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15. 下列说法:①如果直线$ a $、直线$ b $和直线$ c $满足$ a ⊥ b, a ⊥ c $，则$ b // c $；②若$ \sqrt{t} \approx 2.263 $，且$ \sqrt{-m} \approx 22.63 $，则$ m = -100t $；③若关于$ x $的不等式组$\begin{cases}2x - a ＜ 0, \\ 2x + 1 ＞ -9\end{cases}$所有的整数解的和为$-4$，则$ a $的取值范围是$-8 ＜ a ≤ -6$或$ 6 ＜ a ≤ 8 $；④若关于$ x $的不等式组$\begin{cases}x - 1 ≥ a - x, \\ 3(x - 1) ≤ 2(2a + 1)\end{cases}$有解且每个解都不在$ -1 ＜ x ≤ 3 $的范围内，则$ a ＞ 5 $。其中正确说法是________。(填序号)
答案
15. ②③④ 【点拨】本题考查算术平方根,解一元一次不等式组及平行线的判定,掌握算术平方根的意义,一元一次不等式组的解法和平行线的判定是解题的关键.
【解析】①在同一平面内,如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线平行,故①不正确;②$\because \sqrt{t} \approx 2.263, \sqrt{-m} \approx 22.63, 22.63 = 2.263 × 10, \therefore -m = 100t, \therefore m = -100t$, 故②正确;③解 $\begin{cases} 2x - a ＜ 0, \\ 2x + 1 ＞ -9 \end{cases}$, 得 $-5 ＜ x ＜ \frac{a}{2}$. $\because$ 所有的整数解的和为 $-4, \therefore$ 当 $x$ 的整数解无正数时, 整数解为 $-4$, 即 $-4 ＜ \frac{a}{2} ≤ -3$, 解得 $-8 ＜ a ≤ -6$; 当 $x$ 的整数解有正数时, 整数解为 $-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3$, 即 $3 ＜ \frac{a}{2} ≤ 4$, 解得 $6 ＜ a ≤ 8$. $\therefore a$ 的取值范围为 $-8 ＜ a ≤ -6$ 或 $6 ＜ a ≤ 8$, 故③正确;④不等式组的解集为 $\frac{1}{2}(a + 1) ≤ x ≤ \frac{1}{3}(4a + 5)$, 且每个解都不在 $-1 ＜ x ≤ 3$ 的范围内, $\therefore \begin{cases} \frac{1}{2}(a + 1) ≤ \frac{1}{3}(4a + 5), \\ \frac{1}{2}(a + 1) ＞ 3 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} \frac{1}{2}(a + 1) ≤ \frac{1}{3}(4a + 5), \\ \frac{1}{3}(4a + 5) ≤ -1. \end{cases}$ 解第一个不等式组, 得 $a ＞ 5$, 第二个不等式组无解, $\therefore$ 当 $a ＞ 5$ 时, 原不等式组有解且每个解都不在 $-1 ＜ x ≤ 3$ 的范围内, 故④正确; 综上, 正确的有②③④. 故答案为②③④.
【解析】①在同一平面内,如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线平行,故①不正确;②$\because \sqrt{t} \approx 2.263, \sqrt{-m} \approx 22.63, 22.63 = 2.263 × 10, \therefore -m = 100t, \therefore m = -100t$, 故②正确;③解 $\begin{cases} 2x - a ＜ 0, \\ 2x + 1 ＞ -9 \end{cases}$, 得 $-5 ＜ x ＜ \frac{a}{2}$. $\because$ 所有的整数解的和为 $-4, \therefore$ 当 $x$ 的整数解无正数时, 整数解为 $-4$, 即 $-4 ＜ \frac{a}{2} ≤ -3$, 解得 $-8 ＜ a ≤ -6$; 当 $x$ 的整数解有正数时, 整数解为 $-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3$, 即 $3 ＜ \frac{a}{2} ≤ 4$, 解得 $6 ＜ a ≤ 8$. $\therefore a$ 的取值范围为 $-8 ＜ a ≤ -6$ 或 $6 ＜ a ≤ 8$, 故③正确;④不等式组的解集为 $\frac{1}{2}(a + 1) ≤ x ≤ \frac{1}{3}(4a + 5)$, 且每个解都不在 $-1 ＜ x ≤ 3$ 的范围内, $\therefore \begin{cases} \frac{1}{2}(a + 1) ≤ \frac{1}{3}(4a + 5), \\ \frac{1}{2}(a + 1) ＞ 3 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} \frac{1}{2}(a + 1) ≤ \frac{1}{3}(4a + 5), \\ \frac{1}{3}(4a + 5) ≤ -1. \end{cases}$ 解第一个不等式组, 得 $a ＞ 5$, 第二个不等式组无解, $\therefore$ 当 $a ＞ 5$ 时, 原不等式组有解且每个解都不在 $-1 ＜ x ≤ 3$ 的范围内, 故④正确; 综上, 正确的有②③④. 故答案为②③④.
