和$(x-1)$两个整式的乘积，符合因式分解的定义，当选；
4. 选项D：右边是$(x+4)(x-4)+3x$，是乘积与单项式相加的形式，不是几个整式的乘积，不符合因式分解的要求，排除。
【答案】C
【知识点】因式分解的定义、提公因式法
【点评】本题考查因式分解的基础概念，解题关键是抓住因式分解结果为整式乘积这一核心特征，注意区分因式分解与整式乘法的互逆关系，是因式分解章节的基础题型。
【难度系数】0.8
2. 若把多项式$ax^2+bx+c$分解因式得$(x-3)(x+2)$，则$a,b,c$的值分别为().
A.$1,-1,6$
B.$1,1,-6$
C.$1,-1,-6$
D.$1,1,6$
A.$1,-1,6$
B.$1,1,-6$
C.$1,-1,-6$
D.$1,1,6$
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确因式分解和整式乘法是互逆的运算。题目已经给出多项式因式分解的结果，我们只需将分解后的两个一次式相乘展开，得到标准的二次三项式，再和原式$ax^2+bx+c$的各项系数一一对应，就能求出$a、b、c$的值。
【解析】
根据多项式乘多项式的运算法则，展开$(x-3)(x+2)$：
$\begin{aligned}(x-3)(x+2)&=x· x + x·2 - 3· x - 3×2\\&=x^2 + 2x - 3x - 6\\&=x^2 - x - 6\end{aligned}$
将展开结果$x^2 - x - 6$与$ax^2+bx+c$对比，对应项系数相等，可得：
$a=1$，$b=-1$，$c=-6$
【答案】
C
【知识点】
1.因式分解的逆运算
2.多项式乘多项式
3.多项式系数对应
【点评】
本题考查因式分解与整式乘法的互逆关系，解题核心是通过整式乘法还原原多项式，再通过系数对应求出未知参数，属于基础题型，熟练掌握多项式乘法运算规则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确因式分解和整式乘法是互逆的运算。题目已经给出多项式因式分解的结果，我们只需将分解后的两个一次式相乘展开，得到标准的二次三项式，再和原式$ax^2+bx+c$的各项系数一一对应，就能求出$a、b、c$的值。
【解析】
根据多项式乘多项式的运算法则，展开$(x-3)(x+2)$：
$\begin{aligned}(x-3)(x+2)&=x· x + x·2 - 3· x - 3×2\\&=x^2 + 2x - 3x - 6\\&=x^2 - x - 6\end{aligned}$
将展开结果$x^2 - x - 6$与$ax^2+bx+c$对比，对应项系数相等，可得：
$a=1$，$b=-1$，$c=-6$
【答案】
C
【知识点】
1.因式分解的逆运算
2.多项式乘多项式
3.多项式系数对应
【点评】
本题考查因式分解与整式乘法的互逆关系，解题核心是通过整式乘法还原原多项式，再通过系数对应求出未知参数，属于基础题型，熟练掌握多项式乘法运算规则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3. 对于$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$,从左到右的变形是,从右到左的变形是.
