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12.尺规作图:在矩形ABCD中,要求用直尺和圆规作菱形AECF,使点E,F分别在边AB,CD上。
小明:如图1,作AB的中垂线分别交AB,CD于点E,F,连结AF,CE。
小刚:如图2,连结AC,作AC的中垂线分别交AB,CD于点E,F,连结AF,CE。
请选择一位同学的作法,判断是否正确,并说明理由。(注:若全选,按第一种作答评分)
小明:如图1,作AB的中垂线分别交AB,CD于点E,F,连结AF,CE。
小刚:如图2,连结AC,作AC的中垂线分别交AB,CD于点E,F,连结AF,CE。
请选择一位同学的作法,判断是否正确,并说明理由。(注:若全选,按第一种作答评分)
答案
选择小刚的作法，作法正确。理由：设直线EF交AC于点O，因为直线EF为线段AC的垂直平分线，所以$AE=CE$，$AF=CF$，$OA=OC$。因为四边形ABCD为矩形，所以$AB// CD$，所以$∠ EAO=∠ FCO$，$∠ AEO=∠ CFO$，所以$△ AOE ≌ △ COF(\mathrm{AAS})$，所以$CF=AE$，所以$AE=CE=AF=CF$，所以四边形AECF为菱形。故小刚的作法正确。
选择小明的作法，作法不正确。理由：因为直线EF为线段AB的垂直平分线，所以$∠ BEF=90°$，$AE=BE$。因为四边形ABCD为矩形，所以$AB// CD$，$∠ ABC=∠ BCD=90°$，所以四边形BCFE为矩形，所以$BE=CF$，所以$AE=CF$，所以四边形AECF为平行四边形。根据已知条件不能得出四边形AECF为菱形，故小明的作法不正确。
解析
【分析】
要判断两位同学的作法是否正确，需结合垂直平分线的性质、矩形的性质及菱形的判定定理分析。小刚利用AC的中垂线，通过线段相等和三角形全等推导四边相等，可判定菱形；小明利用AB的中垂线仅能得到平行四边形，无法保证邻边相等，不能判定为菱形。
【解析】
选择小刚的作法，作法正确。理由如下：
设直线EF交AC于点O，
∵直线EF为线段AC的垂直平分线，
∴AE=CE，AF=CF，OA=OC。
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB//CD，
∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，
在△AOE和△COF中，
$\{\begin{array}{l}∠EAO=∠FCO \\∠AEO=∠CFO \\OA=OC\end{array} $
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴CF=AE，
∴AE=CE=AF=CF，
∴四边形AECF为菱形，故小刚的作法正确。
若选择小明的作法，作法不正确。理由如下：
∵直线EF为线段AB的垂直平分线，
∴AE=BE，∠BEF=90°。
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB//CD，∠ABC=∠BCD=90°，
∴四边形BCFE为矩形，
∴BE=CF，
∴AE=CF，
又
∵AE//CF，
∴四边形AECF为平行四边形，
但无法得出邻边相等，故不能判定四边形AECF为菱形，因此小明的作法不正确。
【答案】
选择小刚的作法，作法正确；选择小明的作法，作法不正确。
【知识点】
菱形的判定，垂直平分线的性质，矩形的性质
【点评】
本题结合尺规作图考查菱形的判定，需熟练运用垂直平分线性质、矩形性质及全等三角形判定，理清线段关系与图形性质的联系，是几何基础题型。
【难度系数】
0.5
要判断两位同学的作法是否正确，需结合垂直平分线的性质、矩形的性质及菱形的判定定理分析。小刚利用AC的中垂线，通过线段相等和三角形全等推导四边相等，可判定菱形；小明利用AB的中垂线仅能得到平行四边形，无法保证邻边相等，不能判定为菱形。
