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5. 下列分式中的字母满足什么条件时，分式有意义？
(1)$\frac{5}{x}$；(2)$\frac{x+3}{x-3}$；(3)$\frac{3x}{2x+4}$；(4)$\frac{x-2}{x^2+2}$.
(1)$\frac{5}{x}$；(2)$\frac{x+3}{x-3}$；(3)$\frac{3x}{2x+4}$；(4)$\frac{x-2}{x^2+2}$.
答案
解：
(1) 要使分式$\frac{5}{x}$有意义，需满足分母不为0，即$x≠0$，
因此当$x≠0$时，分式$\frac{5}{x}$有意义。
(2) 要使分式$\frac{x+3}{x-3}$有意义，需满足分母不为0，即$x-3≠0$，解得$x≠3$，
因此当$x≠3$时，分式$\frac{x+3}{x-3}$有意义。
(3) 要使分式$\frac{3x}{2x+4}$有意义，需满足分母不为0，即$2x+4≠0$，解得$x≠-2$，
因此当$x≠-2$时，分式$\frac{3x}{2x+4}$有意义。
(4) 要使分式$\frac{x-2}{x^2+2}$有意义，需满足分母不为0，即$x^2+2≠0$。
因为对任意实数$x$，都有$x^2≥0$，所以$x^2+2≥2＞0$恒成立，
因此$x$取任意实数时，分式$\frac{x-2}{x^2+2}$都有意义。
(1) 要使分式$\frac{5}{x}$有意义，需满足分母不为0，即$x≠0$，
因此当$x≠0$时，分式$\frac{5}{x}$有意义。
(2) 要使分式$\frac{x+3}{x-3}$有意义，需满足分母不为0，即$x-3≠0$，解得$x≠3$，
因此当$x≠3$时，分式$\frac{x+3}{x-3}$有意义。
(3) 要使分式$\frac{3x}{2x+4}$有意义，需满足分母不为0，即$2x+4≠0$，解得$x≠-2$，
因此当$x≠-2$时，分式$\frac{3x}{2x+4}$有意义。
(4) 要使分式$\frac{x-2}{x^2+2}$有意义，需满足分母不为0，即$x^2+2≠0$。
因为对任意实数$x$，都有$x^2≥0$，所以$x^2+2≥2＞0$恒成立，
因此$x$取任意实数时，分式$\frac{x-2}{x^2+2}$都有意义。
解析
【分析】
判断分式有意义的核心依据是“分式的分母不能为0”。解题时先定位每个分式的分母，令分母不等于0，列出关于字母的不等式，解不等式即可得到字母的取值范围；若分母是含平方的式子，可结合平方的非负性判断分母的取值，若分母恒大于0，则字母可取全体实数。
【解析】
(1) 要使分式$\frac{5}{x}$有意义，需满足分母不为0，即$x≠0$，
因此当$x≠0$时，分式$\frac{5}{x}$有意义。
(2) 要使分式$\frac{x+3}{x-3}$有意义，需满足分母不为0，即$x-3≠0$，解得$x≠3$，
因此当$x≠3$时，分式$\frac{x+3}{x-3}$有意义。
(3) 要使分式$\frac{3x}{2x+4}$有意义，需满足分母不为0，即$2x+4≠0$，解得$x≠-2$，
因此当$x≠-2$时，分式$\frac{3x}{2x+4}$有意义。
(4) 要使分式$\frac{x-2}{x^2+2}$有意义，需满足分母不为0，即$x^2+2≠0$。
因为对任意实数$x$，都有$x^2≥0$，所以$x^2+2≥2＞0$恒成立，
因此$x$取任意实数时，分式$\frac{x-2}{x^2+2}$都有意义。
【答案】
(1)$x≠0$；(2)$x≠3$；(3)$x≠-2$；(4)$x$为任意实数
【知识点】
分式有意义的条件；解一元一次不等式；平方的非负性