16. 如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ ABC = 90°$,$AC = 13$,$∠ BAC$ 与 $∠ ACB$ 的平分线相交于点 $D$,点 $M,N$ 分别在边 $AB,BC$ 上,且 $∠ MDN = 45°$,连接 $MN$,若 $△ BMN$ 的周长为 $4$,则 $Rt△ ABC$ 的面积为 $\underline{\hspace{5em}}$.
答案
16. 30 【点拨】本题考查角平分线的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理等,解题的关键是正确作出辅助线.
【解析】如题图,过点 $D$ 作 $DE ⊥ AB$ 于点 $E, DF ⊥ BC$ 于点 $F, DH ⊥ AC$ 于点 $H$, 在 $FC$ 上截取 $FP = EM$, 连接 $BD$. $\because DA$ 平分 $∠BAC, \therefore DE = DH$. 同理, $DF = DH, \therefore DE = DF$, 在 $Rt△ ADE$ 和 $Rt△ ADH$ 中, $\begin{cases} AD = AD, \\ DE = DH, \end{cases}$ $\therefore Rt△ ADE ≌ Rt△ ADH(HL), \therefore AE = AH$, 同理可得 $CF = CH$. $\because DE = DF, ∠DEM = ∠DFP, EM = FP, \therefore △ DEM ≌ △ DFP(SAS), \therefore DM = DP, ∠EDM = ∠FDP, \therefore ∠EDM + ∠MDF = ∠PDF + ∠MDF, \therefore ∠MDP = ∠EDF$.
$\because DE ⊥ AB, BF ⊥ AB, \therefore DE // BF, \because DF ⊥ BC, \therefore DE ⊥ DF, \therefore ∠MDP = ∠EDF = 90°, DF = BE = DE = BF. \because ∠MDN = 45°, \therefore ∠PDN = 45°$, 在 $△ DMN$ 和 $△ DPN$ 中, $\begin{cases} DM = DP, \\ ∠MDN = ∠PDN = 45°, \\ DN = DN, \end{cases}$ $\therefore △ DMN ≌ △ DPN(SAS), \therefore MN = NP = NF + FP = NF + EM, \therefore △ BMN$ 的周长 $= MN + BM + BN = EM + BM + BN + NF = BE + BF = 4. \therefore BE = BF = DE = DF = HD = 2$. 设 $AB = a, BC = b, \because S_{△ ABC} = S_{△ ABD} + S_{△ BCD} + S_{△ ACD}, \therefore \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} × 2a + \frac{1}{2} × 2b + \frac{1}{2} × 2 × 13, \therefore \frac{1}{2}ab = a + b + 13, \because AE = AB - BE = a - 2, CF = BC - BF = b - 2, \therefore AC = AH + CH = AE + CF = a - 2 + b - 2 = 13, \therefore a + b = 17, \therefore \frac{1}{2}ab = a + b + 13 = 17 + 13 = 30$, 即 $S_{Rt△ ABC} = 30$. 故答案为30.
【解析】如题图,过点 $D$ 作 $DE ⊥ AB$ 于点 $E, DF ⊥ BC$ 于点 $F, DH ⊥ AC$ 于点 $H$, 在 $FC$ 上截取 $FP = EM$, 连接 $BD$. $\because DA$ 平分 $∠BAC, \therefore DE = DH$. 同理, $DF = DH, \therefore DE = DF$, 在 $Rt△ ADE$ 和 $Rt△ ADH$ 中, $\begin{cases} AD = AD, \\ DE = DH, \end{cases}$ $\therefore Rt△ ADE ≌ Rt△ ADH(HL), \therefore AE = AH$, 同理可得 $CF = CH$. $\because DE = DF, ∠DEM = ∠DFP, EM = FP, \therefore △ DEM ≌ △ DFP(SAS), \therefore DM = DP, ∠EDM = ∠FDP, \therefore ∠EDM + ∠MDF = ∠PDF + ∠MDF, \therefore ∠MDP = ∠EDF$.
