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分式的基本性质
分式的基本性质:分式的与乘(或除以),分式的值不变.
用式子表示:$\frac{A}{B}=$,$\frac{A}{B}=$,其中$A,B,C(C≠0)$是整式.
分式的基本性质:分式的与乘(或除以),分式的值不变.
用式子表示:$\frac{A}{B}=$,$\frac{A}{B}=$,其中$A,B,C(C≠0)$是整式.
答案
解：
分式的基本性质:分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。
用式子表示：$\frac{A}{B}=\frac{A· C}{B· C}$，$\frac{A}{B}=\frac{A÷ C}{B÷ C}$，其中$A,B,C(C≠0)$是整式。
分式的基本性质:分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。
用式子表示：$\frac{A}{B}=\frac{A· C}{B· C}$，$\frac{A}{B}=\frac{A÷ C}{B÷ C}$，其中$A,B,C(C≠0)$是整式。
解析
【分析】
本题考查分式基本性质的识记，可类比分数的基本性质推导理解：分数的分子、分母同乘或除以同一个不为0的数，分数的大小不变；分式是分数的代数化形式，只需将性质中的“数”替换为“整式”，同时要牢记乘除的整式不能为0，否则分母为0时分式无意义，再对应性质写出字母表达式即可。
【解析】
根据分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。
结合性质可写出对应的字母表达式，注意要满足C≠0的前提：
$\frac{A}{B}=\frac{A· C}{B· C}$，$\frac{A}{B}=\frac{A÷ C}{B÷ C}$。
因此空缺处依次对应填入上述内容即可。
【答案】
分子；分母；同一个不等于0的整式；$\frac{A· C}{B· C}$；$\frac{A÷ C}{B÷ C}$
【知识点】
分式的基本性质；分式有意义的条件
【点评】
本题是基础概念考查题，重点要求掌握分式基本性质的内容，尤其要注意“同一个不等于0的整式”这一限制条件，该性质是后续分式约分、通分、四则运算的核心基础，需牢固记忆。
【难度系数】
0.9
本题考查分式基本性质的识记，可类比分数的基本性质推导理解：分数的分子、分母同乘或除以同一个不为0的数，分数的大小不变；分式是分数的代数化形式，只需将性质中的“数”替换为“整式”，同时要牢记乘除的整式不能为0，否则分母为0时分式无意义，再对应性质写出字母表达式即可。
【解析】
根据分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。
结合性质可写出对应的字母表达式，注意要满足C≠0的前提：
$\frac{A}{B}=\frac{A· C}{B· C}$，$\frac{A}{B}=\frac{A÷ C}{B÷ C}$。
因此空缺处依次对应填入上述内容即可。
【答案】
分子；分母；同一个不等于0的整式；$\frac{A· C}{B· C}$；$\frac{A÷ C}{B÷ C}$
【知识点】
分式的基本性质；分式有意义的条件
【点评】
本题是基础概念考查题，重点要求掌握分式基本性质的内容，尤其要注意“同一个不等于0的整式”这一限制条件，该性质是后续分式约分、通分、四则运算的核心基础，需牢固记忆。
【难度系数】
0.9
【例1】根据分式的基本性质填空：
$\frac{2x+2}{(x+1)(x-1)} = \frac{2}{(\quad)}$，括号内应填。
• 方法点拨 •
先观察等式左右两边分子的变化，从而得到分母的同步变化。
$\frac{2x+2}{(x+1)(x-1)} = \frac{2}{(\quad)}$，括号内应填。
• 方法点拨 •
先观察等式左右两边分子的变化，从而得到分母的同步变化。
答案
解：
观察等式左边的分子$2x+2=2(x+1)$，可知左边的分子除以整式$(x+1)$得到右边的分子2。
根据分式的基本性质，分式的分母也要同时除以不为0的整式$(x+1)$（保证原分式有意义），可得：
$\frac{(x+1)(x-1)}{x+1}=x-1$
所以括号内应填$\boldsymbol{x-1}$。
观察等式左边的分子$2x+2=2(x+1)$，可知左边的分子除以整式$(x+1)$得到右边的分子2。
根据分式的基本性质，分式的分母也要同时除以不为0的整式$(x+1)$（保证原分式有意义），可得：
$\frac{(x+1)(x-1)}{x+1}=x-1$
所以括号内应填$\boldsymbol{x-1}$。
解析
【分析】