答案
解：整式乘法
因式分解
因式分解
解析
【分析】
解题时首先回忆整式乘法和因式分解的核心定义，区分两类变形的特征：①整式乘法是将几个整式的乘积转化为一个整式（和/差形式）；②因式分解是将一个多项式转化为几个整式的乘积形式。接下来分别观察两种变形的前后形式：从左到右变形前是两个整式$(a+b)$、$(a-b)$的乘积，变形后是多项式$a^2 - b^2$，符合整式乘法的特征；从右到左变形前是多项式$a^2 - b^2$，变形后是两个整式的乘积，符合因式分解的特征。
【解析】
1. 判断从左到右的变形：
等式左边$(a+b)(a-b)$是两个整式相乘的形式，等式右边$a^2-b^2$是一个多项式，将几个整式的乘积转化为多项式的变形属于整式乘法。
2. 判断从右到左的变形：
等式右边$a^2-b^2$是一个多项式，等式左边$(a+b)(a-b)$是两个整式的乘积形式，将一个多项式转化为几个整式乘积的变形属于因式分解。
【答案】
整式乘法；因式分解
【知识点】
整式乘法概念，因式分解概念，平方差公式
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分整式乘法和因式分解的变形方向，解题关键是观察变形前后是乘积形式还是多项式形式，熟练掌握相关概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆整式乘法和因式分解的核心定义，区分两类变形的特征：①整式乘法是将几个整式的乘积转化为一个整式（和/差形式）；②因式分解是将一个多项式转化为几个整式的乘积形式。接下来分别观察两种变形的前后形式：从左到右变形前是两个整式$(a+b)$、$(a-b)$的乘积，变形后是多项式$a^2 - b^2$，符合整式乘法的特征；从右到左变形前是多项式$a^2 - b^2$，变形后是两个整式的乘积，符合因式分解的特征。
【解析】
1. 判断从左到右的变形：
等式左边$(a+b)(a-b)$是两个整式相乘的形式，等式右边$a^2-b^2$是一个多项式，将几个整式的乘积转化为多项式的变形属于整式乘法。
2. 判断从右到左的变形：
等式右边$a^2-b^2$是一个多项式，等式左边$(a+b)(a-b)$是两个整式的乘积形式，将一个多项式转化为几个整式乘积的变形属于因式分解。
【答案】
整式乘法；因式分解
【知识点】
整式乘法概念，因式分解概念，平方差公式
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分整式乘法和因式分解的变形方向，解题关键是观察变形前后是乘积形式还是多项式形式，熟练掌握相关概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
4. 多项式 $a+ab^2$ 的公因式是（）.
A.$a$
B.$ab$
C.$ab^2$
D.$a+ab^2$
A.$a$
B.$ab$
C.$ab^2$
D.$a+ab^2$
答案
A
解析
【分析】
要确定多项式的公因式，需按照公因式的确定方法分步思考：第一步先找各项系数的最大公约数，第二步找各项都含有的相同字母，第三步取相同字母的最低次幂，三者的乘积就是公因式。本题多项式包含$a$和$ab^2$两项，先看系数，两项系数都是1，最大公约数为1；再看相同字母，两项都含有的字母是a；最后看a的次数，两项中a的次数都是1次，因此公因式就是a，对应选项即可得出答案。
【解析】
多项式$a+ab^2$由$a$、$ab^2$两项组成：
1. 分析两项的因式：$a$的因式为$1、a$；$ab^2$的因式为$1、a、b、b^2、ab、ab^2$。
2. 找两项共有的公共因式：两项都含有的因式是$a$，因此该多项式的公因式为$a$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
公因式的定义、公因式的确定方法
【点评】
本题属于基础题型，核心考查公因式的确定规则，熟练掌握“先找系数最大公约数，再取相同字母最低次幂”的找公因式步骤，即可快速准确解题，是学习提公因式法分解因式的基础题型。
【难度系数】
0.9
要确定多项式的公因式，需按照公因式的确定方法分步思考：第一步先找各项系数的最大公约数，第二步找各项都含有的相同字母，第三步取相同字母的最低次幂，三者的乘积就是公因式。本题多项式包含$a$和$ab^2$两项，先看系数，两项系数都是1，最大公约数为1；再看相同字母，两项都含有的字母是a；最后看a的次数，两项中a的次数都是1次，因此公因式就是a，对应选项即可得出答案。
【解析】
多项式$a+ab^2$由$a$、$ab^2$两项组成：
1. 分析两项的因式：$a$的因式为$1、a$；$ab^2$的因式为$1、a、b、b^2、ab、ab^2$。
2. 找两项共有的公共因式：两项都含有的因式是$a$，因此该多项式的公因式为$a$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
公因式的定义、公因式的确定方法
【点评】
本题属于基础题型，核心考查公因式的确定规则，熟练掌握“先找系数最大公约数，再取相同字母最低次幂”的找公因式步骤，即可快速准确解题，是学习提公因式法分解因式的基础题型。
【难度系数】
0.9
5. 多项式$4x+2$的公因式是.