【点评】
本题是分式章节的基础常规题，重点考察分式有意义的判定规则，解题核心是抓住“分母不为0”的要求，第四问需要结合平方的非负性分析分母的取值，属于需要熟练掌握的基础题型。
【难度系数】
0.9
判断分式有意义的核心依据是“分式的分母不能为0”。解题时先定位每个分式的分母，令分母不等于0，列出关于字母的不等式，解不等式即可得到字母的取值范围；若分母是含平方的式子，可结合平方的非负性判断分母的取值，若分母恒大于0，则字母可取全体实数。
【解析】
(1) 要使分式$\frac{5}{x}$有意义，需满足分母不为0，即$x≠0$，
因此当$x≠0$时，分式$\frac{5}{x}$有意义。
(2) 要使分式$\frac{x+3}{x-3}$有意义，需满足分母不为0，即$x-3≠0$，解得$x≠3$，
因此当$x≠3$时，分式$\frac{x+3}{x-3}$有意义。
(3) 要使分式$\frac{3x}{2x+4}$有意义，需满足分母不为0，即$2x+4≠0$，解得$x≠-2$，
因此当$x≠-2$时，分式$\frac{3x}{2x+4}$有意义。
(4) 要使分式$\frac{x-2}{x^2+2}$有意义，需满足分母不为0，即$x^2+2≠0$。
因为对任意实数$x$，都有$x^2≥0$，所以$x^2+2≥2＞0$恒成立，
因此$x$取任意实数时，分式$\frac{x-2}{x^2+2}$都有意义。
【答案】
(1)$x≠0$；(2)$x≠3$；(3)$x≠-2$；(4)$x$为任意实数
【知识点】
分式有意义的条件；解一元一次不等式；平方的非负性
【点评】
本题是分式章节的基础常规题，重点考察分式有意义的判定规则，解题核心是抓住“分母不为0”的要求，第四问需要结合平方的非负性分析分母的取值，属于需要熟练掌握的基础题型。
【难度系数】
0.9
6. 使分式$\dfrac{-2}{1-3x}$的值为正的条件是（）.
A.$x＜\dfrac{1}{3}$
B.$x＞\dfrac{1}{3}$
C.$x＜0$
D.$x＞0$
A.$x＜\dfrac{1}{3}$
B.$x＞\dfrac{1}{3}$
C.$x＜0$
D.$x＞0$
答案
B
解析
【分析】
要判断分式的值为正的条件，需依据有理数除法“同号得正，异号得负”的符号法则推导。首先观察分子的符号，本题分子是-2，为负数，因此要让分式的值为正，分母也必须为负数，再通过解一元一次不等式即可求出x的取值范围，解不等式时注意除以负数时不等号方向要改变。
【解析】
要使分式$\dfrac{-2}{1-3x}$的值为正，根据有理数除法同号得正的法则，分子与分母符号需相同。
已知分子$-2＜0$，因此分母需满足：
$1-3x ＜ 0$
移项得：$-3x ＜ -1$
不等式两边同时除以$-3$，不等号方向改变，解得：
$x ＞ \dfrac{1}{3}$
【答案】
B
【知识点】
分式值的正负判断，解一元一次不等式
【点评】
本题是基础类题型，核心是利用有理数乘除法的符号规则确定分母的取值范围，易错点为解不等式时忽略除以负数后不等号方向要改变，平时练习时要注意规避这类错误。
【难度系数】
0.8
要判断分式的值为正的条件，需依据有理数除法“同号得正，异号得负”的符号法则推导。首先观察分子的符号，本题分子是-2，为负数，因此要让分式的值为正，分母也必须为负数，再通过解一元一次不等式即可求出x的取值范围，解不等式时注意除以负数时不等号方向要改变。
【解析】
要使分式$\dfrac{-2}{1-3x}$的值为正，根据有理数除法同号得正的法则，分子与分母符号需相同。
已知分子$-2＜0$，因此分母需满足：
$1-3x ＜ 0$
移项得：$-3x ＜ -1$
不等式两边同时除以$-3$，不等号方向改变，解得：