解决这类分式等式填空问题，首先要对比等式左右两边分子的变化：先对左边的分子因式分解，观察它通过什么运算得到右边的分子，再根据分式的基本性质，让分母做相同的运算，即可求出括号内的内容，运算时要注意所除以的整式不能为0，保证分式有意义。
【解析】
首先对左边的分子因式分解：$2x+2=2(x+1)$，
对比左右两边分子可知：左边的分子除以整式$(x+1)$后得到右边的分子2，
根据分式的基本性质，分式的分母也要同时除以同一个不为0的整式$(x+1)$（原分式分母含因式$x+1$，因此$x+1≠0$，满足运算要求），
因此左边的分母$(x+1)(x-1)$除以$x+1$可得：$\frac{(x+1)(x-1)}{x+1}=x-1$。
【答案】
$x-1$
【知识点】
分式的基本性质，提公因式法因式分解，分式有意义的条件
【点评】
本题是分式基本性质的基础应用题型，解题核心是先确定分子的变换方式，再同步对分母做相同变换，解题过程中要注意所乘除的整式不能为0，避免出现分式无意义的情况。
【难度系数】
0.8
解决这类分式等式填空问题，首先要对比等式左右两边分子的变化：先对左边的分子因式分解，观察它通过什么运算得到右边的分子，再根据分式的基本性质，让分母做相同的运算，即可求出括号内的内容，运算时要注意所除以的整式不能为0，保证分式有意义。
【解析】
首先对左边的分子因式分解：$2x+2=2(x+1)$，
对比左右两边分子可知：左边的分子除以整式$(x+1)$后得到右边的分子2，
根据分式的基本性质，分式的分母也要同时除以同一个不为0的整式$(x+1)$（原分式分母含因式$x+1$，因此$x+1≠0$，满足运算要求），
因此左边的分母$(x+1)(x-1)$除以$x+1$可得：$\frac{(x+1)(x-1)}{x+1}=x-1$。
【答案】
$x-1$
【知识点】
分式的基本性质，提公因式法因式分解，分式有意义的条件
【点评】
本题是分式基本性质的基础应用题型，解题核心是先确定分子的变换方式，再同步对分母做相同变换，解题过程中要注意所乘除的整式不能为0，避免出现分式无意义的情况。
【难度系数】
0.8
【变式1】在括号内填上适当的整式：
(1)$\frac{a+b}{ab}=\frac{(\quad)}{a^2b}$；
(2)$\frac{3}{4y}=\frac{(\quad)}{4y(x+y)}$；
(3)$\frac{x^2+xy}{x^2}=\frac{x+y}{(\quad)}$。
(1)$\frac{a+b}{ab}=\frac{(\quad)}{a^2b}$；
(2)$\frac{3}{4y}=\frac{(\quad)}{4y(x+y)}$；
(3)$\frac{x^2+xy}{x^2}=\frac{x+y}{(\quad)}$。
答案
(1) $\boldsymbol{a^2+ab}$；(2) $\boldsymbol{3x+3y}$；(3) $\boldsymbol{x}$。
解析
【分析】
本题考查分式基本性质的应用，解题思路为：先对比等式两边已知的分母（或分子），找出其乘（或除以）的不为0的整式，再根据分式的分子、分母同乘（或除以）同一个不为0的整式，分式值不变的性质，对对应的分子（或分母）做相同运算，即可求出括号内的整式。
【解析】
根据分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。
(1) 观察分母变化：$ab$变为$a^2b$，是给$ab$乘了$a$，因此分子$a+b$也要乘$a$，即$(a+b)· a=a^2+ab$；
(2) 观察分母变化：$4y$变为$4y(x+y)$，是给$4y$乘了$(x+y)$，因此分子$3$也要乘$(x+y)$，即$3·(x+y)=3x+3y$；
(3) 先分解已知分子：$x^2+xy=x(x+y)$，观察分子变化：$x(x+y)$变为$x+y$，是给分子除以了$x$（$x≠0$，否则原分式无意义），因此分母$x^2$也要除以$x$，即$x^2÷ x=x$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{a^2+ab}$；(2) $\boldsymbol{3x+3y}$；(3) $\boldsymbol{x}$
【知识点】
分式的基本性质、整式乘法、因式分解
【点评】
本题是分式性质的基础应用题型，解题核心是准确判断分子或分母的运算规律，计算时注意不要漏乘整式的每一项，熟练掌握该知识点是后续分式化简、运算的基础。
【难度系数】
0.85
本题考查分式基本性质的应用，解题思路为：先对比等式两边已知的分母（或分子），找出其乘（或除以）的不为0的整式，再根据分式的分子、分母同乘（或除以）同一个不为0的整式，分式值不变的性质，对对应的分子（或分母）做相同运算，即可求出括号内的整式。
【解析】