答案
解：
多项式$4x+2$的两项分别为$4x$和$2$，
两项系数的最大公约数是2，且两项没有公共的字母因式，
因此该多项式的公因式是$2$。
多项式$4x+2$的两项分别为$4x$和$2$，
两项系数的最大公约数是2，且两项没有公共的字母因式，
因此该多项式的公因式是$2$。
解析
【分析】
要确定多项式的公因式，需遵循固定步骤思考：首先拆分多项式的所有项，其次找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的公共字母因式（相同字母取最低次幂），最后将系数最大公约数与公共字母因式相乘即为公因式。针对本题的多项式$4x+2$，先拆分得到两项为$4x$和$2$，先计算系数4和2的最大公约数是2，再观察字母部分，仅第一项含字母$x$，第二项无字母，因此不存在公共字母因式，即可得出公因式。
【解析】
多项式$4x+2$的两项分别为$4x$和$2$，两项系数的最大公约数是2，且两项没有公共的字母因式，因此该多项式的公因式是$2$。
【答案】
$2$
【知识点】
公因式的确定，提公因式法
【点评】
本题是因式分解的基础题，主要考查公因式的确定方法，熟练掌握“先找系数最大公约数，再找公共字母因式”的解题步骤即可快速得出结果，是学习提公因式法分解因式的必备基础。
【难度系数】
0.9
要确定多项式的公因式，需遵循固定步骤思考：首先拆分多项式的所有项，其次找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的公共字母因式（相同字母取最低次幂），最后将系数最大公约数与公共字母因式相乘即为公因式。针对本题的多项式$4x+2$，先拆分得到两项为$4x$和$2$，先计算系数4和2的最大公约数是2，再观察字母部分，仅第一项含字母$x$，第二项无字母，因此不存在公共字母因式，即可得出公因式。
【解析】
多项式$4x+2$的两项分别为$4x$和$2$，两项系数的最大公约数是2，且两项没有公共的字母因式，因此该多项式的公因式是$2$。
【答案】
$2$
【知识点】
公因式的确定，提公因式法
【点评】
本题是因式分解的基础题，主要考查公因式的确定方法，熟练掌握“先找系数最大公约数，再找公共字母因式”的解题步骤即可快速得出结果，是学习提公因式法分解因式的必备基础。
【难度系数】
0.9
6. 下列多项式中,能用提公因式法分解因式的是().
A.$x^2 - y$
B.$x^2 - 2x$
C.$x^2 + y^2$
D.$x^2 - xy + y^2$
A.$x^2 - y$
B.$x^2 - 2x$
C.$x^2 + y^2$
D.$x^2 - xy + y^2$
答案
B
解析
【分析】
要判断多项式能否用提公因式法分解因式，核心是看多项式的各项是否存在公共的因式（即公因式）。解题时只需逐个分析每个选项中多项式的各项，检查是否有公因式，即可得出正确答案。
【解析】
我们对四个选项逐一分析：
A. 多项式$x^2 - y$的两项为$x^2$和$-y$，两项没有公共因式，不能用提公因式法分解因式，不符合要求；
B. 多项式$x^2 - 2x$的两项为$x^2$和$-2x$，两项都含有公因式$x$，可提公因式分解为$x(x-2)$，能用提公因式法分解因式，符合要求；
C. 多项式$x^2 + y^2$的两项为$x^2$和$y^2$，两项没有公共因式，不能用提公因式法分解因式，不符合要求；
D. 多项式$x^2 - xy + y^2$的三项为$x^2$、$-xy$、$y^2$，三项没有公共因式，不能用提公因式法分解因式，不符合要求。
综上，应选B。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法分解因式；公因式的判断
【点评】
本题是提公因式法分解因式的基础应用题，解题关键是熟练掌握公因式的判断方法，牢记提公因式法的适用条件就能快速解答。
【难度系数】
0.9
要判断多项式能否用提公因式法分解因式，核心是看多项式的各项是否存在公共的因式（即公因式）。解题时只需逐个分析每个选项中多项式的各项，检查是否有公因式，即可得出正确答案。
【解析】
我们对四个选项逐一分析：
A. 多项式$x^2 - y$的两项为$x^2$和$-y$，两项没有公共因式，不能用提公因式法分解因式，不符合要求；
B. 多项式$x^2 - 2x$的两项为$x^2$和$-2x$，两项都含有公因式$x$，可提公因式分解为$x(x-2)$，能用提公因式法分解因式，符合要求；
C. 多项式$x^2 + y^2$的两项为$x^2$和$y^2$，两项没有公共因式，不能用提公因式法分解因式，不符合要求；
D. 多项式$x^2 - xy + y^2$的三项为$x^2$、$-xy$、$y^2$，三项没有公共因式，不能用提公因式法分解因式，不符合要求。
综上，应选B。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法分解因式；公因式的判断
【点评】
本题是提公因式法分解因式的基础应用题，解题关键是熟练掌握公因式的判断方法，牢记提公因式法的适用条件就能快速解答。
【难度系数】
0.9
7. 分解因式：$x^2+2x$ 等于（）.
