登录
7. 如图，已知$AB=AC$，$AD=AE$，欲说明$△ ABD ≌ △ ACE$，需补充的条件可以是 （）
A.$∠ B=∠ C$
B.$∠ D=∠ E$
C.$∠ 1=∠ 2$
D.$∠ CAD=∠ 2$
第7题图 第8题图 第9题图
A.$∠ B=∠ C$
B.$∠ D=∠ E$
C.$∠ 1=∠ 2$
D.$∠ CAD=∠ 2$
第7题图 第8题图 第9题图
答案
C
解析
已知AB=AC，AD=AE，若补充条件∠1=∠2，可得∠1+∠CAD=∠2+∠CAD，即∠BAD=∠CAE。在△ABD和△ACE中，满足AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，根据SAS可判定△ABD≌△ACE。其余选项中A、B属于SSA，无法判定三角形全等，选项D无法推出两组已知边的夹角相等，不能判定全等。
8.如图，AB⊥CD且AB=CD，E，F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD。若CE=8，BF=5，EF=4，则AD的长度为（）
A.8
B.9
C.10
D.11
A.8
B.9
C.10
D.11
答案
B
解析
∵ AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，
∴ ∠AFB=∠CED=90°，∠A+∠D=90°，∠C+∠D=90°，
∴ ∠A=∠C。
在△ABF和△CDE中：
$\{\begin{array}{l}∠AFB=∠CED \\∠A=∠C \\AB=CD\end{array} $
∴ △ABF ≌ △CDE（AAS），
∴ AF=CE=8，DE=BF=5。
∵ AF=AE+EF，EF=4，
∴ AE=AF-EF=8-4=4，
∴ AD=AE+DE=4+5=9。
∴ ∠AFB=∠CED=90°，∠A+∠D=90°，∠C+∠D=90°，
∴ ∠A=∠C。
在△ABF和△CDE中：
$\{\begin{array}{l}∠AFB=∠CED \\∠A=∠C \\AB=CD\end{array} $
∴ △ABF ≌ △CDE（AAS），
∴ AF=CE=8，DE=BF=5。
∵ AF=AE+EF，EF=4，
∴ AE=AF-EF=8-4=4，
∴ AD=AE+DE=4+5=9。
9.如图，$△ ABC$的面积为12，AE垂直$∠ ABC$的平分线BD于点D，AE交BC于点E，若$BE:CE=2:1$，则$△ ABD$的面积为（）
A.3
B.4
C.5
D.6
A.3
B.4
C.5
D.6
答案
B
解析
1. 证明△ABD≌△EBD：
因为BD平分∠ABC，所以∠ABD=∠EBD；又BD⊥AE，故∠ADB=∠EDB=90°。
在△ABD和△EBD中，$\{\begin{array}{l}∠ABD=∠EBD \\ BD=BD \\ ∠ADB=∠EDB\end{array} $，由ASA判定得△ABD≌△EBD，因此AD=DE，可得$S_{△ ABD}=S_{△ EBD}$，即$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}S_{△ ABE}$。
2. 计算△ABE的面积：
△ABE和△ACE同高，底的比$BE:CE=2:1$，因此$S_{△ ABE}:S_{△ ACE}=2:1$。已知$S_{△ ABC}=12$，则$S_{△ ABE}=12×\frac{2}{2+1}=8$。
3. 得△ABD的面积：$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×8=4$。
因为BD平分∠ABC，所以∠ABD=∠EBD；又BD⊥AE，故∠ADB=∠EDB=90°。
在△ABD和△EBD中，$\{\begin{array}{l}∠ABD=∠EBD \\ BD=BD \\ ∠ADB=∠EDB\end{array} $，由ASA判定得△ABD≌△EBD，因此AD=DE，可得$S_{△ ABD}=S_{△ EBD}$，即$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}S_{△ ABE}$。
2. 计算△ABE的面积：
△ABE和△ACE同高，底的比$BE:CE=2:1$，因此$S_{△ ABE}:S_{△ ACE}=2:1$。已知$S_{△ ABC}=12$，则$S_{△ ABE}=12×\frac{2}{2+1}=8$。
3. 得△ABD的面积：$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×8=4$。
10. 小强同学用10块高度都是2 cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角尺($AC=BC$，$∠ ACB=90°$)，点C在DE上，点A和点B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离DE为cm。
第10题图 第11题图 第12题图
第10题图 第11题图 第12题图
答案
$\boldsymbol{20}$
解析
解：
由题意得：$AD⊥ DE$，$BE⊥ DE$，
$\therefore ∠ D=∠ E=90°$，
$\because ∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ ACD+∠ BCE=90°$，
