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8. 中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目:九百九十九文钱,甜果苦果买一千,四文钱买苦果七,十一文钱九个甜,甜苦两果各几个?其大意是:用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果,其中四文钱可以买苦果七个,十一文钱可以买甜果九个,问:苦、甜果各有几个?设苦果有x个,甜果有y个,则可列方程组为(
A.$\begin{cases} x + y = 1000, \\ \dfrac{4}{7}x + \dfrac{9}{11}y = 999 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x + y = 1000, \\ \dfrac{7}{4}x + \dfrac{11}{9}y = 999 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x + y = 1000, \\ \dfrac{4}{7}x + \dfrac{11}{9}y = 999 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x + y = 1000, \\ \dfrac{7}{4}x + \dfrac{9}{11}y = 999 \end{cases}$
C
).A.$\begin{cases} x + y = 1000, \\ \dfrac{4}{7}x + \dfrac{9}{11}y = 999 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x + y = 1000, \\ \dfrac{7}{4}x + \dfrac{11}{9}y = 999 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x + y = 1000, \\ \dfrac{4}{7}x + \dfrac{11}{9}y = 999 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x + y = 1000, \\ \dfrac{7}{4}x + \dfrac{9}{11}y = 999 \end{cases}$
答案
8. C 【点拨】本题考查二元一次方程组的实际应用,找准题中的数量关系很关键.
【解析】由题意得$\begin{cases} x + y = 1000, \\ \dfrac{4}{7}x + \dfrac{11}{9}y = 999 \end{cases}$. 故选 C.
【解析】由题意得$\begin{cases} x + y = 1000, \\ \dfrac{4}{7}x + \dfrac{11}{9}y = 999 \end{cases}$. 故选 C.
9. 方程组$\begin{cases}3x + y = 4 + m, \\x + 3y = 1\end{cases}$中,若未知数$x,y$满足不等式组$\begin{cases}x - y ≤ 0, \\x + y ＞ 0,\end{cases}$则满足条件的$m$的整数值是( ).
A.$4, 3$
B.$4, -3$
C.$-4, -3$
D.$-4, 3$
A.$4, 3$
B.$4, -3$
C.$-4, -3$
D.$-4, 3$
答案
9. C 【点拨】本题考查二元一次方程组的解法及不等式组的应用,先将方程组的解用参数表示,再代入不等式组后求出参数的范围,最后确定符合条件的整数值.
【解析】解方程组得$\begin{cases} x = \dfrac{11 + 3m}{8}, \\ y = \dfrac{-1 - m}{8}. \end{cases}$ $\because$ 未知数 $x, y$ 满足不等式组$\begin{cases} x - y ≤ 0, \\ x + y ＞ 0, \end{cases}$ $\therefore \begin{cases} \dfrac{11 + 3m}{8} - \dfrac{-1 - m}{8} ≤ 0, \\ \dfrac{11 + 3m}{8} + \dfrac{-1 - m}{8} ＞ 0, \end{cases}$ 解得 $-5 ＜ m ≤ -3$. $\because m$ 为整数, $\therefore m$ 的值可以为 $-4, -3$. 故选 C.
【解析】解方程组得$\begin{cases} x = \dfrac{11 + 3m}{8}, \\ y = \dfrac{-1 - m}{8}. \end{cases}$ $\because$ 未知数 $x, y$ 满足不等式组$\begin{cases} x - y ≤ 0, \\ x + y ＞ 0, \end{cases}$ $\therefore \begin{cases} \dfrac{11 + 3m}{8} - \dfrac{-1 - m}{8} ≤ 0, \\ \dfrac{11 + 3m}{8} + \dfrac{-1 - m}{8} ＞ 0, \end{cases}$ 解得 $-5 ＜ m ≤ -3$. $\because m$ 为整数, $\therefore m$ 的值可以为 $-4, -3$. 故选 C.