A.$x(x+2)$
B.$x(x-2)$
C.$2(x+2)$
D.$2(x-2)$
A.$x(x+2)$
B.$x(x-2)$
C.$2(x+2)$
D.$2(x-2)$
答案
A
解析
【分析】
这道题考查用提公因式法分解因式，解题思路分两步走：第一步先确定多项式各项的公因式，观察多项式$x^2+2x$的两项，系数的最大公约数是1，两项都含有的相同字母是x，且x的最低次数是1，因此公因式为x；第二步提取公因式，将多项式写成公因式与剩余因式的乘积形式，再匹配选项即可得到答案。
【解析】
要对$x^2+2x$分解因式：
1. 确定公因式：多项式的两项$x^2$和$2x$都含有公共因式$x$，即公因式为$x$；
2. 提取公因式：把公因式$x$提出来，剩余部分分别是$x^2÷ x=x$，$2x÷ x=2$，因此可得：
$x^2+2x=x· x + x·2 = x(x+2)$
对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法分解因式；公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心是掌握提公因式法的操作步骤，解题时只要准确找出多项式各项的公因式，提取后验证剩余项是否正确即可快速得出结果，不易出错。
【难度系数】
0.9
这道题考查用提公因式法分解因式，解题思路分两步走：第一步先确定多项式各项的公因式，观察多项式$x^2+2x$的两项，系数的最大公约数是1，两项都含有的相同字母是x，且x的最低次数是1，因此公因式为x；第二步提取公因式，将多项式写成公因式与剩余因式的乘积形式，再匹配选项即可得到答案。
【解析】
要对$x^2+2x$分解因式：
1. 确定公因式：多项式的两项$x^2$和$2x$都含有公共因式$x$，即公因式为$x$；
2. 提取公因式：把公因式$x$提出来，剩余部分分别是$x^2÷ x=x$，$2x÷ x=2$，因此可得：
$x^2+2x=x· x + x·2 = x(x+2)$
对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法分解因式；公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心是掌握提公因式法的操作步骤，解题时只要准确找出多项式各项的公因式，提取后验证剩余项是否正确即可快速得出结果，不易出错。
【难度系数】
0.9
8. 分解因式:
(1)$x^2+xy=$;
(2)$2a^2 -a=$;
(3)$a^2 -4ab=$;
(4)$4m -m^2=$.
(1)$x^2+xy=$;
(2)$2a^2 -a=$;
(3)$a^2 -4ab=$;
(4)$4m -m^2=$.