$x ＞ \dfrac{1}{3}$
【答案】
B
【知识点】
分式值的正负判断，解一元一次不等式
【点评】
本题是基础类题型，核心是利用有理数乘除法的符号规则确定分母的取值范围，易错点为解不等式时忽略除以负数后不等号方向要改变，平时练习时要注意规避这类错误。
【难度系数】
0.8
7. (2024济南)若分式$\frac{x-1}{2x}$的值为0，则x的值是。
答案
解：
要使分式$\frac{x-1}{2x}$的值为0，需满足
$\begin{cases}x-1=0 \\2x ≠ 0\end{cases}$
由$x-1=0$解得$x=1$，
当$x=1$时，$2x=2≠0$，分母不为0，符合条件。
所以$x$的值是$\boldsymbol{1}$。
要使分式$\frac{x-1}{2x}$的值为0，需满足
$\begin{cases}x-1=0 \\2x ≠ 0\end{cases}$
由$x-1=0$解得$x=1$，
当$x=1$时，$2x=2≠0$，分母不为0，符合条件。
所以$x$的值是$\boldsymbol{1}$。
解析
【分析】
要解决分式值为0的问题，需明确两个必须同时满足的条件：一是分式的分子的值为0，二是分式的分母不为0（保证分式有意义），二者缺一不可。解题时先求解分子为0对应的方程，得到x的候选值，再将候选值代入分母验证，排除使分母为0的情况，最终得到正确的x值。
【解析】
要使分式$\frac{x-1}{2x}$的值为0，需同时满足：
$\begin{cases}x-1=0 \\2x ≠ 0\end{cases}$
第一步，解方程$x-1=0$，可得$x=1$；
第二步，验证分母：当$x=1$时，$2x=2×1=2≠0$，满足分母不为0的要求，符合条件。
因此x的值为1。
【答案】
$\boldsymbol{1}$
【知识点】
1. 分式值为0的条件
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对分式值为0成立条件的理解，易错点是容易忽略分母不能为0的前提，仅通过分子为0直接得出结果，解题时要牢记两个条件需同时满足。
【难度系数】
0.8
要解决分式值为0的问题，需明确两个必须同时满足的条件：一是分式的分子的值为0，二是分式的分母不为0（保证分式有意义），二者缺一不可。解题时先求解分子为0对应的方程，得到x的候选值，再将候选值代入分母验证，排除使分母为0的情况，最终得到正确的x值。
【解析】
要使分式$\frac{x-1}{2x}$的值为0，需同时满足：
$\begin{cases}x-1=0 \\2x ≠ 0\end{cases}$
第一步，解方程$x-1=0$，可得$x=1$；
第二步，验证分母：当$x=1$时，$2x=2×1=2≠0$，满足分母不为0的要求，符合条件。
因此x的值为1。
【答案】
$\boldsymbol{1}$
【知识点】
1. 分式值为0的条件
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对分式值为0成立条件的理解，易错点是容易忽略分母不能为0的前提，仅通过分子为0直接得出结果，解题时要牢记两个条件需同时满足。
【难度系数】
0.8
8. 当$x$取何值时，下列分式的值为0？
(1)$\frac{x+2}{2x-3}$；(2)
；(3)$\frac{x+4}{x^2+2}$
(1)$\frac{x+2}{2x-3}$；(2)
；(3)$\frac{x+4}{x^2+2}$答案
解：
(1) 令分子$x+2=0$，解得$x=-2$。
当$x=-2$时，分母$2x-3=2×(-2)-3=-7≠0$，
所以当$x=-2$时，分式$\frac{x+2}{2x-3}$的值为0。
