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8. 如图,在$□ ABCD$中,以 A 为圆心,AB 长为半径画弧交 AD 于点 F,连结 BF;再分别以 B,F 为圆心,大于$\frac{1}{2}BF$长为半径画弧,两弧交于点 G,连结 AG 并延长交 BC 于点 E。以下结论:①AE 平分$∠BAD$;②BF 平分$∠ABC$;③BF 垂直平分线段AE;④$BE=BF$。其中正确的是 （
A.①②③
B.①②④
C.②③④
D.①②③④
A
）A.①②③
B.①②④
C.②③④
D.①②③④
答案
8.A
解析
【分析】
首先根据作图步骤判断AE为角平分线，再结合平行四边形性质推导各结论：1. 由作图（以A为圆心画弧得AF=AB，以B、F为圆心画弧交于G作射线AG），可知AE是∠BAD的角平分线，故①正确；2. 利用平行四边形AD//BC得∠DAE=∠BEA，结合AE平分∠BAD推出AB=BE，再由AF=AB且AF//BE，得四边形ABEF是平行四边形，又AB=AF，故ABEF为菱形；3. 根据菱形性质，对角线互相垂直平分且平分内角，可判断②、③正确；4. 菱形对角线与边长不一定相等，故④错误。
【解析】
解：根据作图方法可知，AE是∠BAD的角平分线，因此①正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠DAE=∠BEA，
又
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE；
由作图得AF=AB，
∴AF=BE，又AF//BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
结合AB=AF，可知平行四边形ABEF是菱形；
根据菱形的性质：对角线互相垂直平分，且对角线平分内角，
∴BF垂直平分线段AE，BF平分∠ABC，故②、③正确；
菱形的边长相等，但对角线BF与边长BE不一定相等，故④错误；
综上，正确结论为①②③，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形性质、菱形判定与性质、角平分线作图
【点评】
本题结合基本作图与平行四边形、菱形的性质进行结论判断，需熟练掌握几何图形的性质，逐步推导分析，难度适中。
【难度系数】
0.5
首先根据作图步骤判断AE为角平分线，再结合平行四边形性质推导各结论：1. 由作图（以A为圆心画弧得AF=AB，以B、F为圆心画弧交于G作射线AG），可知AE是∠BAD的角平分线，故①正确；2. 利用平行四边形AD//BC得∠DAE=∠BEA，结合AE平分∠BAD推出AB=BE，再由AF=AB且AF//BE，得四边形ABEF是平行四边形，又AB=AF，故ABEF为菱形；3. 根据菱形性质，对角线互相垂直平分且平分内角，可判断②、③正确；4. 菱形对角线与边长不一定相等，故④错误。
【解析】
解：根据作图方法可知，AE是∠BAD的角平分线，因此①正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠DAE=∠BEA，
又
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE；
由作图得AF=AB，
∴AF=BE，又AF//BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
结合AB=AF，可知平行四边形ABEF是菱形；
根据菱形的性质：对角线互相垂直平分，且对角线平分内角，
∴BF垂直平分线段AE，BF平分∠ABC，故②、③正确；
菱形的边长相等，但对角线BF与边长BE不一定相等，故④错误；
综上，正确结论为①②③，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形性质、菱形判定与性质、角平分线作图
【点评】
本题结合基本作图与平行四边形、菱形的性质进行结论判断，需熟练掌握几何图形的性质，逐步推导分析，难度适中。
【难度系数】
0.5
9.如图,菱形ABCD的边长为8,∠A=45°,分别以点A,D为圆心,大于$\frac{1}{2}AD$的长为半径画弧,两弧相交于M,N两点,直线MN交AB于点E,连结CE,则CE的长为
4√6
。答案
9.$4\sqrt{6}$
解析
【分析】
首先，根据作图可知直线MN是AD的垂直平分线，利用垂直平分线的性质得到AE=DE；再结合菱形的性质，得到边长和角的度数；接着通过等腰三角形的性质求出AE的长度，进而得到EB的长度；最后利用余弦定理计算CE的长度。
【解析】
1. 由作图步骤可知，直线MN是线段AD的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，可得AE=DE。
