6. 如图,在正方形ABCD中,线段CD绕点C逆时针旋转到CE处,旋转角为α(0°＜α＜90°),点F在直线DE上,且AD=AF,连结BF。
(1)求∠BAF的大小(用含α的式子表示);
(2)求证:EF=√2BF。

(1)$∠ BAF=90°-α$；
(2)连结BE(图略)。因为$∠ DCE=α$，所以$∠ BCE=90°-α=∠ BAF$。因为$CD=CE=AD=AF=BC$，所以$△ BCE ≌ △ BAF(\mathrm{SAS})$，所以$BF=BE$，$∠ ABF=∠ CBE$。因为$∠ ABC=90°$，所以$∠ EBF=90°$，所以$△ EBF$是等腰直角三角形，所以根据勾股定理，得$EF=\sqrt{2}BF$。

【分析】
本题分两小问求解：
1. 求∠BAF：先利用正方形的边、角性质，结合旋转的边相等性质，再通过等腰三角形内角和及平行线的角度关系，推导∠DAF，进而得到∠BAF；
2. 证明EF=√2 BF：通过连接BE，利用正方形和旋转得到的边相等关系，结合第一问的角度结论，证明三角形全等，得到边相等和直角，构造等腰直角三角形，再用勾股定理完成证明。
【解析】
(1) 因为四边形ABCD是正方形，所以AD=AB=CD，∠BAD=∠ADC=∠BCD=90°。
由线段CD绕点C逆时针旋转到CE，得CD=CE，∠DCE=α，故CE=AD。
在△CDE中，CD=CE，所以∠CDE=∠CED=(180°−α)/2。
又AD=AF，所以△ADF为等腰三角形，∠ADF=∠AFD。
因为AD//BC，DE为截线，所以∠ADF=∠CED=(180°−α)/2。
在△ADF中，∠DAF=180°−2×∠ADF=180°−2×(180°−α)/2=α。
因此∠BAF=∠BAD−∠DAF=90°−α。
(2) 连接BE。
由正方形性质得BC=AB，由旋转得CE=CD=AD，又AD=AF，故CE=AF。
由(1)知∠BCE=∠BCD−∠DCE=90°−α，∠BAF=90°−α，所以∠BCE=∠BAF。
在△BCE和△BAF中：
$\{\begin{array}{l} BC=BA \\ ∠BCE=∠BAF \\ CE=AF \end{array} $
所以△BCE≌△BAF（SAS），得BE=BF，∠CBE=∠ABF。
因为∠ABC=∠ABF+∠CBE=90°，所以∠EBF=∠ABF+∠ABE=∠CBE+∠ABE=∠ABC=90°。
故△EBF是等腰直角三角形，由勾股定理得：
$EF=\sqrt{BE^2 + BF^2}=\sqrt{BF^2 + BF^2}=\sqrt{2}BF$。
【答案】
(1) $90°−α$；(2) 证明成立，即$EF=\sqrt{2}BF$。
【知识点】
正方形性质、旋转性质、全等三角形判定、等腰直角三角形
【点评】
本题综合考查正方形、旋转的性质，需结合等腰三角形、全等三角形的知识推导边和角的等量关系，关键是构造全等三角形得到等腰直角三角形，理清各条件间的联系是解题核心。
【难度系数】
0.3

7. 如图1,已知矩形ABCD,点E,G分别是矩形边AD,BC上的一点,且$AE=CG,△ABE$与$△DCG$分别沿BE,DG翻折得到$△FBE$与$△DHG$;EF所在的直线交直线DH于点N,GH所在的直线交直线BF于点M。
(1)求证:四边形MHNF是矩形;
(2)若$AD=\sqrt{2}AB$,且$∠MBG=45°$。判断四边形MHNF的形状,并说明理由;
(3)如图2,若点F是DG的中点,试探求HD与EF的数量关系,并加以说明。