(2) 令分子$|x|-2=0$，解得$x=2$或$x=-2$。
由分母$x+2≠0$，得$x≠-2$，
所以当$x=2$时，分式$\frac{|x|-2}{x+2}$的值为0。
(3) 令分子$x+4=0$，解得$x=-4$。
因为对任意实数$x$，都有$x^2≥0$，因此$x^2+2≥2≠0$，分母恒不为0，
所以当$x=-4$时，分式$\frac{x+4}{x^2+2}$的值为0。
(1) 令分子$x+2=0$，解得$x=-2$。
当$x=-2$时，分母$2x-3=2×(-2)-3=-7≠0$，
所以当$x=-2$时，分式$\frac{x+2}{2x-3}$的值为0。
(2) 令分子$|x|-2=0$，解得$x=2$或$x=-2$。
由分母$x+2≠0$，得$x≠-2$，
所以当$x=2$时，分式$\frac{|x|-2}{x+2}$的值为0。
(3) 令分子$x+4=0$，解得$x=-4$。
因为对任意实数$x$，都有$x^2≥0$，因此$x^2+2≥2≠0$，分母恒不为0，
所以当$x=-4$时，分式$\frac{x+4}{x^2+2}$的值为0。
解析
【分析】
要使分式的值为0，必须同时满足两个核心条件：①分子的取值等于0；②分母的取值不等于0，两个条件缺一不可。解题时先令各分式的分子为0，求解得到x的候选值，再将候选值代入分母验证，排除使分母为0的x值，剩下的就是符合要求的结果。
【解析】
(1) 令分子$x+2=0$，解得$x=-2$。
当$x=-2$时，分母$2x-3=2×(-2)-3=-7≠0$，满足分母不为0的要求，因此此时分式值为0。
(2) 令分子$|x|-2=0$，解得$x=2$或$x=-2$。
由分母不为0的要求得$x+2≠0$，即$x≠-2$，因此排除$x=-2$，所以$x=2$时分式值为0。
(3) 令分子$x+4=0$，解得$x=-4$。
因为对任意实数$x$，都有$x^2≥0$，因此$x^2+2≥2≠0$，分母恒不为0，所以$x=-4$时分式值为0。
【答案】
(1)$x=-2$；(2)$x=2$；(3)$x=-4$
【知识点】
分式值为0的条件，绝对值方程求解，平方的非负性
【点评】
本题是分式的基础题型，核心考查分式值为0的成立条件，解题时切忌只关注分子为0而忽略分母不能为0的要求，遇到含绝对值、偶次幂的式子时要注意多解验证和分母取值范围的判断，避免漏验导致出错。
【难度系数】
0.7
要使分式的值为0，必须同时满足两个核心条件：①分子的取值等于0；②分母的取值不等于0，两个条件缺一不可。解题时先令各分式的分子为0，求解得到x的候选值，再将候选值代入分母验证，排除使分母为0的x值，剩下的就是符合要求的结果。
【解析】
(1) 令分子$x+2=0$，解得$x=-2$。
当$x=-2$时，分母$2x-3=2×(-2)-3=-7≠0$，满足分母不为0的要求，因此此时分式值为0。
(2) 令分子$|x|-2=0$，解得$x=2$或$x=-2$。
由分母不为0的要求得$x+2≠0$，即$x≠-2$，因此排除$x=-2$，所以$x=2$时分式值为0。
(3) 令分子$x+4=0$，解得$x=-4$。
因为对任意实数$x$，都有$x^2≥0$，因此$x^2+2≥2≠0$，分母恒不为0，所以$x=-4$时分式值为0。
【答案】
(1)$x=-2$；(2)$x=2$；(3)$x=-4$
【知识点】
分式值为0的条件，绝对值方程求解，平方的非负性
【点评】
本题是分式的基础题型，核心考查分式值为0的成立条件，解题时切忌只关注分子为0而忽略分母不能为0的要求，遇到含绝对值、偶次幂的式子时要注意多解验证和分母取值范围的判断，避免漏验导致出错。
【难度系数】
0.7
9.5个人n天完成一项工作，设总的工作量为1，则平均每人每天的工作量是（）.