根据分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。
(1) 观察分母变化：$ab$变为$a^2b$，是给$ab$乘了$a$，因此分子$a+b$也要乘$a$，即$(a+b)· a=a^2+ab$；
(2) 观察分母变化：$4y$变为$4y(x+y)$，是给$4y$乘了$(x+y)$，因此分子$3$也要乘$(x+y)$，即$3·(x+y)=3x+3y$；
(3) 先分解已知分子：$x^2+xy=x(x+y)$，观察分子变化：$x(x+y)$变为$x+y$，是给分子除以了$x$（$x≠0$，否则原分式无意义），因此分母$x^2$也要除以$x$，即$x^2÷ x=x$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{a^2+ab}$；(2) $\boldsymbol{3x+3y}$；(3) $\boldsymbol{x}$
【知识点】
分式的基本性质、整式乘法、因式分解
【点评】
本题是分式性质的基础应用题型，解题核心是准确判断分子或分母的运算规律，计算时注意不要漏乘整式的每一项，熟练掌握该知识点是后续分式化简、运算的基础。
【难度系数】
0.85
【例2】不改变分式的值，把分式$\frac{0.2x+1}{5-0.3x}$的分子、分母中各项的系数化为整数.
重点必记
(1)运用分式的基本性质进行的变形是恒等变形，即只改变了分式的形式，不改变分式值的大小；
(2)若分式的分子或分母是多项式，运用分式的基本性质时要先用括号把分子或分母括起来，再把分子和分母同乘(或除以)同一个不等于0的整式，例如，$\frac{x-y}{x+y}=\frac{(x-y)m}{(x+y)m}$，其中$m≠0$.
重点必记
(1)运用分式的基本性质进行的变形是恒等变形，即只改变了分式的形式，不改变分式值的大小；
(2)若分式的分子或分母是多项式，运用分式的基本性质时要先用括号把分子或分母括起来，再把分子和分母同乘(或除以)同一个不等于0的整式，例如，$\frac{x-y}{x+y}=\frac{(x-y)m}{(x+y)m}$，其中$m≠0$.
答案
解：根据分式的基本性质，将分式的分子、分母同时乘以10，得
$\frac{0.2x+1}{5-0.3x} = \frac{(0.2x+1)×10}{(5-0.3x)×10} = \frac{2x+10}{50-3x}$
$\frac{0.2x+1}{5-0.3x} = \frac{(0.2x+1)×10}{(5-0.3x)×10} = \frac{2x+10}{50-3x}$
解析
【分析】
要在不改变分式值的前提下将分子、分母各项系数化为整数，需依据分式的基本性质求解。首先观察分子、分母中各项的系数，发现所有小数都是一位小数，要把所有小数转化为整数，只需让分子、分母同时乘以10即可。注意分子、分母都是多项式，乘10时要给整体加括号，保证每一项都乘10，避免漏乘常数项。
【解析】
根据分式的基本性质，将分式的分子、分母同时乘以10（10≠0，不改变分式的值），得：
$\frac{0.2x+1}{5-0.3x} = \frac{(0.2x+1)×10}{(5-0.3x)×10} = \frac{2x+10}{50-3x}$
【答案】
$\frac{2x+10}{50-3x}$
【知识点】
1.分式的基本性质
2.分式系数化整
【点评】
本题是分式基本性质的常规应用题型，解题核心是根据系数的小数位数确定分子分母同乘的非零数，运算时需注意多项式的每一项都要参与乘法运算，避免出现漏乘常数项的错误。
【难度系数】
0.8
要在不改变分式值的前提下将分子、分母各项系数化为整数，需依据分式的基本性质求解。首先观察分子、分母中各项的系数，发现所有小数都是一位小数，要把所有小数转化为整数，只需让分子、分母同时乘以10即可。注意分子、分母都是多项式，乘10时要给整体加括号，保证每一项都乘10，避免漏乘常数项。
【解析】
根据分式的基本性质，将分式的分子、分母同时乘以10（10≠0，不改变分式的值），得：
$\frac{0.2x+1}{5-0.3x} = \frac{(0.2x+1)×10}{(5-0.3x)×10} = \frac{2x+10}{50-3x}$
【答案】
$\frac{2x+10}{50-3x}$
【知识点】
1.分式的基本性质
2.分式系数化整
【点评】
本题是分式基本性质的常规应用题型，解题核心是根据系数的小数位数确定分子分母同乘的非零数，运算时需注意多项式的每一项都要参与乘法运算，避免出现漏乘常数项的错误。
【难度系数】
0.8
【变式2】不改变分式的值，把分式$\frac{\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}y}{\frac{1}{2}x-\frac{1}{3}y}$的分子、分母中各项的系数化为整数.
