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11. 填空：
(1)如果把多项式$x^2 -3x +n$分解因式得$(x-1)(x+m)$，那么$m=$，$n=$；
(2)当$k=$时，二次三项式$x^2 -kx +12$分解因式的结果是$(x-4)(x-3)$。
(1)如果把多项式$x^2 -3x +n$分解因式得$(x-1)(x+m)$，那么$m=$，$n=$；
(2)当$k=$时，二次三项式$x^2 -kx +12$分解因式的结果是$(x-4)(x-3)$。
答案
(1) $\boldsymbol{-2}$，$\boldsymbol{2}$；(2) $\boldsymbol{7}$。
解析
【分析】
这两道题均利用因式分解与整式乘法是互逆变形的性质求解。先将因式分解的结果用多项式乘法展开，展开后的多项式与原多项式各项系数完全对应相等，据此列出关于未知参数的方程，解方程即可求出参数值。
【解析】
(1) 先展开$(x-1)(x+m)$：
$\begin{aligned}(x-1)(x+m)&=x^2 + mx - x - m\\&=x^2 + (m-1)x - m\end{aligned}$
已知$x^2 -3x +n = (x-1)(x+m)$，两个多项式对应项系数相等：
一次项系数：$m-1=-3$，解得$m=-2$
常数项：$n=-m$，代入$m=-2$得$n=-(-2)=2$
(2) 先展开$(x-4)(x-3)$：
$\begin{aligned}(x-4)(x-3)&=x^2 -3x -4x +12\\&=x^2 -7x +12\end{aligned}$
已知$x^2 -kx +12 = (x-4)(x-3)$，一次项系数对应相等：
$-k=-7$，解得$k=7$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2}$，$\boldsymbol{2}$；(2) $\boldsymbol{7}$
【知识点】
1. 因式分解的逆运算
2. 多项式乘多项式
3. 系数对应相等
【点评】
本题侧重考查因式分解和整式乘法的互逆关系，核心解题思路是通过展开因式分解的结果，利用多项式相等时对应项系数相同的特点求解参数，属于基础题型，熟练掌握整式乘法运算即可快速作答。
【难度系数】
0.8
这两道题均利用因式分解与整式乘法是互逆变形的性质求解。先将因式分解的结果用多项式乘法展开，展开后的多项式与原多项式各项系数完全对应相等，据此列出关于未知参数的方程，解方程即可求出参数值。
【解析】
(1) 先展开$(x-1)(x+m)$：
$\begin{aligned}(x-1)(x+m)&=x^2 + mx - x - m\\&=x^2 + (m-1)x - m\end{aligned}$
已知$x^2 -3x +n = (x-1)(x+m)$，两个多项式对应项系数相等：
一次项系数：$m-1=-3$，解得$m=-2$
常数项：$n=-m$，代入$m=-2$得$n=-(-2)=2$
(2) 先展开$(x-4)(x-3)$：
$\begin{aligned}(x-4)(x-3)&=x^2 -3x -4x +12\\&=x^2 -7x +12\end{aligned}$
已知$x^2 -kx +12 = (x-4)(x-3)$，一次项系数对应相等：
$-k=-7$，解得$k=7$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2}$，$\boldsymbol{2}$；(2) $\boldsymbol{7}$
【知识点】
1. 因式分解的逆运算
2. 多项式乘多项式
3. 系数对应相等
【点评】
本题侧重考查因式分解和整式乘法的互逆关系，核心解题思路是通过展开因式分解的结果，利用多项式相等时对应项系数相同的特点求解参数，属于基础题型，熟练掌握整式乘法运算即可快速作答。
【难度系数】
0.8
12. 利用因式分解计算：
(1)$2025×0.25 + 976×0.25 - 0.25$；
(2)$45^2 + 45×55$；
(3)$5×2^4 - 11×2^3 + 2×2^2$。
(1)$2025×0.25 + 976×0.25 - 0.25$；
(2)$45^2 + 45×55$；
(3)$5×2^4 - 11×2^3 + 2×2^2$。
答案
解：
(1) 原式$=0.25×(2025 + 976 - 1)$
$=0.25×3000$
$=750$
(2) 原式$=45×(45 + 55)$
$=45×100$
$=4500$
(3) 原式$=2^2×(5×2^2 - 11×2 + 2)$
$=4×(20 - 22 + 2)$
$=4×0$
$=0$