A.$\frac{5}{n}$
B.$\frac{n}{5}$
C.$5n$
D.$\frac{1}{5n}$
A.$\frac{5}{n}$
B.$\frac{n}{5}$
C.$5n$
D.$\frac{1}{5n}$
答案
D
解析
【分析】
我们可以结合工程问题的基本数量关系思考：工程问题中，总工作量=人均工作效率×人数×工作时间。本题已知总工作量为1，工作人数是5，工作时长是n天，要求平均每人每天的工作量也就是人均工作效率，我们可以将公式变形为“人均工作效率=总工作量÷人数÷工作时间”计算，也可以通过设未知数列方程求解。
【解析】
方法一：根据数量关系分步计算
1. 先算5个人1天的工作量：总工作量为1，n天完成，因此5个人1天完成的工作量为$\frac{1}{n}$；
2. 再算1个人1天的工作量：5个人1天完成$\frac{1}{n}$，因此平均每人每天的工作量为$\frac{1}{n}÷5=\frac{1}{5n}$。
方法二：列方程求解
设平均每人每天的工作量为$x$，根据总工作量的等量关系可列方程：
$5× n× x=1$
解得$x=\frac{1}{5n}$。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
工程问题数量关系，分式的应用
【点评】
本题是工程类基础题型，核心考查工作量、工作效率、人数、工作时间四者之间的数量关系，同时结合分式的实际意义考查列式能力，熟练掌握基本数量关系即可快速解答。
【难度系数】
0.9
我们可以结合工程问题的基本数量关系思考：工程问题中，总工作量=人均工作效率×人数×工作时间。本题已知总工作量为1，工作人数是5，工作时长是n天，要求平均每人每天的工作量也就是人均工作效率，我们可以将公式变形为“人均工作效率=总工作量÷人数÷工作时间”计算，也可以通过设未知数列方程求解。
【解析】
方法一：根据数量关系分步计算
1. 先算5个人1天的工作量：总工作量为1，n天完成，因此5个人1天完成的工作量为$\frac{1}{n}$；
2. 再算1个人1天的工作量：5个人1天完成$\frac{1}{n}$，因此平均每人每天的工作量为$\frac{1}{n}÷5=\frac{1}{5n}$。
方法二：列方程求解
设平均每人每天的工作量为$x$，根据总工作量的等量关系可列方程：
$5× n× x=1$
解得$x=\frac{1}{5n}$。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
工程问题数量关系，分式的应用
【点评】
本题是工程类基础题型，核心考查工作量、工作效率、人数、工作时间四者之间的数量关系，同时结合分式的实际意义考查列式能力，熟练掌握基本数量关系即可快速解答。
【难度系数】
0.9
10. 在一项居民住房改造工程中,某社区计划用$a$天完成建筑面积为$1\ 000\ \mathrm{m}^2$的居民住房改造任务.若实际比计划提前$b$天完成改造任务,则代数式“$\dfrac{1\ 000}{a-b}$”表示的意义为.
答案
解：
由题意可知，实际完成全部改造任务所用的天数为$(a-b)$天，总改造建筑面积为$1000\ \mathrm{m}^2$，因此代数式$\dfrac{1000}{a-b}$表示的意义为：实际每天完成的居民住房改造的建筑面积（单位：$\mathrm{m}^2$）。
由题意可知，实际完成全部改造任务所用的天数为$(a-b)$天，总改造建筑面积为$1000\ \mathrm{m}^2$，因此代数式$\dfrac{1000}{a-b}$表示的意义为：实际每天完成的居民住房改造的建筑面积（单位：$\mathrm{m}^2$）。
解析
【分析】
要确定代数式的意义，首先拆分代数式各部分对应的实际量：首先分子1000是本次改造的总建筑面积，即工程问题中的工作总量；再看分母$a-b$，已知计划$a$天完成任务，实际提前$b$天，因此$a-b$是实际完成全部改造任务的工作时间。结合工程问题的基本数量关系“工作效率=工作总量÷工作时间”，即可推出该代数式的实际含义。
【解析】
