1. 🌀🌀🌀|新定义（2025·盐城月考）【感悟体验】(1) 如图①，A，B，C 三点在同一直线上，点 D 在线段 AC 的延长线上，且 $ AB = CD $，请仅用一把圆规在图中确定 D 点的位置.
【认识概念】(2) 在同一直线上依次有 A，B，C，D 四点，且 $ AB = CD $，那么称 AB 与 CD 互为“对称线段”，其中 AB 为 CD 的“对称线段”，CD 亦为 AB 的“对称线段”.
如图②，下列情形中 AB 与 CD 互为“对称线段”的是（填序号）.
① $ AB = 2, CD = 3 $；② $ AB = 1, BC = 2, BD = 4 $；③ $ AC = 2, BD = 2 $.
【运用概念】(3) 如图③，AB 与 CD 互为“对称线段”，点 M 为 AC 的中点，点 N 为 BD 的中点，且 $ AB = 2 $.
①若 $ AD = 12 $，求 AM 的长；②若 $ AC = 12 $，求 MN 的长.
【拓展提升】(4) 如图④，在同一直线上依次有 A，B，C，D 四点，$ 2AB = CD $ 且 $ AB = a $（a 为常数），点 M 为 AC 的中点，点 N 在 BD 上且 $ ND = mBD $. 是否存在 m 的值使得 MN 的长为定值？若存在，请求出 m 的值以及这个定值（用含 a 的代数式表示）；若不存在，请说明理由.

1.(1) 以点 C 为圆心，AB 长度为半径作弧，交直线 AB 于点 D(D')，则点 D(D')即为所求点。
(2) ③
【解析】①AB=2≠CD,故①不符合题意;②CD=BD-BC=4-2=2≠AB,故②不符合题意;③设 BC=x,则 AB=AC-BC=2-x,同理可得 CD=2-x=AB,故③符合题意.
(3) 设点 A 对应的数为 a,点 C 对应的数为 c,则点 B,D 对应的数为 a+2,c+2,则点 M 对应的数为$\frac{1}{2}(a+c)$,点 N 对应的数为$\frac{1}{2}(a+c+4)$.
①当 AD=12,即 c+2-a=12,则 c-a=10,则 AM=$\frac{1}{2}(a+c)-a=5$.
②当 AC=12,即 c-a=12,则 MN=$\frac{1}{2}(a+c+4)-\frac{1}{2}(a+c)=2$.
(4) 存在,设点 A 对应的数为 s,点 C 对应的数为 t,则点 B,D 对应的数分别为 a+s,t+2a,则点 M 对应的数为$\frac{1}{2}(s+t)$,而 ND=mBD=m(t+2a-a-s)=m(a+t-s),则点 N 对应的数为 t+2a-ma-mt+ms,则 MN=(t+2a-ma-mt+ms)-$\frac{1}{2}(s+t)=(s-t)(m-\frac{1}{2})+a(2-m)$,所以当 m=$\frac{1}{2}$时,MN 为定值$\frac{3a}{2}$.

2. 🌟🌟|新定义(2025·扬州期末)定义:从一个角的顶点出发,在角的内部引两条射线,如果这两条射线所成的角等于这个角的一半,那么这两条射线所成的角叫作这个角的内半角,如图①所示,若$∠ COD=\frac{1}{2}∠ AOB$,则$∠ COD$是$∠ AOB$的内半角.
(1)如图①所示,已知$∠ AOB=70°,∠ AOC=15°,∠ COD$是$∠ AOB$的内半角,则$∠ BOD=$.
(2)如图②,已知$∠ AOB=63°$,将$∠ AOB$绕点$O$按顺时针方向旋转一个角度$α(0＜α＜63°)$至$∠ COD$,当旋转的角度$α$为何值时,$∠ COB$是$∠ AOD$的内半角?
(3)已知$∠ AOB=30°$,把一块含有$30°$角的三角板如图③叠放,将三角板绕顶点$O$以$3°/$秒的速度按顺时针方向旋转,如图④,问:在旋转一周的过程中,射线$OA,OB,OC,OD$能否构成内半角?若能,请求出旋转的时间;若不能,请说明理由.

2.(1) 20°
【解析】因为∠COD 是∠AOB 的内半角,∠AOB=70°,所以∠COD=$\frac{1}{2}∠AOB=35°$.因为∠AOC=15°,所以∠BOD=70°-35°-15°=20°.
(2) 当旋转的角度 α 为 21°时,∠COB 是∠AOD 的内半角.
理由:因为∠AOC=∠BOD=α,∠AOB=63°,所以∠AOD=63°+α,∠BOC=63°-α.因为∠COB 是∠AOD 的内半角,所以 63°+α=2(63°-α),解得 α=21°,即旋转的角度 α 为 21°时,∠COB 是∠AOD 的内半角.
(3) 在旋转一周的过程中,射线 OA,OB,OC,OD 能构成内半角,理由:设按顺时针方向旋转一个角度 θ,旋转的时间为 t 秒,则 t=$\frac{θ}{3°}$.如图①,因为∠BOC 是∠AOD 的内半角,∠AOC=∠BOD=θ,所以∠AOD=30°+θ,∠COB=30-θ,所以$\frac{1}{2}(30°+θ)=30°-θ$,解得 θ=10°,则 t=$\frac{10}{3}$;如图②,因为∠BOC 是∠AOD 的内半角,∠AOC=∠BOD=θ,所以∠AOD=30°+θ,∠BOC=θ-30°,所以$\frac{1}{2}(30°+θ)=θ-30°$,解得 θ=90°,则 t=30;如图③,因为∠AOD 是∠BOC 的内半角,∠AOC=∠BOD=360°-θ,所以∠BOC=360°-θ+30°=390°-θ,∠AOD=360°-θ-30°,所以$\frac{1}{2}(390°-θ)=360°-θ-30°$,解得 θ=270°,则 t=90;如图④,因为∠AOD 是∠BOC 的内半角,∠AOC=∠BOD=360°-θ,所以∠BOC=360°-θ+30°=390°-θ,所以$\frac{1}{2}(390°-θ)=30°-(360°-θ)$,解得 θ=350°,则 t=$\frac{350}{3}$.综上所述,当旋转的时间为$\frac{10}{3}$秒或 30 秒或 90 秒或$\frac{350}{3}$秒时,射线 OA,OB,OC,OD 能构成内半角.