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14. 当$x$取何值时，下列分式有意义以及无意义？
(1) $\dfrac{x^2 +1}{(x-2)(x-3)}$；
(2) $\dfrac{x^2 +2}{|x| -2}$；
(3) $\dfrac{3x}{x^2 +1}$。
(1) $\dfrac{x^2 +1}{(x-2)(x-3)}$；
(2) $\dfrac{x^2 +2}{|x| -2}$；
(3) $\dfrac{3x}{x^2 +1}$。
答案
解：
(1) 令分母$(x-2)(x-3)=0$，解得$x=2$或$x=3$。
因此，当$x ≠ 2$且$x ≠ 3$时，分式$\dfrac{x^2 +1}{(x-2)(x-3)}$有意义；
当$x=2$或$x=3$时，该分式无意义。
(2) 令分母$|x|-2=0$，解得$x=2$或$x=-2$。
因此，当$x ≠ 2$且$x ≠ -2$时，分式$\dfrac{x^2 +2}{|x| -2}$有意义；
当$x=2$或$x=-2$时，该分式无意义。
(3) 对任意实数$x$，都有$x^2 ≥ 0$，因此$x^2+1 ≥ 1$，分母$x^2+1$恒不为0。
因此，当$x$取任意实数时，分式$\dfrac{3x}{x^2 +1}$都有意义；不存在使该分式无意义的$x$的值。
(1) 令分母$(x-2)(x-3)=0$，解得$x=2$或$x=3$。
因此，当$x ≠ 2$且$x ≠ 3$时，分式$\dfrac{x^2 +1}{(x-2)(x-3)}$有意义；
当$x=2$或$x=3$时，该分式无意义。
(2) 令分母$|x|-2=0$，解得$x=2$或$x=-2$。
因此，当$x ≠ 2$且$x ≠ -2$时，分式$\dfrac{x^2 +2}{|x| -2}$有意义；
当$x=2$或$x=-2$时，该分式无意义。
(3) 对任意实数$x$，都有$x^2 ≥ 0$，因此$x^2+1 ≥ 1$，分母$x^2+1$恒不为0。
因此，当$x$取任意实数时，分式$\dfrac{3x}{x^2 +1}$都有意义；不存在使该分式无意义的$x$的值。
解析
【分析】
解决分式有无意义的问题，核心要牢记规则：分式有意义的条件是分母不等于0，分式无意义的条件是分母等于0。解题按以下步骤思考：①先找到每个分式的分母表达式；②令分母等于0，解出此时x的取值，这些取值就是让分式无意义的x的值；③除开这些取值之外的x，都能让分式有意义；如果分母恒不等于0，那么x取任意实数时分式都有意义，不存在无意义的情况。
【解析】
(1) 令分母$(x-2)(x-3)=0$，解得$x=2$或$x=3$。
因此，当$x ≠ 2$且$x ≠ 3$时，分式$\dfrac{x^2 +1}{(x-2)(x-3)}$有意义；
当$x=2$或$x=3$时，该分式无意义。
(2) 令分母$|x|-2=0$，解得$x=2$或$x=-2$。
因此，当$x ≠ 2$且$x ≠ -2$时，分式$\dfrac{x^2 +2}{|x| -2}$有意义；
当$x=2$或$x=-2$时，该分式无意义。
(3) 对任意实数$x$，都有$x^2 ≥ 0$，因此$x^2+1 ≥ 1$，分母$x^2+1$恒不为0。
因此，当$x$取任意实数时，分式$\dfrac{3x}{x^2 +1}$都有意义；不存在使该分式无意义的$x$的值。
【答案】
(1) 有意义：$x≠2$且$x≠3$；无意义：$x=2$或$x=3$
(2) 有意义：$x≠2$且$x≠-2$；无意义：$x=2$或$x=-2$
(3) 有意义：$x$为任意实数；无不存在使该分式无意义的$x$的值
【知识点】
分式有意义的条件、绝对值方程、平方的非负性
【点评】
本题是分式相关的基础题型，重点考查对分式有无意义判定规则的掌握，解题时需注意区分逻辑连接词“或”“且”的使用，同时要会利用平方的非负性判断分母是否恒不为0。
【难度系数】
0.85
解决分式有无意义的问题，核心要牢记规则：分式有意义的条件是分母不等于0，分式无意义的条件是分母等于0。解题按以下步骤思考：①先找到每个分式的分母表达式；②令分母等于0，解出此时x的取值，这些取值就是让分式无意义的x的值；③除开这些取值之外的x，都能让分式有意义；如果分母恒不等于0，那么x取任意实数时分式都有意义，不存在无意义的情况。