解：由题意可得，本次居民住房改造的总建筑面积为$1000\ \mathrm{m}^2$，
因为计划用$a$天完成，实际比计划提前$b$天，所以实际完成改造任务的总天数为$(a-b)$天，
根据“工作效率 = 工作总量 $÷$ 工作时间”的关系，$\dfrac{1\ 000}{a-b}$表示的是总工作量除以实际工作时间，即实际每天完成的居民住房改造的建筑面积。
【答案】
实际每天完成的居民住房改造的建筑面积（单位：$\mathrm{m}^2$）
【知识点】
代数式的意义，工程问题基本数量关系
【点评】
本题结合生活实际考查代数式的含义，解题关键是明确每个字母代表的实际意义，再结合常见的数量关系分析即可，属于基础题型，需熟练掌握这类问题的分析逻辑。
【难度系数】
0.9
要确定代数式的意义，首先拆分代数式各部分对应的实际量：首先分子1000是本次改造的总建筑面积，即工程问题中的工作总量；再看分母$a-b$，已知计划$a$天完成任务，实际提前$b$天，因此$a-b$是实际完成全部改造任务的工作时间。结合工程问题的基本数量关系“工作效率=工作总量÷工作时间”，即可推出该代数式的实际含义。
【解析】
解：由题意可得，本次居民住房改造的总建筑面积为$1000\ \mathrm{m}^2$，
因为计划用$a$天完成，实际比计划提前$b$天，所以实际完成改造任务的总天数为$(a-b)$天，
根据“工作效率 = 工作总量 $÷$ 工作时间”的关系，$\dfrac{1\ 000}{a-b}$表示的是总工作量除以实际工作时间，即实际每天完成的居民住房改造的建筑面积。
【答案】
实际每天完成的居民住房改造的建筑面积（单位：$\mathrm{m}^2$）
【知识点】
代数式的意义，工程问题基本数量关系
【点评】
本题结合生活实际考查代数式的含义，解题关键是明确每个字母代表的实际意义，再结合常见的数量关系分析即可，属于基础题型，需熟练掌握这类问题的分析逻辑。
【难度系数】
0.9
11. 下列关于分式的判断,正确的是().
A.当$x=2$时,$\frac{x+1}{x-2}$的值为0
B.无论$x$为何值,$\frac{3}{x^2+1}$的值总为正数
C.无论$x$为何值,$\frac{3}{x+1}$不可能得整数值
D.当$x≠3$时,$\frac{x-3}{x}$有意义
A.当$x=2$时,$\frac{x+1}{x-2}$的值为0
B.无论$x$为何值,$\frac{3}{x^2+1}$的值总为正数
C.无论$x$为何值,$\frac{3}{x+1}$不可能得整数值
D.当$x≠3$时,$\frac{x-3}{x}$有意义
答案
B
解析
【分析】
这是一道考查分式基本概念的选择题，解题时需逐个分析选项，结合对应知识点逐一判断对错：①判断分式值为0时，要同时满足分子为0、分母不为0两个条件；②判断分式有意义时，只需保证分母不为0；③判断分式取值正负，要结合分子、分母的正负性分析；④判断分式能否取整数值，可代入特殊值验证。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：分式值为0的条件是分子为0且分母不为0。当$x=2$时，分母$x-2=0$，此时$\frac{x+1}{x-2}$无意义，不可能值为0，故A错误；
B选项：对任意实数$x$，都有$x^2≥0$，因此$x^2+1≥1＞0$，分子3为正数，正数除以正数结果为正，所以无论$x$为何值，$\frac{3}{x^2+1}$的值总为正数，故B正确；
C选项：当$x=0$时，$\frac{3}{x+1}=\frac{3}{1}=3$，是整数，故C错误；
D选项：分式有意义的条件是分母不为0，$\frac{x-3}{x}$的分母为$x$，因此当$x≠0$时该分式有意义，不是$x≠3$，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
分式有意义的条件；分式值为0的条件；分式的取值判断
【点评】
本题属于分式相关的基础常规题，解题核心是牢记分式的各类判定条件，易错点是容易忽略分式有意义的前提要求。
【难度系数】