答案
解：
分式分子、分母各项系数的分母2、4、2、3的最小公倍数是12，根据分式的基本性质，将分式的分子、分母同时乘以12：
$\frac{(\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}y)×12}{(\frac{1}{2}x-\frac{1}{3}y)×12} = \frac{\frac{1}{2}x×12 + \frac{1}{4}y×12}{\frac{1}{2}x×12 - \frac{1}{3}y×12} = \frac{6x+3y}{6x-4y}$
分式分子、分母各项系数的分母2、4、2、3的最小公倍数是12，根据分式的基本性质，将分式的分子、分母同时乘以12：
$\frac{(\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}y)×12}{(\frac{1}{2}x-\frac{1}{3}y)×12} = \frac{\frac{1}{2}x×12 + \frac{1}{4}y×12}{\frac{1}{2}x×12 - \frac{1}{3}y×12} = \frac{6x+3y}{6x-4y}$
解析
【分析】
要将分式分子、分母的各项系数化为整数且不改变分式的值，需依据分式的基本性质解题。首先观察分子、分母中各项系数的分母分别为2、4、2、3，先求出这几个数的最小公倍数，再将分子、分母同时乘以这个最小公倍数，即可把所有分数系数转化为整数，同时保证分式的值不变，最后计算化简得到结果即可。
【解析】
首先确定分子、分母各项系数的分母2、4、2、3的最小公倍数是12，根据分式的基本性质（分式的分子与分母同乘一个不等于0的整式，分式的值不变），将分式的分子、分母同时乘以12：
$\frac{(\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}y)×12}{(\frac{1}{2}x-\frac{1}{3}y)×12} = \frac{\frac{1}{2}x×12 + \frac{1}{4}y×12}{\frac{1}{2}x×12 - \frac{1}{3}y×12} = \frac{6x+3y}{6x-4y}$
【答案】
$\frac{6x+3y}{6x-4y}$
【知识点】
1.分式的基本性质 2.最小公倍数计算
【点评】
本题是分式性质的基础应用题型，解题核心是准确找到各项系数分母的最小公倍数，运算时要注意分子、分母的每一项都要同乘该公倍数，避免漏乘导致运算错误。
【难度系数】
0.85
要将分式分子、分母的各项系数化为整数且不改变分式的值，需依据分式的基本性质解题。首先观察分子、分母中各项系数的分母分别为2、4、2、3，先求出这几个数的最小公倍数，再将分子、分母同时乘以这个最小公倍数，即可把所有分数系数转化为整数，同时保证分式的值不变，最后计算化简得到结果即可。
【解析】
首先确定分子、分母各项系数的分母2、4、2、3的最小公倍数是12，根据分式的基本性质（分式的分子与分母同乘一个不等于0的整式，分式的值不变），将分式的分子、分母同时乘以12：
$\frac{(\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}y)×12}{(\frac{1}{2}x-\frac{1}{3}y)×12} = \frac{\frac{1}{2}x×12 + \frac{1}{4}y×12}{\frac{1}{2}x×12 - \frac{1}{3}y×12} = \frac{6x+3y}{6x-4y}$
【答案】
$\frac{6x+3y}{6x-4y}$
【知识点】
1.分式的基本性质 2.最小公倍数计算
【点评】
本题是分式性质的基础应用题型，解题核心是准确找到各项系数分母的最小公倍数，运算时要注意分子、分母的每一项都要同乘该公倍数，避免漏乘导致运算错误。
【难度系数】
0.85
【例3】不改变分式的值，使下列分式的分子和分母不含“-”号.