(1) 原式$=0.25×(2025 + 976 - 1)$
$=0.25×3000$
$=750$
(2) 原式$=45×(45 + 55)$
$=45×100$
$=4500$
(3) 原式$=2^2×(5×2^2 - 11×2 + 2)$
$=4×(20 - 22 + 2)$
$=4×0$
$=0$
解析
【分析】
这三道题均可以通过提公因式法简化运算，解题思路如下：第一步先观察式子中每一项含有的公共因式，将公因式提取出来；第二步先计算括号内剩余部分的加减运算，得到简化后的整数结果；第三步计算公因式与括号内结果的乘积，即可快速得到答案，避免直接计算大数运算出现错误。
【解析】
(1) 观察到原式各项均含有公因式$0.25$，提取公因式可得：
原式$=0.25×(2025 + 976 - 1)$
$=0.25×3000$
$=750$
(2) 观察到原式各项均含有公因式$45$，提取公因式可得：
原式$=45×(45 + 55)$
$=45×100$
$=4500$
(3) 观察到原式各项均含有公因式$2^2$，提取公因式可得：
原式$=2^2×(5×2^2 - 11×2 + 2)$
$=4×(20 - 22 + 2)$
$=4×0$
$=0$
【答案】
(1)$750$；(2)$4500$；(3)$0$
【知识点】
提公因式法；因式分解的简便应用
【点评】
本题考查利用提公因式法进行简便运算，解题的核心是准确识别各项的公因式，提取后将复杂的乘加、乘减运算转化为简单的整数加减和乘法运算，有效降低计算量，减少出错概率。
【难度系数】
0.85
这三道题均可以通过提公因式法简化运算，解题思路如下：第一步先观察式子中每一项含有的公共因式，将公因式提取出来；第二步先计算括号内剩余部分的加减运算，得到简化后的整数结果；第三步计算公因式与括号内结果的乘积，即可快速得到答案，避免直接计算大数运算出现错误。
【解析】
(1) 观察到原式各项均含有公因式$0.25$，提取公因式可得：
原式$=0.25×(2025 + 976 - 1)$
$=0.25×3000$
$=750$
(2) 观察到原式各项均含有公因式$45$，提取公因式可得：
原式$=45×(45 + 55)$
$=45×100$
$=4500$
(3) 观察到原式各项均含有公因式$2^2$，提取公因式可得：
原式$=2^2×(5×2^2 - 11×2 + 2)$
$=4×(20 - 22 + 2)$
$=4×0$
$=0$
【答案】
(1)$750$；(2)$4500$；(3)$0$
【知识点】
提公因式法；因式分解的简便应用
【点评】
本题考查利用提公因式法进行简便运算，解题的核心是准确识别各项的公因式，提取后将复杂的乘加、乘减运算转化为简单的整数加减和乘法运算，有效降低计算量，减少出错概率。
【难度系数】
0.85
13. 分解因式:
(1)$(x+1)(x+2)-2$；
(2)$(3x-2)^2 -x -4$.
(1)$(x+1)(x+2)-2$；
(2)$(3x-2)^2 -x -4$.
答案
解：
(1) 原式$=x^2 + 3x + 2 - 2$
$=x^2 + 3x$
$=x(x+3)$
(2) 原式$=9x^2 - 12x + 4 - x - 4$
$=9x^2 - 13x$
$=x(9x-13)$
(1) 原式$=x^2 + 3x + 2 - 2$
$=x^2 + 3x$
$=x(x+3)$
(2) 原式$=9x^2 - 12x + 4 - x - 4$
$=9x^2 - 13x$
$=x(9x-13)$
解析
【分析】
这两道分解因式题的解题思路统一：第一步先对原式中的整式乘积部分展开运算，再合并同类项将原式化简为多项式的标准形式；第二步观察化简后的多项式，找到各项的公因式，利用提公因式法完成因式分解即可。具体到每小问：(1)先根据多项式乘多项式法则展开$(x+1)(x+2)$，合并常数项后得到二次二项式，提取公因式$x$即可；(2)先根据完全平方公式展开$(3x-2)^2$，再合并同类项，最后提取公因式$x$即可。
【解析】
(1) 计算多项式乘法并化简：
原式$=x^2 + 3x + 2 - 2$
$=x^2 + 3x$
提取公因式$x$得：$=x(x+3)$
(2) 展开完全平方项并化简：
原式$=9x^2 - 12x + 4 - x - 4$
$=9x^2 - 13x$
提取公因式$x$得：$=x(9x-13)$
【答案】
(1)$x(x+3)$；(2)$x(9x-13)$
【知识点】
多项式乘多项式，完全平方公式，提公因式法分解因式
【点评】
本题属于因式分解的基础常规题型，核心考查整式运算的准确性和提公因式法的应用，解题时需注意展开运算时系数、符号的计算不要出错，合并同类项后要准确识别公因式。
【难度系数】
0.85