0.8
这是一道考查分式基本概念的选择题，解题时需逐个分析选项，结合对应知识点逐一判断对错：①判断分式值为0时，要同时满足分子为0、分母不为0两个条件；②判断分式有意义时，只需保证分母不为0；③判断分式取值正负，要结合分子、分母的正负性分析；④判断分式能否取整数值，可代入特殊值验证。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：分式值为0的条件是分子为0且分母不为0。当$x=2$时，分母$x-2=0$，此时$\frac{x+1}{x-2}$无意义，不可能值为0，故A错误；
B选项：对任意实数$x$，都有$x^2≥0$，因此$x^2+1≥1＞0$，分子3为正数，正数除以正数结果为正，所以无论$x$为何值，$\frac{3}{x^2+1}$的值总为正数，故B正确；
C选项：当$x=0$时，$\frac{3}{x+1}=\frac{3}{1}=3$，是整数，故C错误；
D选项：分式有意义的条件是分母不为0，$\frac{x-3}{x}$的分母为$x$，因此当$x≠0$时该分式有意义，不是$x≠3$，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
分式有意义的条件；分式值为0的条件；分式的取值判断
【点评】
本题属于分式相关的基础常规题，解题核心是牢记分式的各类判定条件，易错点是容易忽略分式有意义的前提要求。
【难度系数】
0.8
12.(易错题)已知式子$\frac{(x-8)(x+1)}{|x|-1}$，当$x=$时，分式无意义；当$x=$时，分式的值为0。
答案
$\boldsymbol{1或-1}$；$\boldsymbol{8}$
解析
【分析】
解决本题需要牢记分式的两个核心性质：①分式无意义的判定规则是分母的值为0；②分式的值为0需要同时满足两个条件：分子的值为0，且分母的值不为0，两个条件缺一不可。解题时先根据无意义的规则列方程求解对应的x值，再先求分子为0时x的可能取值，最后排除掉会使分母为0的取值，即可得到分式值为0时的x。
【解析】
1. 求分式无意义时的x值：
分式无意义时分母为0，列方程得：
$|x|-1=0$
解得$|x|=1$，因此$x=1$或$x=-1$。
2. 求分式值为0时的x值：
分式值为0需同时满足分子为0、分母不为0：
首先令分子为0，列方程得：
$(x-8)(x+1)=0$
解得$x=8$或$x=-1$。
结合分母不为0的限制$x≠\pm1$，舍去不符合要求的$x=-1$，最终得$x=8$。
【答案】
$\boldsymbol{1或-1}$；$\boldsymbol{8}$
【知识点】
分式无意义的判定；分式值为0的条件；绝对值方程求解
【点评】
本题是分式部分的典型易错题，易错点为求解分式值为0的情况时，容易忽略分母不能为0的限制，误把x=-1也计入答案，解题时要牢记分式值为0的两个条件必须同时满足，建议先验证分母的限制条件再确定最终解。
【难度系数】
0.65
解决本题需要牢记分式的两个核心性质：①分式无意义的判定规则是分母的值为0；②分式的值为0需要同时满足两个条件：分子的值为0，且分母的值不为0，两个条件缺一不可。解题时先根据无意义的规则列方程求解对应的x值，再先求分子为0时x的可能取值，最后排除掉会使分母为0的取值，即可得到分式值为0时的x。
【解析】
1. 求分式无意义时的x值：
分式无意义时分母为0，列方程得：
$|x|-1=0$
解得$|x|=1$，因此$x=1$或$x=-1$。
2. 求分式值为0时的x值：
分式值为0需同时满足分子为0、分母不为0：
首先令分子为0，列方程得：
$(x-8)(x+1)=0$
解得$x=8$或$x=-1$。
结合分母不为0的限制$x≠\pm1$，舍去不符合要求的$x=-1$，最终得$x=8$。
【答案】
$\boldsymbol{1或-1}$；$\boldsymbol{8}$
【知识点】
分式无意义的判定；分式值为0的条件；绝对值方程求解
【点评】