【解析】
(1) 令分母$(x-2)(x-3)=0$，解得$x=2$或$x=3$。
因此，当$x ≠ 2$且$x ≠ 3$时，分式$\dfrac{x^2 +1}{(x-2)(x-3)}$有意义；
当$x=2$或$x=3$时，该分式无意义。
(2) 令分母$|x|-2=0$，解得$x=2$或$x=-2$。
因此，当$x ≠ 2$且$x ≠ -2$时，分式$\dfrac{x^2 +2}{|x| -2}$有意义；
当$x=2$或$x=-2$时，该分式无意义。
(3) 对任意实数$x$，都有$x^2 ≥ 0$，因此$x^2+1 ≥ 1$，分母$x^2+1$恒不为0。
因此，当$x$取任意实数时，分式$\dfrac{3x}{x^2 +1}$都有意义；不存在使该分式无意义的$x$的值。
【答案】
(1) 有意义：$x≠2$且$x≠3$；无意义：$x=2$或$x=3$
(2) 有意义：$x≠2$且$x≠-2$；无意义：$x=2$或$x=-2$
(3) 有意义：$x$为任意实数；无不存在使该分式无意义的$x$的值
【知识点】
分式有意义的条件、绝对值方程、平方的非负性
【点评】
本题是分式相关的基础题型，重点考查对分式有无意义判定规则的掌握，解题时需注意区分逻辑连接词“或”“且”的使用，同时要会利用平方的非负性判断分母是否恒不为0。
【难度系数】
0.85
15. 当x为何整数值时，分式$\frac{2}{x-1}$的值为整数？
答案
解：
要使分式$\frac{2}{x-1}$有意义，则$x-1≠0$，即$x≠1$。
因为x是整数，且分式$\frac{2}{x-1}$的值为整数，所以$x-1$是2的整数约数。
2的整数约数为$\pm1$，$\pm2$：
当$x-1=1$时，解得$x=2$；
当$x-1=-1$时，解得$x=0$；
当$x-1=2$时，解得$x=3$；
当$x-1=-2$时，解得$x=-1$。
综上，当x为-1、0、2、3时，分式$\frac{2}{x-1}$的值为整数。
要使分式$\frac{2}{x-1}$有意义，则$x-1≠0$，即$x≠1$。
因为x是整数，且分式$\frac{2}{x-1}$的值为整数，所以$x-1$是2的整数约数。
2的整数约数为$\pm1$，$\pm2$：
当$x-1=1$时，解得$x=2$；
当$x-1=-1$时，解得$x=0$；
当$x-1=2$时，解得$x=3$；
当$x-1=-2$时，解得$x=-1$。
综上，当x为-1、0、2、3时，分式$\frac{2}{x-1}$的值为整数。
解析
【分析】
解题需分两步思考：首先要保证分式有意义，因此先确定分母不为0的取值限制；其次要使分式的值为整数，说明分母必须是分子的整数约数，分子为2，只需找出2的所有正负整数约数，再分别令分母等于这些约数求解x的整数值即可，最后验证所得x是否满足分式有意义的条件。
【解析】
要使分式$\frac{2}{x-1}$有意义，则分母不为0，即$x-1 ≠ 0$，解得$x ≠ 1$。
已知x是整数，且分式$\frac{2}{x-1}$的值为整数，因此$x-1$是2的整数约数。
2的整数约数为$\pm1$、$\pm2$，分情况计算：
当$x-1=1$时，解得$x=2$；
当$x-1=-1$时，解得$x=0$；
当$x-1=2$时，解得$x=3$；
当$x-1=-2$时，解得$x=-1$。
以上所得x均为整数，且都满足$x ≠ 1$，符合要求。
【答案】
当x为-1、0、2、3时，分式$\frac{2}{x-1}$的值为整数。
【知识点】
1.分式有意义的条件 2.分式的值 3.整数约数
【点评】
本题是分式求值的典型题型，解题核心是理解“分式值为整数时，分母是分子的整数约数”，易错点是容易遗漏负约数导致漏解，解题时要全面枚举所有可能的约数，同时牢记分式有意义的前提限制。
【难度系数】
0.7
解题需分两步思考：首先要保证分式有意义，因此先确定分母不为0的取值限制；其次要使分式的值为整数，说明分母必须是分子的整数约数，分子为2，只需找出2的所有正负整数约数，再分别令分母等于这些约数求解x的整数值即可，最后验证所得x是否满足分式有意义的条件。
【解析】
要使分式$\frac{2}{x-1}$有意义，则分母不为0，即$x-1 ≠ 0$，解得$x ≠ 1$。
已知x是整数，且分式$\frac{2}{x-1}$的值为整数，因此$x-1$是2的整数约数。