10. 某商家将电子手表、保温杯、蓝牙耳机搭配为A,B,C三种礼盒,其中A盒中有1个保温杯,3个电子手表,2个蓝牙耳机;B盒中有1个保温杯,2个电子手表,1个蓝牙耳机;C盒中有2个保温杯,3个电子手表,1个蓝牙耳机.经核算,C盒的成本为155元,B盒的成本为100元(每种礼盒的成本为该盒中保温杯、电子手表、蓝牙耳机的成本之和),则A盒的成本为(
A.140元
B.145元
C.150元
D.165元
B
).A.140元
B.145元
C.150元
D.165元
答案
10. B 【点拨】本题考查三元一次方程组的应用,根据等量关系列出方程是关键.
【解析】设保温杯、电子手表、蓝牙耳机的成本分别为 $x$ 元、$y$ 元、$z$ 元. 根据题意得 $\begin{cases} x + 2y + z = 100 ①, \\ 2x + 3y + z = 155 ②. \end{cases}$ ② - ①得, $x + y = 55$, 由①, 得 $z = 100 - x - 2y$, 即 $z = 100 - (x + y) - y = 100 - 55 - y = 45 - y$, 故 A 盒的成本为 $x + 3y + 2z = x + 3y + 2(45 - y) = x + 3y + 90 - 2y = x + y + 90 = 55 + 90 = 145$(元). 故选 B.
【解析】设保温杯、电子手表、蓝牙耳机的成本分别为 $x$ 元、$y$ 元、$z$ 元. 根据题意得 $\begin{cases} x + 2y + z = 100 ①, \\ 2x + 3y + z = 155 ②. \end{cases}$ ② - ①得, $x + y = 55$, 由①, 得 $z = 100 - x - 2y$, 即 $z = 100 - (x + y) - y = 100 - 55 - y = 45 - y$, 故 A 盒的成本为 $x + 3y + 2z = x + 3y + 2(45 - y) = x + 3y + 90 - 2y = x + y + 90 = 55 + 90 = 145$(元). 故选 B.
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
答案
1. $\boldsymbol{2}$
2. $\boldsymbol{3}$
3. $\boldsymbol{-2＜a\le0}$
4. $\boldsymbol{1}$
5. $\boldsymbol{100°}$
6. $\boldsymbol{4}$
2. $\boldsymbol{3}$
3. $\boldsymbol{-2＜a\le0}$
4. $\boldsymbol{1}$
5. $\boldsymbol{100°}$
6. $\boldsymbol{4}$
解析
解：
1. $\sqrt{4}=2$
2. 点到x轴的距离为对应点纵坐标的绝对值，即$|3|=3$
3. 由题意列不等式组：
$\begin{cases}1-a\ge1 \\ -1-a＜1\end{cases}$
解得：$-2＜a\le0$
4. 用第一个方程减去第二个方程：
$(2x+y)-(x+2y)=5-4$
化简得：$x-y=1$
5. 由平行线性质和折叠性质可得：
$∠2=180°-2∠1=180°-100°=100°$
6. 将两个方程相加得：$(m+3)x=10$，即$x=\frac{10}{m+3}$
结合m为正整数，方程组有整数解，可得$m+3$是10的正整数因数，验证得仅$m=2$符合条件，故$m^2=4$
最终
1. $\sqrt{4}=2$
2. 点到x轴的距离为对应点纵坐标的绝对值，即$|3|=3$
3. 由题意列不等式组：
$\begin{cases}1-a\ge1 \\ -1-a＜1\end{cases}$
解得：$-2＜a\le0$
4. 用第一个方程减去第二个方程：
$(2x+y)-(x+2y)=5-4$
化简得：$x-y=1$
5. 由平行线性质和折叠性质可得：
$∠2=180°-2∠1=180°-100°=100°$
6. 将两个方程相加得：$(m+3)x=10$，即$x=\frac{10}{m+3}$
结合m为正整数，方程组有整数解，可得$m+3$是10的正整数因数，验证得仅$m=2$符合条件，故$m^2=4$
最终
11. 写出一个小于4的正无理数
$\sqrt{2}$(答案不唯一)
.答案
11. $\sqrt{2}$(答案不唯一) 【点拨】本题考查实数大小比较以及无理数的概念,明确无限不循环小数叫无理数是解题的关键.
【解析】一个小于4的正无理数可以是$\sqrt{2}$(答案不唯一). 故答案为$\sqrt{2}$(答案不唯一).
【解析】一个小于4的正无理数可以是$\sqrt{2}$(答案不唯一). 故答案为$\sqrt{2}$(答案不唯一).
12. 在画频数分布直方图时,一组数据共有50个,这些数据中最小值为155,最大值为175,若确定组距为3,则分成的组数是
7
组.答案
12. 7 【点拨】本题考查频数分布直方图中组距与组数,掌握组数的计算方法很关键.