(1)$\frac{-2a}{b}$；(2)$\frac{-4x}{-5y}$；(3)$\frac{3m}{-n}$；(4)$-\frac{2b}{-3c}$.
(1)$\frac{-2a}{b}$；(2)$\frac{-4x}{-5y}$；(3)$\frac{3m}{-n}$；(4)$-\frac{2b}{-3c}$.
答案
解：根据分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，同时改变其中任意两个，分式的值不变。
(1) $\frac{-2a}{b} = -\frac{2a}{b}$
(2) $\frac{-4x}{-5y} = \frac{4x}{5y}$
(3) $\frac{3m}{-n} = -\frac{3m}{n}$
(4) $-\frac{2b}{-3c} = \frac{2b}{3c}$
(1) $\frac{-2a}{b} = -\frac{2a}{b}$
(2) $\frac{-4x}{-5y} = \frac{4x}{5y}$
(3) $\frac{3m}{-n} = -\frac{3m}{n}$
(4) $-\frac{2b}{-3c} = \frac{2b}{3c}$
解析
【分析】
解题时需用到分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身这三处的符号，同时改变其中任意两处，分式的值保持不变。我们的目标是让分式的分子、分母都不含负号，因此只需观察每道小题中负号所在的位置，通过同时改变两处符号的方式，将负号从分子、分母中移出即可，注意不能只改变一处符号，否则会改变分式的值。
【解析】
根据分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，同时改变其中任意两个，分式的值不变。
(1) 分子带负号，分母和分式本身为正，将分子的负号移到分式前，改变分子和分式本身两处符号：$\frac{-2a}{b} = -\frac{2a}{b}$
(2) 分子、分母均带负号，同时改变分子、分母两处符号：$\frac{-4x}{-5y} = \frac{4x}{5y}$
(3) 分母带负号，分子和分式本身为正，将分母的负号移到分式前，改变分母和分式本身两处符号：$\frac{3m}{-n} = -\frac{3m}{n}$
(4) 分式本身和分母均带负号，同时改变分式本身和分母两处符号：$-\frac{2b}{-3c} = \frac{2b}{3c}$
【答案】
(1) $-\frac{2a}{b}$；(2) $\frac{4x}{5y}$；(3) $-\frac{3m}{n}$；(4) $\frac{2b}{3c}$
【知识点】
分式的符号法则；分式的基本性质
【点评】
本题是分式符号化简的基础题型，核心是掌握分式三处符号的变化规律，解题时需注意必须同时改变两处符号才能保证分式值不变，熟练掌握该规则可为后续分式的运算打好基础。
【难度系数】
0.85
解题时需用到分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身这三处的符号，同时改变其中任意两处，分式的值保持不变。我们的目标是让分式的分子、分母都不含负号，因此只需观察每道小题中负号所在的位置，通过同时改变两处符号的方式，将负号从分子、分母中移出即可，注意不能只改变一处符号，否则会改变分式的值。
【解析】
根据分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，同时改变其中任意两个，分式的值不变。
(1) 分子带负号，分母和分式本身为正，将分子的负号移到分式前，改变分子和分式本身两处符号：$\frac{-2a}{b} = -\frac{2a}{b}$
(2) 分子、分母均带负号，同时改变分子、分母两处符号：$\frac{-4x}{-5y} = \frac{4x}{5y}$
(3) 分母带负号，分子和分式本身为正，将分母的负号移到分式前，改变分母和分式本身两处符号：$\frac{3m}{-n} = -\frac{3m}{n}$
(4) 分式本身和分母均带负号，同时改变分式本身和分母两处符号：$-\frac{2b}{-3c} = \frac{2b}{3c}$
【答案】
(1) $-\frac{2a}{b}$；(2) $\frac{4x}{5y}$；(3) $-\frac{3m}{n}$；(4) $\frac{2b}{3c}$
【知识点】
分式的符号法则；分式的基本性质
【点评】
本题是分式符号化简的基础题型，核心是掌握分式三处符号的变化规律，解题时需注意必须同时改变两处符号才能保证分式值不变，熟练掌握该规则可为后续分式的运算打好基础。
【难度系数】
0.85