2. 因为四边形ABCD是菱形，边长为8，所以AD=AB=8，且∠A + ∠B=180°。已知∠A=45°，因此∠B=180°-45°=135°。
3. 在△ADE中，AE=DE，∠A=45°，故∠ADE=∠A=45°，则∠AED=180°-45°-45°=90°，即△ADE为等腰直角三角形。根据勾股定理：AD²=AE²+DE²，又AE=DE，代入AD=8得：8²=2AE²，解得AE=4√2，因此EB=AB - AE=8 - 4√2。
4. 在△EBC中，BC=8，EB=8 - 4√2，∠B=135°，根据余弦定理：
CE² = EB² + BC² - 2·EB·BC·cos∠B
代入数值计算：
CE²=(8 - 4√2)² + 8² - 2×(8 - 4√2)×8×cos135°
= (64 - 64√2 + 32) + 64 - 2×(8 - 4√2)×8×(-√2/2)
= 96 - 64√2 + 64 + (8 - 4√2)×8×√2
= 160 - 64√2 + 64√2 - 64
= 96
所以CE=√96=4√6。
【答案】
4√6
【知识点】
菱形的性质、垂直平分线的性质、余弦定理
【点评】
本题结合菱形的性质与垂直平分线的作图，考查几何图形中线段长度的计算，关键是利用垂直平分线得到等腰三角形，再结合余弦定理求解，综合性较强。
【难度系数】
0.5
首先，根据作图可知直线MN是AD的垂直平分线，利用垂直平分线的性质得到AE=DE；再结合菱形的性质，得到边长和角的度数；接着通过等腰三角形的性质求出AE的长度，进而得到EB的长度；最后利用余弦定理计算CE的长度。
【解析】
1. 由作图步骤可知，直线MN是线段AD的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，可得AE=DE。
2. 因为四边形ABCD是菱形，边长为8，所以AD=AB=8，且∠A + ∠B=180°。已知∠A=45°，因此∠B=180°-45°=135°。
3. 在△ADE中，AE=DE，∠A=45°，故∠ADE=∠A=45°，则∠AED=180°-45°-45°=90°，即△ADE为等腰直角三角形。根据勾股定理：AD²=AE²+DE²，又AE=DE，代入AD=8得：8²=2AE²，解得AE=4√2，因此EB=AB - AE=8 - 4√2。
4. 在△EBC中，BC=8，EB=8 - 4√2，∠B=135°，根据余弦定理：
CE² = EB² + BC² - 2·EB·BC·cos∠B
代入数值计算：
CE²=(8 - 4√2)² + 8² - 2×(8 - 4√2)×8×cos135°
= (64 - 64√2 + 32) + 64 - 2×(8 - 4√2)×8×(-√2/2)
= 96 - 64√2 + 64 + (8 - 4√2)×8×√2
= 160 - 64√2 + 64√2 - 64
= 96
所以CE=√96=4√6。
【答案】
4√6
【知识点】
菱形的性质、垂直平分线的性质、余弦定理
【点评】
本题结合菱形的性质与垂直平分线的作图，考查几何图形中线段长度的计算，关键是利用垂直平分线得到等腰三角形，再结合余弦定理求解，综合性较强。
【难度系数】
0.5
10.如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=6,以B为圆心,适当的长为半径画弧,交BD,BC于M,N两点;再分别以M,N为圆心,大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径画弧,两弧交于点P,作射线BP交CD于点F;再以B为圆心,BD的长为半径画弧,交射线BP于点E,则EF的长为
10−3√5
。答案
10.$10-3\sqrt{5}$
解析
【分析】
本题需结合矩形性质、尺规作图（角平分线）及相关定理解题：首先利用矩形勾股定理求对角线BD长度；再通过角平分线定理确定F点位置，计算BF长度；最后根据作图得BE=BD，从而求出EF=BE-BF。
【解析】
1. 在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，由勾股定理得对角线BD的长度：
$BD=\sqrt{AB^2 + BC^2}=\sqrt{8^2 + 6^2}=\sqrt{100}=10$。
2. 由尺规作图可知，射线BP是∠DBC的角平分线，根据角平分线定理：在△DBC中，BF平分∠DBC，交CD于F，则$\frac{DF}{FC}=\frac{BD}{BC}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}$。
又CD=AB=8，故$DF+FC=8$，设FC=3k，DF=5k，得$5k+3k=8$，解得k=1，即FC=3。
3. 设B为坐标原点，BC在x轴，BA在y轴，则F点坐标为(6,3)，计算BF长度：