答案
解：
(1) 对多项式提取公因式$x$，得$x^2+xy=x(x+y)$；
(2) 对多项式提取公因式$a$，得$2a^2-a=a(2a-1)$；
(3) 对多项式提取公因式$a$，得$a^2-4ab=a(a-4b)$；
(4) 对多项式提取公因式$m$，得$4m-m^2=m(4-m)$。
答案依次为：(1)$\boldsymbol{x(x+y)}$；(2)$\boldsymbol{a(2a-1)}$；(3)$\boldsymbol{a(a-4b)}$；(4)$\boldsymbol{m(4-m)}$。
(1) 对多项式提取公因式$x$，得$x^2+xy=x(x+y)$；
(2) 对多项式提取公因式$a$，得$2a^2-a=a(2a-1)$；
(3) 对多项式提取公因式$a$，得$a^2-4ab=a(a-4b)$；
(4) 对多项式提取公因式$m$，得$4m-m^2=m(4-m)$。
答案依次为：(1)$\boldsymbol{x(x+y)}$；(2)$\boldsymbol{a(2a-1)}$；(3)$\boldsymbol{a(a-4b)}$；(4)$\boldsymbol{m(4-m)}$。
解析
【分析】
这几道因式分解题均使用提公因式法求解，解题思路如下：第一步先确定公因式：先找多项式各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母的最低次幂，二者结合就是公因式；第二步提取公因式，将原多项式写成公因式与剩余多项式相乘的形式，提取时注意剩余项的符号和项数要和原式对应。
【解析】
(1) 多项式$x^2+xy$的两项公因式为$x$，提取公因式得：$x^2+xy=x(x+y)$；
(2) 多项式$2a^2 -a$的两项公因式为$a$，提取公因式得：$2a^2 -a=a(2a-1)$；
(3) 多项式$a^2 -4ab$的两项公因式为$a$，提取公因式得：$a^2 -4ab=a(a-4b)$；
(4) 多项式$4m -m^2$的两项公因式为$m$，提取公因式得：$4m -m^2=m(4-m)$。
【答案】
(1)$x(x+y)$；(2)$a(2a-1)$；(3)$a(a-4b)$；(4)$m(4-m)$
【知识点】
提公因式法分解因式，公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查提公因式法的基础应用，熟练掌握公因式的查找规则，注意提取后的项的符号即可正确解题。
【难度系数】
0.9
这几道因式分解题均使用提公因式法求解，解题思路如下：第一步先确定公因式：先找多项式各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母的最低次幂，二者结合就是公因式；第二步提取公因式，将原多项式写成公因式与剩余多项式相乘的形式，提取时注意剩余项的符号和项数要和原式对应。
【解析】
(1) 多项式$x^2+xy$的两项公因式为$x$，提取公因式得：$x^2+xy=x(x+y)$；
(2) 多项式$2a^2 -a$的两项公因式为$a$，提取公因式得：$2a^2 -a=a(2a-1)$；
(3) 多项式$a^2 -4ab$的两项公因式为$a$，提取公因式得：$a^2 -4ab=a(a-4b)$；
(4) 多项式$4m -m^2$的两项公因式为$m$，提取公因式得：$4m -m^2=m(4-m)$。
【答案】
(1)$x(x+y)$；(2)$a(2a-1)$；(3)$a(a-4b)$；(4)$m(4-m)$
【知识点】
提公因式法分解因式，公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查提公因式法的基础应用，熟练掌握公因式的查找规则，注意提取后的项的符号即可正确解题。
【难度系数】
0.9
9. 分解因式：
(1) $ax^2 + ay^2$；
(2) $6y^3 + xy^2 - y$。
(1) $ax^2 + ay^2$；
(2) $6y^3 + xy^2 - y$。
答案
解：
(1) $ax^2 + ay^2$
$= a(x^2 + y^2)$
(2) $6y^3 + xy^2 - y$
$= y· 6y^2 + y· xy - y· 1$
$= y(6y^2 + xy - 1)$
(1) $ax^2 + ay^2$
$= a(x^2 + y^2)$
(2) $6y^3 + xy^2 - y$
$= y· 6y^2 + y· xy - y· 1$
$= y(6y^2 + xy - 1)$
解析
【分析】
这两道因式分解题均使用提公因式法求解，解题思路可分为两步：第一步确定公因式，先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母的最低次幂，二者的乘积就是公因式；第二步提取公因式，将多项式改写为“公因式×剩余多项式”的形式，注意提取公因式后剩余多项式的项数要和原多项式项数一致，避免漏项。