又$\because ∠ ACD+∠ DAC=90°$，
$\therefore ∠ DAC=∠ ECB$。
在$△ ADC$和$△ CEB$中，
$\begin{cases}∠ D=∠ E \\∠ DAC=∠ ECB \\AC=CB\end{cases}$
$\therefore △ ADC≌△ CEB(\mathrm{AAS})$。
由图可得，左侧木墙共3块小木块，右侧木墙共7块小木块，
$\therefore AD=3×2=6\ \mathrm{cm}$，$BE=7×2=14\ \mathrm{cm}$，
由全等性质得：$CE=AD=6\ \mathrm{cm}$，$DC=BE=14\ \mathrm{cm}$，
$\therefore DE=DC+CE=14+6=20\ \mathrm{cm}$。
由题意得：$AD⊥ DE$，$BE⊥ DE$，
$\therefore ∠ D=∠ E=90°$，
$\because ∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ ACD+∠ BCE=90°$，
又$\because ∠ ACD+∠ DAC=90°$，
$\therefore ∠ DAC=∠ ECB$。
在$△ ADC$和$△ CEB$中，
$\begin{cases}∠ D=∠ E \\∠ DAC=∠ ECB \\AC=CB\end{cases}$
$\therefore △ ADC≌△ CEB(\mathrm{AAS})$。
由图可得，左侧木墙共3块小木块，右侧木墙共7块小木块，
$\therefore AD=3×2=6\ \mathrm{cm}$，$BE=7×2=14\ \mathrm{cm}$，
由全等性质得：$CE=AD=6\ \mathrm{cm}$，$DC=BE=14\ \mathrm{cm}$，
$\therefore DE=DC+CE=14+6=20\ \mathrm{cm}$。
11.如图,小明与小红玩跷跷板游戏,如果跷跷板的支点O(即跷跷板的中点)至地面的距离是50 cm,当小红从水平位置CD下降30 cm时,小明离地面的高度是cm。
答案
$\boldsymbol{80}$
解析
解：过点F作FA⊥直线CD于点A，过点G作GB⊥直线CD于点B，
∴∠FAO=∠GBO=90°，
∵O是跷跷板FG的中点，
∴FO=GO，
在△FOA和△GOB中，
$\{\begin{array}{l}∠FAO=∠GBO \\∠FOA=∠GOB \\FO=GO\end{array} $
∴△FOA≌△GOB（AAS），
∴FA=GB=30 cm，
∵支点O至地面的距离是50 cm，
∴小明离地面的高度为$50+30=80$ cm。
∴∠FAO=∠GBO=90°，
∵O是跷跷板FG的中点，
∴FO=GO，
在△FOA和△GOB中，
$\{\begin{array}{l}∠FAO=∠GBO \\∠FOA=∠GOB \\FO=GO\end{array} $
∴△FOA≌△GOB（AAS），
∴FA=GB=30 cm，
∵支点O至地面的距离是50 cm，
∴小明离地面的高度为$50+30=80$ cm。
12.如图(1)，小明想要测出塑料瓶直壁的厚度，由于不便测出塑料瓶的内径，小明动手制作了一个简单的工具，如图(2)(AC=BD，O为AC，BD的中点)，解决了测瓶的内径问题，测得瓶的外径为a，图(2)中DC的长为b，瓶直壁厚度x=(用含a，b的代数式表示)。
答案
$\boldsymbol{\frac{a-b}{2}}$
解析
证明：
∵ O为AC，BD的中点，
∴ AO = OC，BO = OD。
在△AOB和△COD中，
$\{\begin{array}{l}AO=CO \\∠ AOB=∠ COD \\BO=DO\end{array} $
∴ △AOB ≌ △COD（SAS）。
∴ AB = DC = b。
根据瓶的外径、内径和直壁厚度的关系可得：$2x + b = a$，
解得 $x=\frac{a-b}{2}$。
最终
∵ O为AC，BD的中点，
∴ AO = OC，BO = OD。
在△AOB和△COD中，
$\{\begin{array}{l}AO=CO \\∠ AOB=∠ COD \\BO=DO\end{array} $
∴ △AOB ≌ △COD（SAS）。
∴ AB = DC = b。
根据瓶的外径、内径和直壁厚度的关系可得：$2x + b = a$，
解得 $x=\frac{a-b}{2}$。
最终
13. 如图，$AB=AD$，$BC=DC$，点$E$在$AC$上。试说明：$BE=DE$。
答案
证明：
在△ABC和△ADC中，
$\begin{cases}AB=AD \\BC=DC \\AC=AC\end{cases}$
∴△ABC ≌ △ADC（SSS）
∴∠BAC = ∠DAC，即∠BAE = ∠DAE。
在△ABE和△ADE中，
$\begin{cases}AB=AD \\∠BAE=∠DAE \\AE=AE\end{cases}$
∴△ABE ≌ △ADE（SAS）
∴BE = DE。
在△ABC和△ADC中，
$\begin{cases}AB=AD \\BC=DC \\AC=AC\end{cases}$
∴△ABC ≌ △ADC（SSS）
∴∠BAC = ∠DAC，即∠BAE = ∠DAE。
在△ABE和△ADE中，
$\begin{cases}AB=AD \\∠BAE=∠DAE \\AE=AE\end{cases}$
∴△ABE ≌ △ADE（SAS）
∴BE = DE。