$BF=\sqrt{6^2 + 3^2}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$。
4. 由作图知，BE是以B为圆心、BD为半径的弧，故BE=BD=10，且E在射线BP上，因此：
$EF=BE - BF=10 - 3\sqrt{5}$。
【答案】
$10 - 3\sqrt{5}$
【知识点】
矩形性质、勾股定理、角平分线定理
【点评】
本题结合尺规作图与几何定理，关键是理解角平分线的作图及BE=BD的条件，考查学生对几何知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.5
本题需结合矩形性质、尺规作图（角平分线）及相关定理解题：首先利用矩形勾股定理求对角线BD长度；再通过角平分线定理确定F点位置，计算BF长度；最后根据作图得BE=BD，从而求出EF=BE-BF。
【解析】
1. 在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，由勾股定理得对角线BD的长度：
$BD=\sqrt{AB^2 + BC^2}=\sqrt{8^2 + 6^2}=\sqrt{100}=10$。
2. 由尺规作图可知，射线BP是∠DBC的角平分线，根据角平分线定理：在△DBC中，BF平分∠DBC，交CD于F，则$\frac{DF}{FC}=\frac{BD}{BC}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}$。
又CD=AB=8，故$DF+FC=8$，设FC=3k，DF=5k，得$5k+3k=8$，解得k=1，即FC=3。
3. 设B为坐标原点，BC在x轴，BA在y轴，则F点坐标为(6,3)，计算BF长度：
$BF=\sqrt{6^2 + 3^2}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$。
4. 由作图知，BE是以B为圆心、BD为半径的弧，故BE=BD=10，且E在射线BP上，因此：
$EF=BE - BF=10 - 3\sqrt{5}$。
【答案】
$10 - 3\sqrt{5}$
【知识点】
矩形性质、勾股定理、角平分线定理
【点评】
本题结合尺规作图与几何定理，关键是理解角平分线的作图及BE=BD的条件，考查学生对几何知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.5
11.如图 1,已知线段 AB,BC,用无刻度的直尺和圆规求作$□ ABCD$。
第 11 题图
以下是小颖同学的作法:
如图 2,先作$∠ ABC$的平分线 BM,以点 A 为圆心,AB 长为半径画弧,交 BM 于点 E,连结 AE 并延长,再以点 A 为圆心,BC长为半径画弧,交射线 AE 于点 D,连结 AD,CD,则四边形ABCD 为平行四边形。
(1)小颖的作法是否正确? 若正确,请给出证明;
(2)在图 1 中作一个与小颖不同的方法的$□ ABCD$(保留作图痕迹,不需要证明);
(3)如图 3,在小颖同学的作法的条件下,连结 EC,若$∠ A + ∠ BCE = 180°,AB = 4,BC = 6$,求四边形 ABCD 的面积。
第 11 题图
以下是小颖同学的作法:
如图 2,先作$∠ ABC$的平分线 BM,以点 A 为圆心,AB 长为半径画弧,交 BM 于点 E,连结 AE 并延长,再以点 A 为圆心,BC长为半径画弧,交射线 AE 于点 D,连结 AD,CD,则四边形ABCD 为平行四边形。
(1)小颖的作法是否正确? 若正确,请给出证明;
(2)在图 1 中作一个与小颖不同的方法的$□ ABCD$(保留作图痕迹,不需要证明);
(3)如图 3,在小颖同学的作法的条件下,连结 EC,若$∠ A + ∠ BCE = 180°,AB = 4,BC = 6$,求四边形 ABCD 的面积。
答案
(1)小颖的作法正确。证明：根据作法可得：$∠ ABE=∠ CBE$，$AB=AE$，$AD=BC$。因为$AB=AE$，所以$∠ ABE=∠ AEB$，所以$∠ AEB=∠ CBE$，所以$AD// BC$。因为$AD=BC$，所以四边形ABCD为平行四边形。
(2)如图，以点C为圆心，AB为半径画圆弧，以点A为圆心，BC为半径画圆弧，两圆弧交于点D。根据作法可知$AB=CD$，$AD=BC$，由两组对边相等的四边形即可判定ABCD是平行四边形；