【解析】$\frac{175 - 155}{3} = 6······2,6 + 1 = 7$(组),即分成的组数为7. 故答案为7.
【解析】$\frac{175 - 155}{3} = 6······2,6 + 1 = 7$(组),即分成的组数为7. 故答案为7.
13. “换元法”是解决数学问题的重要思想方法,若方程组$\begin{cases} a_{1}x + b_{1}y = c_{1}, \\ a_{2}x + b_{2}y = c_{2} \end{cases}$的解是$\begin{cases} x = 3, \\ y = 2, \end{cases}$则方程组$\begin{cases} 3a_{1}(x + 1) - 2b_{1}y = 5c_{1}, \\ 3a_{2}(x + 1) - 2b_{2}y = 5c_{2} \end{cases}$的解为$\underline{\hspace{5em}}$.
答案
13. $\begin{cases} x = 4, \\ y = -5 \end{cases}$ 【点拨】本题考查换元法的应用以及对方程组结构的观察与转化能力.
【解析】令 $m = 3(x + 1),n = -2y$, 则方程组 $\begin{cases} 3a_{1}(x + 1) - 2b_{1}y = 5c_{1}, \\ 3a_{2}(x + 1) - 2b_{2}y = 5c_{2} \end{cases}$ 可转化为 $\begin{cases} a_{1}m + b_{1}n = 5c_{1}, \\ a_{2}m + b_{2}n = 5c_{2}. \end{cases}$
$\because$ 方程组 $\begin{cases} a_{1}x + b_{1}y = c_{1}, \\ a_{2}x + b_{2}y = c_{2} \end{cases}$ 的解是 $\begin{cases} x = 3, \\ y = 2, \end{cases}$ $\therefore \begin{cases} 3a_{1} + 2b_{1} = c_{1}, \\ 3a_{2} + 2b_{2} = c_{2}, \end{cases}$ $\therefore m = 3 × 5 = 15,n = 2 × 5 = 10, \therefore 3(x + 1) = 15, -2y = 10, \therefore x = 4, y = -5$.
故答案为 $\begin{cases} x = 4, \\ y = -5 \end{cases}$.
【解析】令 $m = 3(x + 1),n = -2y$, 则方程组 $\begin{cases} 3a_{1}(x + 1) - 2b_{1}y = 5c_{1}, \\ 3a_{2}(x + 1) - 2b_{2}y = 5c_{2} \end{cases}$ 可转化为 $\begin{cases} a_{1}m + b_{1}n = 5c_{1}, \\ a_{2}m + b_{2}n = 5c_{2}. \end{cases}$
$\because$ 方程组 $\begin{cases} a_{1}x + b_{1}y = c_{1}, \\ a_{2}x + b_{2}y = c_{2} \end{cases}$ 的解是 $\begin{cases} x = 3, \\ y = 2, \end{cases}$ $\therefore \begin{cases} 3a_{1} + 2b_{1} = c_{1}, \\ 3a_{2} + 2b_{2} = c_{2}, \end{cases}$ $\therefore m = 3 × 5 = 15,n = 2 × 5 = 10, \therefore 3(x + 1) = 15, -2y = 10, \therefore x = 4, y = -5$.
故答案为 $\begin{cases} x = 4, \\ y = -5 \end{cases}$.
14. 如图，$∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D + ∠ E + ∠ F + ∠ G = n · 180°$，则$n=$
3
.答案
14. 3 【点拨】本题考查三角形的内角和,三角形外角的性质,解题的关键是作出辅助线,利用三角形内角与外角的关系将所求角的度数归结到三角形或四边形中,再解答.
【解析】连接BE,如图所示.
$\because ∠1$ 是 $△ ADH$ 的外角, $∠2$ 是 $△ JHG$ 的外角, $\therefore ∠1 = ∠A + ∠D, ∠2 = ∠1 + ∠G, \therefore$ 在四边形 $BEFJ$ 中, $∠EBJ + ∠2 + ∠F + ∠BEF = 360°$, 在 $△ BCE$ 中, $∠EBC + ∠C + ∠BEC = 180°, \therefore ∠EBJ + ∠2 + ∠F + ∠BEF + ∠EBC + ∠C + ∠BEC = ∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠F + ∠G = 360° + 180°, \therefore n = \frac{540°}{180°} = 3$. 故答案为3.