第(1)题两项都含有公共因式a，没有其他公共因式，公因式为a，提取后剩余的$x^2+y^2$无法继续分解；第(2)题三项都含有公共因式y，y的最低次幂为1次，公因式为y，提取y后最后一项剩余-1，不能漏写。
【解析】
(1) $ax^2 + ay^2$
$= a(x^2 + y^2)$
(2) $6y^3 + xy^2 - y$
$= y· 6y^2 + y· xy - y· 1$
$= y(6y^2 + xy - 1)$
【答案】
(1) $a(x^2 + y^2)$
(2) $y(6y^2 + xy - 1)$
【知识点】
提公因式法分解因式，公因式的确定
【点评】
本题是提公因式法分解因式的基础题型，核心要求是准确识别公因式，提取公因式时需注意剩余多项式的项数和原多项式一致，尤其原多项式最后一项等于公因式时，提取后剩余的1不能省略。
【难度系数】
0.85
这两道因式分解题均使用提公因式法求解，解题思路可分为两步：第一步确定公因式，先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母的最低次幂，二者的乘积就是公因式；第二步提取公因式，将多项式改写为“公因式×剩余多项式”的形式，注意提取公因式后剩余多项式的项数要和原多项式项数一致，避免漏项。
第(1)题两项都含有公共因式a，没有其他公共因式，公因式为a，提取后剩余的$x^2+y^2$无法继续分解；第(2)题三项都含有公共因式y，y的最低次幂为1次，公因式为y，提取y后最后一项剩余-1，不能漏写。
【解析】
(1) $ax^2 + ay^2$
$= a(x^2 + y^2)$
(2) $6y^3 + xy^2 - y$
$= y· 6y^2 + y· xy - y· 1$
$= y(6y^2 + xy - 1)$
【答案】
(1) $a(x^2 + y^2)$
(2) $y(6y^2 + xy - 1)$
【知识点】
提公因式法分解因式，公因式的确定
【点评】
本题是提公因式法分解因式的基础题型，核心要求是准确识别公因式，提取公因式时需注意剩余多项式的项数和原多项式一致，尤其原多项式最后一项等于公因式时，提取后剩余的1不能省略。
【难度系数】
0.85
10. 计算$(-2)^{2026} + (-2)^{2027}$所得的结果是().
A.$2^{2026}$
B.$-2^{4053}$
C.$-2^{2027}$
D.$-2^{2026}$
A.$2^{2026}$
B.$-2^{4053}$
C.$-2^{2027}$
D.$-2^{2026}$
答案
D
解析
【分析】
首先观察待求式的结构，两项均是底数为-2的幂，且指数仅相差1，没有同底数幂的直接加法法则，因此考虑用提公因式法简化计算：第一步先确定两项的公因式，同底数幂的公因式取指数最小的项，即$(-2)^{2026}$；第二步提取公因式后计算括号内的和；第三步结合负数乘方的符号规律（偶次幂为正，奇次幂为负）化简，最终匹配选项即可。
【解析】
解：$\begin{aligned}(-2)^{2026} + (-2)^{2027} &= (-2)^{2026} + (-2)^{2026} × (-2) \\&= (-2)^{2026} × [1 + (-2)] \\&= (-2)^{2026} × (-1) \\&= 2^{2026} × (-1) \\&= -2^{2026}\end{aligned}$
【答案】
D
【知识点】
提公因式法因式分解，乘方的符号法则，同底数幂的运算
【点评】
本题重点考查提公因式法在高次幂运算中的应用，解题关键是准确提取公因式，同时要熟练掌握负数乘方的符号规律，避免运算时出现符号错误。
【难度系数】
0.7
首先观察待求式的结构，两项均是底数为-2的幂，且指数仅相差1，没有同底数幂的直接加法法则，因此考虑用提公因式法简化计算：第一步先确定两项的公因式，同底数幂的公因式取指数最小的项，即$(-2)^{2026}$；第二步提取公因式后计算括号内的和；第三步结合负数乘方的符号规律（偶次幂为正，奇次幂为负）化简，最终匹配选项即可。
【解析】
解：$\begin{aligned}(-2)^{2026} + (-2)^{2027} &= (-2)^{2026} + (-2)^{2026} × (-2) \\&= (-2)^{2026} × [1 + (-2)] \\&= (-2)^{2026} × (-1) \\&= 2^{2026} × (-1) \\&= -2^{2026}\end{aligned}$
【答案】
D
【知识点】
提公因式法因式分解，乘方的符号法则，同底数幂的运算
【点评】
本题重点考查提公因式法在高次幂运算中的应用，解题关键是准确提取公因式，同时要熟练掌握负数乘方的符号规律，避免运算时出现符号错误。
【难度系数】
0.7