【解析】
选择小刚的作法，作法正确。理由如下：
设直线EF交AC于点O，
∵直线EF为线段AC的垂直平分线，
∴AE=CE，AF=CF，OA=OC。
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB//CD，
∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，
在△AOE和△COF中，
$\{\begin{array}{l}∠EAO=∠FCO \\∠AEO=∠CFO \\OA=OC\end{array} $
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴CF=AE，
∴AE=CE=AF=CF，
∴四边形AECF为菱形，故小刚的作法正确。
若选择小明的作法，作法不正确。理由如下：
∵直线EF为线段AB的垂直平分线，
∴AE=BE，∠BEF=90°。
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB//CD，∠ABC=∠BCD=90°，
∴四边形BCFE为矩形，
∴BE=CF，
∴AE=CF，
又
∵AE//CF，
∴四边形AECF为平行四边形，
但无法得出邻边相等，故不能判定四边形AECF为菱形，因此小明的作法不正确。
【答案】
选择小刚的作法，作法正确；选择小明的作法，作法不正确。
【知识点】
菱形的判定，垂直平分线的性质，矩形的性质
【点评】
本题结合尺规作图考查菱形的判定，需熟练运用垂直平分线性质、矩形性质及全等三角形判定，理清线段关系与图形性质的联系，是几何基础题型。
【难度系数】
0.5
13.如图,在菱形ABCD中,AC=16,BD=12,点E是CD边上一动点,过点E分别作EF⊥OC于点F,EG⊥OD于点G,连结FG,则FG的最小值为（
A.4
B.4.8
C.5
D.6
B
）A.4
B.4.8
C.5
D.6
答案
13.B
解析
【分析】首先利用菱形对角线互相垂直平分的性质，求出相关线段长度；再通过垂直关系判定四边形OGEF为矩形，结合矩形对角线相等的性质，将求FG的最小值转化为求OE的最小值；最后依据“点到直线的距离垂线段最短”，结合三角形面积法计算出OE的最小值，即可得到FG的最小值。
【解析】
1. 因为四边形ABCD是菱形，AC=16，BD=12，所以AC⊥BD，OC=AC/2=8，OD=BD/2=6，∠COD=90°。
2. 在Rt△COD中，由勾股定理得：CD=√(OC²+OD²)=√(8²+6²)=10。
3. 因为EG⊥OD，EF⊥OC，所以∠OGE=∠OFE=90°，又∠COD=90°，故四边形OGEF是矩形，根据矩形对角线相等，得FG=OE。
4. 要使FG最小，即OE最小，根据“点到直线的距离，垂线段最短”，OE的最小值是点O到CD边的垂线段长度，设该长度为h。
5. 三角形COD的面积：S△COD=(1/2)×OC×OD=(1/2)×8×6=24；同时S△COD=(1/2)×CD×h，代入得(1/2)×10×h=24，解得h=4.8，即FG的最小值为4.8。
【答案】B
【知识点】菱形的性质、矩形的判定与性质、垂线段最短、三角形面积计算
【点评】本题通过转化思想，将线段FG的最值问题转化为点到直线的距离问题，结合矩形性质和面积法求解，是几何最值的典型题型，需掌握相关图形的性质及转化方法。
【难度系数】0.5
【解析】
1. 因为四边形ABCD是菱形，AC=16，BD=12，所以AC⊥BD，OC=AC/2=8，OD=BD/2=6，∠COD=90°。
2. 在Rt△COD中，由勾股定理得：CD=√(OC²+OD²)=√(8²+6²)=10。
3. 因为EG⊥OD，EF⊥OC，所以∠OGE=∠OFE=90°，又∠COD=90°，故四边形OGEF是矩形，根据矩形对角线相等，得FG=OE。