2的整数约数为$\pm1$、$\pm2$，分情况计算：
当$x-1=1$时，解得$x=2$；
当$x-1=-1$时，解得$x=0$；
当$x-1=2$时，解得$x=3$；
当$x-1=-2$时，解得$x=-1$。
以上所得x均为整数，且都满足$x ≠ 1$，符合要求。
【答案】
当x为-1、0、2、3时，分式$\frac{2}{x-1}$的值为整数。
【知识点】
1.分式有意义的条件 2.分式的值 3.整数约数
【点评】
本题是分式求值的典型题型，解题核心是理解“分式值为整数时，分母是分子的整数约数”，易错点是容易遗漏负约数导致漏解，解题时要全面枚举所有可能的约数，同时牢记分式有意义的前提限制。
【难度系数】
0.7
16. (推理能力)已知分式$\frac{a(b - c)+b(c - b)}{a - c}$(a,b,c均为正实数)有意义且值为0，若以a,b,c的值为三条线段的长构造三角形，则此三角形一定为().
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
答案
A
解析
【分析】
解决本题首先要明确分式值为0的两个必备条件：分子等于0，且分母不等于0，二者缺一不可。第一步先根据分母不为0得到边的不等关系，第二步对分子进行因式分解，根据分子为0得到边的等量关系，最后结合三角形的分类判断三角形的形状即可。
【解析】
分式值为0需同时满足两个条件：①分子为0；②分母不为0。
1. 先分析分母：由分式有意义可得 $a - c ≠ 0$，即 $a ≠ c$；
2. 再化简分子：
$\begin{aligned}a(b - c)+b(c - b)&=a(b - c)-b(b - c)\\&=(b - c)(a - b)\end{aligned}$
令分子等于0，即 $(b - c)(a - b)=0$，可得 $b - c=0$ 或 $a - b=0$，也就是 $b=c$ 或 $a=b$；
3. 结合$a ≠ c$的条件，可知三条线段a、b、c中至少有两条长度相等，因此围成的三角形一定是等腰三角形，且不可能是等边三角形（等边要求三边相等，与$a ≠ c$矛盾），题目未给出边长的平方关系，无法判断是否为直角三角形。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 分式值为0的条件
2. 提公因式法因式分解
3. 等腰三角形判定
【点评】
本题是代数与几何的综合基础题，解题时需注意不要遗漏分式分母不为0的隐含条件，避免误判为等边三角形，解题的关键是熟练掌握分式的性质和三角形的分类标准。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确分式值为0的两个必备条件：分子等于0，且分母不等于0，二者缺一不可。第一步先根据分母不为0得到边的不等关系，第二步对分子进行因式分解，根据分子为0得到边的等量关系，最后结合三角形的分类判断三角形的形状即可。
【解析】
分式值为0需同时满足两个条件：①分子为0；②分母不为0。
1. 先分析分母：由分式有意义可得 $a - c ≠ 0$，即 $a ≠ c$；
2. 再化简分子：
$\begin{aligned}a(b - c)+b(c - b)&=a(b - c)-b(b - c)\\&=(b - c)(a - b)\end{aligned}$
令分子等于0，即 $(b - c)(a - b)=0$，可得 $b - c=0$ 或 $a - b=0$，也就是 $b=c$ 或 $a=b$；
3. 结合$a ≠ c$的条件，可知三条线段a、b、c中至少有两条长度相等，因此围成的三角形一定是等腰三角形，且不可能是等边三角形（等边要求三边相等，与$a ≠ c$矛盾），题目未给出边长的平方关系，无法判断是否为直角三角形。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 分式值为0的条件
2. 提公因式法因式分解
3. 等腰三角形判定
【点评】
本题是代数与几何的综合基础题，解题时需注意不要遗漏分式分母不为0的隐含条件，避免误判为等边三角形，解题的关键是熟练掌握分式的性质和三角形的分类标准。
【难度系数】
0.7
17.(推理能力、运算能力)自学下面材料后，解答问题.