这两道分解因式题的解题思路统一：第一步先对原式中的整式乘积部分展开运算，再合并同类项将原式化简为多项式的标准形式；第二步观察化简后的多项式，找到各项的公因式，利用提公因式法完成因式分解即可。具体到每小问：(1)先根据多项式乘多项式法则展开$(x+1)(x+2)$，合并常数项后得到二次二项式，提取公因式$x$即可；(2)先根据完全平方公式展开$(3x-2)^2$，再合并同类项，最后提取公因式$x$即可。
【解析】
(1) 计算多项式乘法并化简：
原式$=x^2 + 3x + 2 - 2$
$=x^2 + 3x$
提取公因式$x$得：$=x(x+3)$
(2) 展开完全平方项并化简：
原式$=9x^2 - 12x + 4 - x - 4$
$=9x^2 - 13x$
提取公因式$x$得：$=x(9x-13)$
【答案】
(1)$x(x+3)$；(2)$x(9x-13)$
【知识点】
多项式乘多项式，完全平方公式，提公因式法分解因式
【点评】
本题属于因式分解的基础常规题型，核心考查整式运算的准确性和提公因式法的应用，解题时需注意展开运算时系数、符号的计算不要出错，合并同类项后要准确识别公因式。
【难度系数】
0.85
14. (2025昆明五华区期末)因式分解可以简化一些复杂的计算. 如图,把$R_1,R_2,R_3$三个电阻串联起来,线路AB上的电流为I,电压为U,则$U=IR_1+IR_2+IR_3$.当$R_1=19.76,R_2=32.41,R_3=35.83,I=2.5$时,请利用因式分解计算出U的值.
答案
解：
对$U=IR_1+IR_2+IR_3$提取公因式$I$，得
$U = I(R_1 + R_2 + R_3)$
将$R_1=19.76$，$R_2=32.41$，$R_3=35.83$，$I=2.5$代入上式：
$R_1 + R_2 + R_3 = 19.76 + 32.41 + 35.83 = 88$
$U = 2.5 × 88 = 220$
答：$U$的值为220。
对$U=IR_1+IR_2+IR_3$提取公因式$I$，得
$U = I(R_1 + R_2 + R_3)$
将$R_1=19.76$，$R_2=32.41$，$R_3=35.83$，$I=2.5$代入上式：
$R_1 + R_2 + R_3 = 19.76 + 32.41 + 35.83 = 88$
$U = 2.5 × 88 = 220$
答：$U$的值为220。
解析
【分析】
首先观察电压U的表达式$U=IR_1+IR_2+IR_3$，发现每一项都含有公共因式$I$，因此可以利用提公因式法对式子进行因式分解，将式子变形为$U=I(R_1+R_2+R_3)$，先计算三个电阻的和，再与电流$I$相乘，相比分别计算三次乘法再相加，计算量更小，也更不容易出错，最后代入对应数值计算即可得到U的值。
【解析】
解：对式子$U=IR_1+IR_2+IR_3$提取公因式$I$，可得：
$U = I(R_1 + R_2 + R_3)$
将$R_1=19.76$，$R_2=32.41$，$R_3=35.83$，$I=2.5$代入上式：
先计算电阻和：$R_1 + R_2 + R_3 = 19.76 + 32.41 + 35.83 = 88$
再计算电压：$U = 2.5 × 88 = 220$
【答案】
220
【知识点】
提公因式法因式分解；代数式求值
【点评】
本题将因式分解与电路电压计算结合，考查了提公因式法的实际应用，通过因式分解可以简化运算步骤，降低计算出错的概率，体现了因式分解简化运算的作用。
【难度系数】
0.85
首先观察电压U的表达式$U=IR_1+IR_2+IR_3$，发现每一项都含有公共因式$I$，因此可以利用提公因式法对式子进行因式分解，将式子变形为$U=I(R_1+R_2+R_3)$，先计算三个电阻的和，再与电流$I$相乘，相比分别计算三次乘法再相加，计算量更小，也更不容易出错，最后代入对应数值计算即可得到U的值。
【解析】
解：对式子$U=IR_1+IR_2+IR_3$提取公因式$I$，可得：
$U = I(R_1 + R_2 + R_3)$
将$R_1=19.76$，$R_2=32.41$，$R_3=35.83$，$I=2.5$代入上式：
先计算电阻和：$R_1 + R_2 + R_3 = 19.76 + 32.41 + 35.83 = 88$
再计算电压：$U = 2.5 × 88 = 220$
【答案】
220
【知识点】
提公因式法因式分解；代数式求值
【点评】
本题将因式分解与电路电压计算结合，考查了提公因式法的实际应用，通过因式分解可以简化运算步骤，降低计算出错的概率，体现了因式分解简化运算的作用。
【难度系数】
0.85
15. 仔细阅读下面例题：
例题:已知二次三项式$x^2 -4x+m$有一个因式是$(x+3)$,求另一个因式以及$m$的值.