4. 要使FG最小，即OE最小，根据“点到直线的距离，垂线段最短”，OE的最小值是点O到CD边的垂线段长度，设该长度为h。
5. 三角形COD的面积：S△COD=(1/2)×OC×OD=(1/2)×8×6=24；同时S△COD=(1/2)×CD×h，代入得(1/2)×10×h=24，解得h=4.8，即FG的最小值为4.8。
【答案】B
【知识点】菱形的性质、矩形的判定与性质、垂线段最短、三角形面积计算
【点评】本题通过转化思想，将线段FG的最值问题转化为点到直线的距离问题，结合矩形性质和面积法求解，是几何最值的典型题型，需掌握相关图形的性质及转化方法。
【难度系数】0.5
14.如图,在菱形ABCD中,$AD=2\sqrt{3}$,$∠BAD=60°$,BD与AC相交于点O,点P是线段AB上的任意点,以PB为对角线作平行四边形POBQ,连结DQ,则DQ的最小值是 （
A.$2\sqrt{3}$
B.4
C.$\frac{9}{2}$
D.$4\sqrt{3}$
C
）A.$2\sqrt{3}$
B.4
C.$\frac{9}{2}$
D.$4\sqrt{3}$
答案
14.C
解析
【分析】
要解决DQ的最小值问题，需结合菱形、平行四边形的性质推导动点Q的轨迹，再利用点到直线的距离求最值：1. 由菱形边长和∠BAD=60°，确定△ABD为等边三角形，明确对角线交点O的位置；2. 设AB上点P的坐标，根据平行四边形对角线中点重合的性质，推导Q点的轨迹；3. 计算定点D到Q所在直线的距离，即为DQ的最小值。
【解析】
1. 菱形ABCD中，AD=AB=2√3，∠BAD=60°，故△ABD是等边三角形，BD=2√3；对角线AC、BD交于O，O为BD中点，BO=OD=√3。
2. 建立平面直角坐标系：设A(0,0)，B(2√3,0)，D(√3,3)，则对角线交点O的坐标为(3√3/2, 3/2)。
3. 设AB上点P的坐标为(t,0)（0≤t≤2√3），平行四边形POBQ的对角线中点重合，因此Q点坐标满足：Q = P + B - O，代入得Q=(t + √3/2, -3/2)，即Q在直线y=-3/2上。
4. 定点D(√3,3)到直线y=-3/2的距离为|3 - (-3/2)|=9/2，即DQ的最小值为9/2。
【答案】
C
【知识点】
菱形性质、平行四边形性质、点到直线的距离
【点评】
本题结合菱形与平行四边形的性质，通过坐标法推导动点轨迹，利用点到直线的距离求几何最值，关键在于确定Q点的轨迹为水平直线，是几何最值的典型题型，需掌握坐标法的应用。
【难度系数】
0.5
要解决DQ的最小值问题，需结合菱形、平行四边形的性质推导动点Q的轨迹，再利用点到直线的距离求最值：1. 由菱形边长和∠BAD=60°，确定△ABD为等边三角形，明确对角线交点O的位置；2. 设AB上点P的坐标，根据平行四边形对角线中点重合的性质，推导Q点的轨迹；3. 计算定点D到Q所在直线的距离，即为DQ的最小值。
【解析】
1. 菱形ABCD中，AD=AB=2√3，∠BAD=60°，故△ABD是等边三角形，BD=2√3；对角线AC、BD交于O，O为BD中点，BO=OD=√3。
2. 建立平面直角坐标系：设A(0,0)，B(2√3,0)，D(√3,3)，则对角线交点O的坐标为(3√3/2, 3/2)。
3. 设AB上点P的坐标为(t,0)（0≤t≤2√3），平行四边形POBQ的对角线中点重合，因此Q点坐标满足：Q = P + B - O，代入得Q=(t + √3/2, -3/2)，即Q在直线y=-3/2上。
4. 定点D(√3,3)到直线y=-3/2的距离为|3 - (-3/2)|=9/2，即DQ的最小值为9/2。
【答案】
C
【知识点】
菱形性质、平行四边形性质、点到直线的距离
【点评】
本题结合菱形与平行四边形的性质，通过坐标法推导动点轨迹，利用点到直线的距离求几何最值，关键在于确定Q点的轨迹为水平直线，是几何最值的典型题型，需掌握坐标法的应用。
【难度系数】
0.5