【探究】分母中含有未知数的不等式叫作分式不等式.如：$\frac{x-2}{x+1}＞0$，$\frac{2x+3}{x-1}＜0$等.那么如何求出它们的解集呢？
根据我们学过的有理数除法法则可知，两数相除，同号得正，异号得负.其字母表达式为：
(1)若$a＞0,b＞0$，则$\frac{a}{b}＞0$；
若$a＜0,b＜0$，则$\frac{a}{b}＞0$.
(2)若$a＞0,b＜0$，则$\frac{a}{b}＜0$；
若$a＜0,b＞0$，则$\frac{a}{b}＜0$.
反之:(3)若$\frac{a}{b}＞0$，则$\begin{cases} a＞0, \\ b＞0 \end{cases}$或$\begin{cases} a＜0, \\ b＜0. \end{cases}$
(4)若$\frac{a}{b}＜0$，则.
【应用】根据上述材料，求分式不等式$\frac{x-2}{x+1}＞0$的解集.
【探究】分母中含有未知数的不等式叫作分式不等式.如：$\frac{x-2}{x+1}＞0$，$\frac{2x+3}{x-1}＜0$等.那么如何求出它们的解集呢？
根据我们学过的有理数除法法则可知，两数相除，同号得正，异号得负.其字母表达式为：
(1)若$a＞0,b＞0$，则$\frac{a}{b}＞0$；
若$a＜0,b＜0$，则$\frac{a}{b}＞0$.
(2)若$a＞0,b＜0$，则$\frac{a}{b}＜0$；
若$a＜0,b＞0$，则$\frac{a}{b}＜0$.
反之:(3)若$\frac{a}{b}＞0$，则$\begin{cases} a＞0, \\ b＞0 \end{cases}$或$\begin{cases} a＜0, \\ b＜0. \end{cases}$
(4)若$\frac{a}{b}＜0$，则.
【应用】根据上述材料，求分式不等式$\frac{x-2}{x+1}＞0$的解集.
答案
解：
(4) $\begin{cases} a＞0, \\ b＜0 \end{cases}$或$\begin{cases} a＜0, \\ b＞0 \end{cases}$
对于分式不等式$\frac{x-2}{x+1}＞0$，根据有理数除法同号得正的法则，可得：
① $\begin{cases} x-2＞0, \\ x+1＞0 \end{cases}$ 或 ② $\begin{cases} x-2＜0, \\ x+1＜0 \end{cases}$
解不等式组①：
由$x-2＞0$得$x＞2$，
由$x+1＞0$得$x＞-1$，
所以不等式组①的解集为$x＞2$。
解不等式组②：
由$x-2＜0$得$x＜2$，
由$x+1＜0$得$x＜-1$，
所以不等式组②的解集为$x＜-1$。
综上，分式不等式$\frac{x-2}{x+1}＞0$的解集为$x＞2$或$x＜-1$。
(4) $\begin{cases} a＞0, \\ b＜0 \end{cases}$或$\begin{cases} a＜0, \\ b＞0 \end{cases}$
对于分式不等式$\frac{x-2}{x+1}＞0$，根据有理数除法同号得正的法则，可得：
① $\begin{cases} x-2＞0, \\ x+1＞0 \end{cases}$ 或 ② $\begin{cases} x-2＜0, \\ x+1＜0 \end{cases}$
解不等式组①：
由$x-2＞0$得$x＞2$，
由$x+1＞0$得$x＞-1$，
所以不等式组①的解集为$x＞2$。
解不等式组②：
由$x-2＜0$得$x＜2$，
由$x+1＜0$得$x＜-1$，
所以不等式组②的解集为$x＜-1$。
综上，分式不等式$\frac{x-2}{x+1}＞0$的解集为$x＞2$或$x＜-1$。
解析
【分析】
这是一道材料阅读型题目，解题时首先要读懂材料给出的有理数除法的符号规律：两数相除，同号得正、异号得负，反之商的符号也能反推分子分母的符号关系。第(4)空可直接根据“异号得负”的逆用填写；求解分式不等式时，我们可以利用材料给出的规律，将分式大于0的问题转化为两个一元一次不等式组，分别求解两个不等式组后合并解集即可，核心是把未知的分式不等式转化为已经学过的一元一次不等式组问题来解决。