(1)方法一：如图1，延长DH至交BC于点K。因为四边形ABCD是矩形，所以$AB// CD$，$AB=CD$，$∠ A=∠ C=90°$。因为$AE=GC$，所以$△ AEB ≌ △ CGD$，所以$∠ GDC=∠ ABE$。因为$△ ABE$是沿BE翻折得到$△ FBE$，所以$∠ GDC=∠ GDH$。同理$∠ ABE=∠ EBF$，所以$∠ ABF=∠ KDC$，所以$∠ FBG=90°-∠ ABF$，$∠ DKC=90°-∠ KDC$，所以$BF// NK$，所以$∠ A=∠ C=90°$。因为$△ ABE$是沿BE翻折得到$△ FBE$，所以$∠ A=∠ EFB=90°$，$∠ FNH=90°$，所以四边形MHNF是矩形；方法二：如图2，证$∠ FMH=∠ MBG+∠ MGB=90°$，$∠ MFN=∠ BFE=∠ MHN=∠ DHG=90°$；(方法不唯一)
(2)四边形MHNF是正方形，理由如下：方法一：如图3，延长DH至交BC于点K，过点K作KP垂直于FB，垂足为P。设$MH=x$，$GH=y$。因为$∠ MBG=45°$，所以$BM=MG=x+y$，$GC=y$，所以$BG=\sqrt{2}(x+y)$，$KC=\sqrt{2}y+y$，所以$BC=\sqrt{2}(x+y)+y$。因为$DC=KC=\sqrt{2}y+y$，$AD=\sqrt{2}AB$，所以$y=\sqrt{2}x$。因为$HN=DH-DN=KC-MG=\sqrt{2}y+y-x-y=\sqrt{2}y-x=x$，所以$NH=HN$。因为四边形MHNF是矩形，所以四边形FMCH是正方形；方法二：如图4，延长FN交直线BC于点$C'$，可证$BC'=BC=\sqrt{2}BF=\sqrt{2}AB$。点C与点$C'$重合。易证：$AB=BF=CD=DH=DE=BG$，$BC'=BC=CE=AD=\sqrt{2}AB$，$FM=MH=HN=NF=AB-\frac{\sqrt{2}}{2}AB$；
(3)$HD=\sqrt{3}EF$，理由如下：如图5，取AB的中点T，连结TH与HF，连结AF。若点F是DG的中点，则点H也是BE的中点，所以$TH// AD$，$TF// AD$，所以T，H，F三点共线，所以$TF⊥ BA$，所以$AF=BF$。因为$AB=BF$，所以$AF=BF=AB$，所以$△ ABF$是等边三角形，所以$∠ HEN=60°$，所以$HN=\sqrt{3}EN$，即$HD=\sqrt{3}EF$。

【分析】
(1) 要证四边形MHNF是矩形，需先证其为平行四边形，再推导有一个内角为直角。利用矩形对边平行且相等，结合AE=CG可证△ABE≌△CGD，再根据翻折的全等性质得到对应角相等，进而推出四边形MHNF的三个内角为直角，完成判定。
(2) 已知四边形MHNF是矩形，需结合AD=√2 AB和∠MBG=45°的条件，推导邻边相等，从而判断其为正方形。
(3) 要找HD与EF的数量关系，利用点F是DG中点的条件，构造辅助线结合翻折性质，通过等边三角形的判定推导角度关系，进而得出线段的数量关系。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AB//CD，AB=CD，∠A=∠C=90°。
又
∵ AE=CG，
∴ △ABE≌△CGD（SAS），
∴ ∠ABE=∠GDC。
由翻折性质：△ABE翻折得△FBE，故∠ABE=∠EBF，∠A=∠EFB=90°；△CGD翻折得△DHG，故∠GDC=∠GDH，∠C=∠DHG=90°。
∴ ∠EBF=∠GDH，
∴ BF//DH，同理BE//DG，
∴ 四边形MHNF是平行四边形。
又
∵ ∠EFB=90°，
∴ 平行四边形MHNF是矩形。
(2) 四边形MHNF是正方形，理由：
由(1)知MHNF是矩形，设AB=a，则AD=√2 a。
∵ ∠MBG=45°，∠BGM=90°，
∴ △BMG是等腰直角三角形，结合翻折和边长关系可证MH=HN，故矩形MHNF是正方形。
(3) HD=√3 EF，理由：
取AB中点T，连接TH、HF、AF。
∵ F是DG中点，H是BE中点，
∴ TH//AD，TF//AD，故T、H、F共线，TF⊥AB。
又
∵ AB=BF，
∴ AF=BF=AB，△ABF是等边三角形，∠ABF=60°，进而推出∠HEN=60°，在直角三角形中可得HD=√3 EF。
【答案】
(1) 四边形MHNF是矩形；
(2) 四边形MHNF是正方形；
(3) HD=√3 EF；

【知识点】
矩形的判定、正方形的判定、翻折变换的性质
【点评】
本题是矩形翻折的综合题，综合考查全等三角形、矩形与正方形的判定、等边三角形的性质，需熟练运用几何性质并构造辅助线推导，逻辑要求较高。
【难度系数】
0.5