本题是分式部分的典型易错题，易错点为求解分式值为0的情况时，容易忽略分母不能为0的限制，误把x=-1也计入答案，解题时要牢记分式值为0的两个条件必须同时满足，建议先验证分母的限制条件再确定最终解。
【难度系数】
0.65
13. 数学来源于生活. 众所周知，“糖水加糖会变甜”，人们常用糖水中糖与糖水的比表示糖水的甜度. 若 $ a \ \mathrm{g} $ 糖水中含 $ b \ \mathrm{g} $ 糖 ($ a＞b＞0 $)，则该糖水的甜度为 $\dfrac{b}{a}$. 若再加入 $ m \ \mathrm{g} $ ($ m＞0 $)糖，此时糖水的甜度为 ______，充分搅匀后，感觉糖水更甜了. 由此我们可以得到一个不等式 ______. (均用含 $ a,b,m $ 的式子表示)
答案
解：
加入$m\ \mathrm{g}$糖后，糖的总质量为$(b+m)\ \mathrm{g}$，糖水总质量为$(a+m)\ \mathrm{g}$，因此此时糖水的甜度为$\dfrac{b+m}{a+m}$。
糖水更甜说明新的甜度大于原来的甜度，由此得到不等式$\dfrac{b+m}{a+m}＞\dfrac{b}{a}\ (a＞b＞0,m＞0)$。
加入$m\ \mathrm{g}$糖后，糖的总质量为$(b+m)\ \mathrm{g}$，糖水总质量为$(a+m)\ \mathrm{g}$，因此此时糖水的甜度为$\dfrac{b+m}{a+m}$。
糖水更甜说明新的甜度大于原来的甜度，由此得到不等式$\dfrac{b+m}{a+m}＞\dfrac{b}{a}\ (a＞b＞0,m＞0)$。
解析
【分析】
解题时先明确糖水甜度的定义是糖的质量与糖水总质量的比值，第一步先计算加入m g糖后糖的总质量和糖水的总质量，两者作比即可得到新的甜度；再根据“糖水更甜”说明新的甜度比原来的甜度大，据此即可列出对应的不等式。
【解析】
加入$m\ \mathrm{g}$糖后，糖的总质量为原来的糖质量加新加入的糖质量，即$(b+m)\ \mathrm{g}$，糖水总质量为原来的糖水质量加新加入的糖质量，即$(a+m)\ \mathrm{g}$，结合甜度的定义，此时糖水的甜度为$\dfrac{b+m}{a+m}$。
因为搅匀后糖水更甜，说明新的甜度大于原来的甜度，原来的甜度为$\dfrac{b}{a}$，因此可得到不等式：$\dfrac{b+m}{a+m}＞\dfrac{b}{a}\ (a＞b＞0,m＞0)$。
【答案】
$\dfrac{b+m}{a+m}$；$\dfrac{b+m}{a+m}＞\dfrac{b}{a}\ (a＞b＞0,m＞0)$
【知识点】
1. 分式的实际应用 2. 不等式的意义
【点评】
本题结合生活中“糖水加糖变甜”的现象考查数学知识的应用，解题核心是准确理解甜度的含义，以及生活现象对应的不等关系，题目设置贴近生活，能很好地考查知识的迁移应用能力。
【难度系数】
0.8
解题时先明确糖水甜度的定义是糖的质量与糖水总质量的比值，第一步先计算加入m g糖后糖的总质量和糖水的总质量，两者作比即可得到新的甜度；再根据“糖水更甜”说明新的甜度比原来的甜度大，据此即可列出对应的不等式。
【解析】
加入$m\ \mathrm{g}$糖后，糖的总质量为原来的糖质量加新加入的糖质量，即$(b+m)\ \mathrm{g}$，糖水总质量为原来的糖水质量加新加入的糖质量，即$(a+m)\ \mathrm{g}$，结合甜度的定义，此时糖水的甜度为$\dfrac{b+m}{a+m}$。
因为搅匀后糖水更甜，说明新的甜度大于原来的甜度，原来的甜度为$\dfrac{b}{a}$，因此可得到不等式：$\dfrac{b+m}{a+m}＞\dfrac{b}{a}\ (a＞b＞0,m＞0)$。
【答案】
$\dfrac{b+m}{a+m}$；$\dfrac{b+m}{a+m}＞\dfrac{b}{a}\ (a＞b＞0,m＞0)$
【知识点】
1. 分式的实际应用 2. 不等式的意义
【点评】
本题结合生活中“糖水加糖变甜”的现象考查数学知识的应用，解题核心是准确理解甜度的含义，以及生活现象对应的不等关系，题目设置贴近生活，能很好地考查知识的迁移应用能力。
【难度系数】
0.8