解:设另一个因式为$(x+n)$,得
$x^2 -4x+m=(x+3)(x+n)$.
则$x^2 -4x+m=x^2 +(n+3)x+3n$.
$\therefore \begin{cases} n+3=-4, \\ m=3n. \end{cases}$
解得$n=-7,m=-21$.
$\therefore$另一个因式为$(x-7),m$的值为$-21$.
仿照以上方法解答下面问题:
已知二次三项式$2x^2 +3x -k$有一个因式是$(2x-5)$,求另一个因式以及$k$的值.
例题:已知二次三项式$x^2 -4x+m$有一个因式是$(x+3)$,求另一个因式以及$m$的值.
解:设另一个因式为$(x+n)$,得
$x^2 -4x+m=(x+3)(x+n)$.
则$x^2 -4x+m=x^2 +(n+3)x+3n$.
$\therefore \begin{cases} n+3=-4, \\ m=3n. \end{cases}$
解得$n=-7,m=-21$.
$\therefore$另一个因式为$(x-7),m$的值为$-21$.
仿照以上方法解答下面问题:
已知二次三项式$2x^2 +3x -k$有一个因式是$(2x-5)$,求另一个因式以及$k$的值.
答案
解：设另一个因式为$(x+a)$，得
$2x^2 + 3x - k = (2x - 5)(x + a)$
则$2x^2 + 3x - k = 2x^2 + (2a - 5)x - 5a$
$\therefore \begin{cases} 2a - 5 = 3, \\ -k = -5a. \end{cases}$
解得$a=4$，$k=20$。
∴另一个因式为$(x+4)$，$k$的值为20。
$2x^2 + 3x - k = (2x - 5)(x + a)$
则$2x^2 + 3x - k = 2x^2 + (2a - 5)x - 5a$
$\therefore \begin{cases} 2a - 5 = 3, \\ -k = -5a. \end{cases}$
解得$a=4$，$k=20$。
∴另一个因式为$(x+4)$，$k$的值为20。
解析
【分析】
本题可仿照例题的待定系数法求解，首先根据二次三项式的二次项系数和已知因式的一次项系数，确定另一个因式的一次项系数为1，设另一个因式为$(x+a)$，再将等式右边按多项式乘多项式法则展开，根据两个多项式相等时对应同类项的系数相等，列出关于$a$和$k$的方程组，解方程组即可得到结果。
【解析】
解：设另一个因式为$(x+a)$，得
$2x^2 + 3x - k = (2x - 5)(x + a)$
将等式右边展开得：$2x^2 + 3x - k = 2x^2 + (2a - 5)x - 5a$
根据多项式相等时同类项系数相等，可得：
$\begin{cases} 2a - 5 = 3 \\ -k = -5a \end{cases}$
解第一个方程：$2a=3+5=8$，得$a=4$，
将$a=4$代入第二个方程，得$-k=-5×4=-20$，解得$k=20$。
【答案】
另一个因式为$(x+4)$，$k$的值为20。
【知识点】
待定系数法，多项式乘法，解二元一次方程组
【点评】
本题属于方法迁移类的阅读题，解题的关键是读懂例题的解题思路，灵活运用多项式相等时对应同类项系数相等的性质列方程求解，能有效考查对知识的迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
本题可仿照例题的待定系数法求解，首先根据二次三项式的二次项系数和已知因式的一次项系数，确定另一个因式的一次项系数为1，设另一个因式为$(x+a)$，再将等式右边按多项式乘多项式法则展开，根据两个多项式相等时对应同类项的系数相等，列出关于$a$和$k$的方程组，解方程组即可得到结果。
【解析】
解：设另一个因式为$(x+a)$，得
$2x^2 + 3x - k = (2x - 5)(x + a)$
将等式右边展开得：$2x^2 + 3x - k = 2x^2 + (2a - 5)x - 5a$
根据多项式相等时同类项系数相等，可得：
$\begin{cases} 2a - 5 = 3 \\ -k = -5a \end{cases}$
解第一个方程：$2a=3+5=8$，得$a=4$，
将$a=4$代入第二个方程，得$-k=-5×4=-20$，解得$k=20$。
【答案】
另一个因式为$(x+4)$，$k$的值为20。
【知识点】
待定系数法，多项式乘法，解二元一次方程组
【点评】
本题属于方法迁移类的阅读题，解题的关键是读懂例题的解题思路，灵活运用多项式相等时对应同类项系数相等的性质列方程求解，能有效考查对知识的迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