$\because DE ⊥ AB, BF ⊥ AB, \therefore DE // BF, \because DF ⊥ BC, \therefore DE ⊥ DF, \therefore ∠MDP = ∠EDF = 90°, DF = BE = DE = BF. \because ∠MDN = 45°, \therefore ∠PDN = 45°$, 在 $△ DMN$ 和 $△ DPN$ 中, $\begin{cases} DM = DP, \\ ∠MDN = ∠PDN = 45°, \\ DN = DN, \end{cases}$ $\therefore △ DMN ≌ △ DPN(SAS), \therefore MN = NP = NF + FP = NF + EM, \therefore △ BMN$ 的周长 $= MN + BM + BN = EM + BM + BN + NF = BE + BF = 4. \therefore BE = BF = DE = DF = HD = 2$. 设 $AB = a, BC = b, \because S_{△ ABC} = S_{△ ABD} + S_{△ BCD} + S_{△ ACD}, \therefore \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} × 2a + \frac{1}{2} × 2b + \frac{1}{2} × 2 × 13, \therefore \frac{1}{2}ab = a + b + 13, \because AE = AB - BE = a - 2, CF = BC - BF = b - 2, \therefore AC = AH + CH = AE + CF = a - 2 + b - 2 = 13, \therefore a + b = 17, \therefore \frac{1}{2}ab = a + b + 13 = 17 + 13 = 30$, 即 $S_{Rt△ ABC} = 30$. 故答案为30.
17. (8分)解不等式组$\begin{cases} x - 1 ＜ 2(x + 1) \ \mathrm{①}, \\ \dfrac{3}{2}x - 1 ≤ 7 - \dfrac{5}{2}x \ \mathrm{②}, \end{cases}$请按下列步骤完成解答.
(1)解不等式①,得________;
(2)解不等式②,得________;
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来:
(4)原不等式组的解集为________.
(1)解不等式①,得________;
(2)解不等式②,得________;
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来:
(4)原不等式组的解集为________.
答案
17. 【点拨】本题考查解一元一次不等式组,掌握一元一次不等式组的解法是关键.
【解析】(1)解不等式①,得 $x ＞ -3$. 故答案为 $x ＞ -3$.
(2)解不等式②,得 $x ≤ 2$. 故答案为 $x ≤ 2$.
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来:
(4)原不等式组的解集为 $-3 ＜ x ≤ 2$. 故答案为 $-3 ＜ x ≤ 2$.
18. (8分)完成下列证明过程,并在括号内填上依据.
如图,$AB// CD,AB = CD$,求证:$AD// BC,AD = BC$.
证明:$\because AB// CD$,
$\therefore ∠ ABD = ∠ CDB(\_\_\_\_\_\_)$.
在$△ ABD$和$△ CDB$中,$\begin{cases} AB=(\_\_\_\_\_\_), \\ ∠ ABD = ∠ CDB, \\ BD=(\_\_\_\_\_\_), \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ CDB(\_\_\_\_\_\_)$,
$\therefore AD = CB(\_\_\_\_\_\_)$,
$\therefore ∠ ADB = (\_\_\_\_\_\_)(\_\_\_\_\_\_)$,
$\therefore AD// BC(\_\_\_\_\_\_)$.
如图,$AB// CD,AB = CD$,求证:$AD// BC,AD = BC$.
证明:$\because AB// CD$,
$\therefore ∠ ABD = ∠ CDB(\_\_\_\_\_\_)$.
在$△ ABD$和$△ CDB$中,$\begin{cases} AB=(\_\_\_\_\_\_), \\ ∠ ABD = ∠ CDB, \\ BD=(\_\_\_\_\_\_), \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ CDB(\_\_\_\_\_\_)$,
$\therefore AD = CB(\_\_\_\_\_\_)$,
$\therefore ∠ ADB = (\_\_\_\_\_\_)(\_\_\_\_\_\_)$,
$\therefore AD// BC(\_\_\_\_\_\_)$.
答案
18. 【点拨】本题考查平行线的性质与判定,全等三角形的判定与性质,掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.
【解析】证明:$\because AB // CD$,
$\therefore ∠ABD = ∠CDB$(两直线平行,内错角相等).
在$△ ABD$和$△ CDB$中,$\begin{cases} AB = (CD), \\ ∠ABD = ∠CDB, \\ BD = (DB), \end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ CDB(SAS)$,
$\therefore AD = CB$(全等三角形的对应边相等),
$\therefore ∠ADB = (∠CBD)$(全等三角形的对应角相等),
$\therefore AD // BC$(内错角相等,两直线平行).
故答案为两直线平行,内错角相等;CD;DB;SAS;全等三角形的对应边相等;∠CBD;全等三角形的对应角相等;内错角相等,两直线平行.
【解析】证明:$\because AB // CD$,
$\therefore ∠ABD = ∠CDB$(两直线平行,内错角相等).
在$△ ABD$和$△ CDB$中,$\begin{cases} AB = (CD), \\ ∠ABD = ∠CDB, \\ BD = (DB), \end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ CDB(SAS)$,
$\therefore AD = CB$(全等三角形的对应边相等),
$\therefore ∠ADB = (∠CBD)$(全等三角形的对应角相等),
$\therefore AD // BC$(内错角相等,两直线平行).
故答案为两直线平行,内错角相等;CD;DB;SAS;全等三角形的对应边相等;∠CBD;全等三角形的对应角相等;内错角相等,两直线平行.