(3)过点C作$CF⊥ AD$，F为垂足。因为四边形ABCD是平行四边形，所以$∠ A+∠ D=180°$，$AD// BC$。因为$∠ A+∠ BCE=180°$，所以$∠ D=∠ BCE$。因为$AD// BC$，所以$∠ CED=∠ D$，所以$EC=CD$。因为$CF⊥ ED$，所以$EF=DF=\frac{DE}{2}=\frac{AD-AE}{2}=\frac{BC-AB}{2}=1$。在$\mathrm{Rt}△ CFE$中，$CE=CD=AB=4$，$EF=1$，则$CF=\sqrt{CE^2-EF^2}=\sqrt{15}$。所以四边形ABCD的面积$=BC· CF=6\sqrt{15}$。
解析
【分析】
本题分为三小问，第(1)问需根据小颖的作法，结合等腰三角形性质、平行线判定及平行四边形判定定理判断作法是否正确；第(2)问需掌握平行四边形的不同作图方法，利用两组对边相等等方法作图；第(3)问需结合平行四边形性质、等腰三角形性质、勾股定理求出平行四边形的高，进而计算面积。
【解析】
(1) 小颖的作法正确，证明如下：
由作法可知，BM平分∠ABC，故∠ABE=∠CBE；
以点A为圆心，AB长为半径画弧交BM于E，因此AB=AE，△ABE为等腰三角形，得∠ABE=∠AEB；
所以∠AEB=∠CBE，根据内错角相等，两直线平行，得AD//BC；
又以点A为圆心，BC长为半径画弧交AE于D，故AD=BC；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，因此四边形ABCD为平行四边形，作法正确。
(2) 另一种作□ABCD的方法：以点C为圆心，AB长为半径画弧，以点A为圆心，BC长为半径画弧，两弧交于点D，连接AD、CD，四边形ABCD即为所求（保留两弧交点及弧的作图痕迹）。
(3) 计算四边形ABCD的面积：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，∠A + ∠D = 180°，AD=BC=6，CD=AB=4；
已知∠A + ∠BCE = 180°，
∴ ∠D = ∠BCE；
∵ AD//BC，
∴ ∠CED = ∠BCE，故∠CED = ∠D，得EC=CD=4；
∵ AE=AB=4，
∴ DE=AD - AE=6 - 4=2；
过点C作CF⊥AD，垂足为F，
∵ EC=CD，CF⊥DE，
∴ F为DE中点，EF=DF=DE/2=1；
在Rt△CEF中，由勾股定理得：CF=√(CE² - EF²)=√(4² -1²)=√15；
∴ 四边形ABCD的面积=BC×CF=6×√15=6√15。
【答案】
【知识点】
平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查平行四边形的作图、判定及性质，结合等腰三角形、勾股定理的应用，需学生熟练掌握相关定理，具备几何推理与计算能力，是一道综合性较强的几何题。
【难度系数】
0.5
本题分为三小问，第(1)问需根据小颖的作法，结合等腰三角形性质、平行线判定及平行四边形判定定理判断作法是否正确；第(2)问需掌握平行四边形的不同作图方法，利用两组对边相等等方法作图；第(3)问需结合平行四边形性质、等腰三角形性质、勾股定理求出平行四边形的高，进而计算面积。
【解析】
(1) 小颖的作法正确，证明如下：
由作法可知，BM平分∠ABC，故∠ABE=∠CBE；
以点A为圆心，AB长为半径画弧交BM于E，因此AB=AE，△ABE为等腰三角形，得∠ABE=∠AEB；
所以∠AEB=∠CBE，根据内错角相等，两直线平行，得AD//BC；
又以点A为圆心，BC长为半径画弧交AE于D，故AD=BC；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，因此四边形ABCD为平行四边形，作法正确。
(2) 另一种作□ABCD的方法：以点C为圆心，AB长为半径画弧，以点A为圆心，BC长为半径画弧，两弧交于点D，连接AD、CD，四边形ABCD即为所求（保留两弧交点及弧的作图痕迹）。
(3) 计算四边形ABCD的面积：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，∠A + ∠D = 180°，AD=BC=6，CD=AB=4；
已知∠A + ∠BCE = 180°，
∴ ∠D = ∠BCE；
∵ AD//BC，
∴ ∠CED = ∠BCE，故∠CED = ∠D，得EC=CD=4；
∵ AE=AB=4，
∴ DE=AD - AE=6 - 4=2；
过点C作CF⊥AD，垂足为F，
∵ EC=CD，CF⊥DE，
∴ F为DE中点，EF=DF=DE/2=1；
在Rt△CEF中，由勾股定理得：CF=√(CE² - EF²)=√(4² -1²)=√15；
∴ 四边形ABCD的面积=BC×CF=6×√15=6√15。
【答案】
【知识点】
平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查平行四边形的作图、判定及性质，结合等腰三角形、勾股定理的应用，需学生熟练掌握相关定理，具备几何推理与计算能力，是一道综合性较强的几何题。
【难度系数】
0.5