【解析】
1. 填写第(4)空：
根据“两数相除，异号得负”的逆用，若$\frac{a}{b}＜0$，则分子分母异号，即$\begin{cases} a＞0, \\ b＜0 \end{cases}$或$\begin{cases} a＜0, \\ b＞0 \end{cases}$。
2. 求解分式不等式$\frac{x-2}{x+1}＞0$：
根据“两数相除，同号得正”的规律，可将分式不等式转化为以下两个不等式组：
① $\begin{cases} x-2＞0, \\ x+1＞0 \end{cases}$ ② $\begin{cases} x-2＜0, \\ x+1＜0 \end{cases}$
解不等式组①：
解$x-2＞0$得$x＞2$，解$x+1＞0$得$x＞-1$，取两个解集的公共部分，得不等式组①的解集为$x＞2$。
解不等式组②：
解$x-2＜0$得$x＜2$，解$x+1＜0$得$x＜-1$，取两个解集的公共部分，得不等式组②的解集为$x＜-1$。
将两个不等式组的解集合并，即为原分式不等式的解集。
【答案】
(4)$\begin{cases} a＞0, \\ b＜0 \end{cases}$或$\begin{cases} a＜0, \\ b＞0 \end{cases}$；$\frac{x-2}{x+1}＞0$的解集为$x＞2$或$x＜-1$
【知识点】
分式不等式求解；一元一次不等式组解法；有理数除法符号规则
【点评】
本题属于新定义类阅读题，考查知识迁移应用能力，解题的关键是理解材料给出的规律，将分式不等式转化为熟悉的一元一次不等式组求解，渗透了分类讨论和转化的数学思想。
【难度系数】
0.7
这是一道材料阅读型题目，解题时首先要读懂材料给出的有理数除法的符号规律：两数相除，同号得正、异号得负，反之商的符号也能反推分子分母的符号关系。第(4)空可直接根据“异号得负”的逆用填写；求解分式不等式时，我们可以利用材料给出的规律，将分式大于0的问题转化为两个一元一次不等式组，分别求解两个不等式组后合并解集即可，核心是把未知的分式不等式转化为已经学过的一元一次不等式组问题来解决。
【解析】
1. 填写第(4)空：
根据“两数相除，异号得负”的逆用，若$\frac{a}{b}＜0$，则分子分母异号，即$\begin{cases} a＞0, \\ b＜0 \end{cases}$或$\begin{cases} a＜0, \\ b＞0 \end{cases}$。
2. 求解分式不等式$\frac{x-2}{x+1}＞0$：
根据“两数相除，同号得正”的规律，可将分式不等式转化为以下两个不等式组：
① $\begin{cases} x-2＞0, \\ x+1＞0 \end{cases}$ ② $\begin{cases} x-2＜0, \\ x+1＜0 \end{cases}$
解不等式组①：
解$x-2＞0$得$x＞2$，解$x+1＞0$得$x＞-1$，取两个解集的公共部分，得不等式组①的解集为$x＞2$。
解不等式组②：
解$x-2＜0$得$x＜2$，解$x+1＜0$得$x＜-1$，取两个解集的公共部分，得不等式组②的解集为$x＜-1$。
将两个不等式组的解集合并，即为原分式不等式的解集。
【答案】
(4)$\begin{cases} a＞0, \\ b＜0 \end{cases}$或$\begin{cases} a＜0, \\ b＞0 \end{cases}$；$\frac{x-2}{x+1}＞0$的解集为$x＞2$或$x＜-1$
【知识点】
分式不等式求解；一元一次不等式组解法；有理数除法符号规则
【点评】
本题属于新定义类阅读题，考查知识迁移应用能力，解题的关键是理解材料给出的规律，将分式不等式转化为熟悉的一元一次不等式组求解，渗透了分类讨论和转化的数学思想。
【难度系数】
0.7
