1. (2025·无锡期末)如图,点 O 为线段 AD 外一点,M,C,B,N 为 AD 上任意四点,连接 OM,OC,OB,ON,下列结论正确的有 ()
①以 O 为顶点的角共有 15 个；
②若 OM 平分$∠AOC$,ON 平分$∠BOD$,$∠AOD=5∠COB$,则$∠MON=\frac {3}{2}(∠MOC+∠BON)$；
③若 M 为 AB 中点,N 为 CD 中点,则$MN=\frac {1}{2}(AD-CB)$；
④若$MC=CB$,$MN=ND$,则$CD=2CN$.

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

1.C 【解析】以 O 为顶点的角有∠AOM,∠AOC,∠AOB,∠AON,∠AOD,∠MOC,∠MOB,∠MON,∠MOD,∠COB,∠CON,∠COD,∠BON,∠BOD,∠NOD,共有15个,则结论①正确;因为 OM 平分∠AOC,ON 平分∠BOD,所以∠MOC=1/2 ∠AOC,∠BON=1/2 ∠BOD. 因为∠AOD=5∠COB,所以∠AOC+∠BOD+∠COB = 5∠COB,所以2∠MOC+2∠BON=4∠COB,即∠MOC+∠BON=2∠COB.又因为∠COB = ∠MON - ∠MOC - ∠BON,所以∠MOC+∠BON = 2(∠MON - ∠MOC - ∠BON),所以∠MON = 3/2(∠MOC+∠BON),则结论②正确;因为 M 为 AB 中点,N 为 CD 中点,所以 BM=1/2 AB,CN=1/2 CD,所以MN=BM+CN-CB=1/2 AB + 1/2 CD - CB = 1/2(AB+CD)-CB=1/2(AD+CB)-CB=1/2 AD -1/2 CB=1/2(AD-CB),则结论③正确;因为MN=ND,所以CD=CN+ND=CN+MN=2CN+MC＞2CN,则结论④错误.综上,结论正确的有3个.故选C.

2. 如图，$AB ⊥ BC$，$AE$ 平分 $∠ BAD$ 交 $BC$ 于点 $E$，$DE ⊥ AE$ 于点 $E$，$AB // DC$。下列结论：①$DC ⊥ BC$；②$∠ 1$ 与 $∠ 2$ 互余；③$∠ AEB + ∠ ADC = 180°$；④$DE$ 平分 $∠ ADC$。其中结论正确的是（）

A.①③
B.②④
C.①②④
D.①②③④

2.C 【解析】如图,过点 E 作 EF//AB,则 EF//AB//CD. 因为 AB ⊥ BC,所以∠B=90°.因为 AB//DC,所以∠B+∠C=180°,所以∠C=90°,所以 DC ⊥ BC,故①正确;因为EF//AB//CD,所以∠1=∠AEF,∠2=∠DEF,所以∠1+∠2=∠AEF+∠DEF=∠AED. 因为 DE ⊥ AE,所以∠AED=90°,所以∠1+∠2 = 90°,即∠1 与∠2 互余,故②正确;因为 AB//DC,所以∠DAB+∠ADC=180°,∠DAB 与∠AEB 不一定相等,即∠AEB+∠ADC=180°不一定成立,故③错误;因为∠1+∠2=90°,∠DAB+∠ADC=180°,所以∠1+∠2=1/2(∠DAB+∠ADC).因为 AE 平分∠BAD,所以∠1=1/2 ∠DAB,所以∠2=1/2 ∠ADC,即 DE 平分∠ADC,④正确.故选C.

3. (2025·扬州期中)如图，$AB// CD$，$F$为$AB$上一点，$FD// EH$，过点$F$作$FG⊥ EH$于点$G$，且$FE$平分$∠ AFG$，$∠ AFG=2∠ D$。有下列结论：①$∠ D=30°$；②$2∠ D+∠ EHC=90°$；③$FD$平分$∠ HFB$；④$FH$平分$∠ GFD$。其中正确结论的个数是（）

A.1
B.2
C.3
D.4

3.B 【解析】因为 AB//CD,所以∠BFD=∠D. 因为 FG ⊥ EH,所以∠FGE=90°. 因为 FD//EH,所以∠EHC=∠D,∠GFD=∠FGE=90°,设∠D=α,则∠AFG=2∠D=2α,∠BFD=α,因为∠AFG+∠GFD+∠BFD=180°,所以2α+90°+α=180°,解得α=30°,即∠D=30°,故①正确;因为FD//EH,所以∠EHC=∠D=30°,所以2∠D+∠EHC=2×30°+30°=90°,故②正确;因为∠BFD=30°,所以若要使FD平分∠HFB,则需∠HFD=30°,而由题目条件无法得出∠HFD=30°,故③不正确;因为∠GFD=90°,所以若要使FH平分∠GFD,则需∠HFD=45°,而由题目条件无法得出∠HFD=45°,故④不正确.综上所述,正确结论有①②,正确结论的个数是2.故选B.

4. （2025·南京校级月考）如图,将一副三角板的直角顶点A重合,则下列结论:①若∠2=∠C,则AD//CB;②∠2+∠CAD=180°;③若DE//AC,则∠2=45°;④若∠CAD=120°,则∠4=∠D.其中所有正确结论的序号有.

4.①②③ 【解析】如图①,如果∠2=∠C,因为∠C=30°,所以∠2=30°.因为∠DAE=90°,所以∠1=∠DAE-∠2=60°,因为∠B=60°,所以∠1=∠B,所以AD//CB,故结论①正确;因为∠1+∠2=∠DAE=90°,∠2+∠3=∠BAC=90°,所以∠1+∠2+∠3+∠2=180°,所以∠CAD+∠2=180°,故结论②正确;如图②,若DE//AC,则∠E=∠3=45°.因为∠BAC=90°,所以∠2=∠BAC-∠3=45°,故结论③正确;要使∠4=∠D,需有BC//AD,则需有∠C+∠CAD=180°,即∠CAD=150°,故结论④错误.故答案为①②③.

5. (2025·苏州月考)如图,点 E 在 CA 延长线上,DE,AB 交于点 F,且∠BDE=∠AEF,∠B=∠C,∠EFA 比∠FDC 的余角大 30°,P 为线段 DC 上一动点,Q 为 PC 上一点,且满足∠FQP=∠QFP,FM 为∠EFP 的平分线.下列结论:①$CE // BD$;②$AB // CD$;③FQ 平分∠AFP;④$∠B+∠E=120°$;⑤$∠QFM=30°$.其中结论正确的序号是.

5.①②③④⑤ 【解析】①因为∠BDE=∠AEF,所以CE//BD,结论①正确;②因为CE//BD,所以∠B=∠EAF.因为∠B=∠C,所以∠EAF=∠C,所以AB//CD,结论②正确;③因为AB//CD,所以∠AFQ=∠FQP.因为∠FQP=∠QFP,所以∠AFQ=∠QFP,所以FQ平分∠AFP,结论③正确;④因为AB//CD,所以∠EFA=∠FDC.因为∠EFA比∠FDC的余角大30°,所以∠EFA=60°.因为∠B=∠EAF,∠EAF+∠E+∠EFA=180°,所以∠B+∠E=180°-∠EFA=120°,结论④正确;⑤因为FM为∠EFP的平分线,所以∠MFP=1/2 ∠EFP=1/2 ∠EFA + 1/2 ∠AFP. 因为∠AFQ=∠QFP=1/2 ∠AFP,所以∠QFM=∠MFP - ∠QFP=1/2 ∠EFA=30°,结论⑤正确.故答案为①②③④⑤.