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1. 下列说法正确的是 （
A.若$ a ＞ b $，则$ a^2 ＞ b^2 $
B.若$ a ＞ b $，则$ a - 2 ＜ b - 2 $
C.若$ a ＞ b $，且$ c ≠ 0 $，则$ ac ＞ bc $
D.若$ ac^2 ＞ bc^2 $，则$ a ＞ b $
D
）A.若$ a ＞ b $，则$ a^2 ＞ b^2 $
B.若$ a ＞ b $，则$ a - 2 ＜ b - 2 $
C.若$ a ＞ b $，且$ c ≠ 0 $，则$ ac ＞ bc $
D.若$ ac^2 ＞ bc^2 $，则$ a ＞ b $
答案
1. D
解析
【分析】
本题考查不等式基本性质的应用，解题时我们可以逐个分析选项，结合不等式性质或举反例判断说法是否正确。首先回忆不等式的核心性质：1.不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变；2.不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变；3.不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变。接下来对每个选项逐一验证即可。
【解析】
我们逐个判断选项：
A选项：举反例，当$a=1$，$b=-2$时，满足$a＞b$，但是$a^2=1$，$b^2=4$，此时$a^2＜b^2$，故A错误；
B选项：根据不等式的性质1，不等式两边同时减2，不等号方向不变，可得$a-2＞b-2$，故B错误；
C选项：当$c$为负数时，根据不等式的性质3，不等式两边同时乘负数$c$，不等号方向改变，此时$ac＜bc$，故C错误；
D选项：已知$ac^2＞bc^2$，说明$c≠0$，因此$c^2＞0$，根据不等式的性质2，不等式两边同时除以正数$c^2$，不等号方向不变，可得$a＞b$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
不等式的基本性质；平方的非负性
【点评】
本题是不等式性质的基础应用题，易错点是忽略不等式两边同乘负数时不等号方向会改变，遇到含参数的乘除变形时，要先判断乘数的正负性，也可通过举反例快速排除错误选项。
【难度系数】
0.7
本题考查不等式基本性质的应用，解题时我们可以逐个分析选项，结合不等式性质或举反例判断说法是否正确。首先回忆不等式的核心性质：1.不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变；2.不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变；3.不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变。接下来对每个选项逐一验证即可。
【解析】
我们逐个判断选项：
A选项：举反例，当$a=1$，$b=-2$时，满足$a＞b$，但是$a^2=1$，$b^2=4$，此时$a^2＜b^2$，故A错误；
B选项：根据不等式的性质1，不等式两边同时减2，不等号方向不变，可得$a-2＞b-2$，故B错误；
C选项：当$c$为负数时，根据不等式的性质3，不等式两边同时乘负数$c$，不等号方向改变，此时$ac＜bc$，故C错误；
D选项：已知$ac^2＞bc^2$，说明$c≠0$，因此$c^2＞0$，根据不等式的性质2，不等式两边同时除以正数$c^2$，不等号方向不变，可得$a＞b$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
不等式的基本性质；平方的非负性
【点评】
本题是不等式性质的基础应用题，易错点是忽略不等式两边同乘负数时不等号方向会改变，遇到含参数的乘除变形时，要先判断乘数的正负性，也可通过举反例快速排除错误选项。
【难度系数】
0.7
2. 小高去购买火腿肠和方便面，已知一根火腿肠2元，一袋方便面3元，他用30元钱最多能买5袋方便面和x根火腿肠，则关于x的不等式表示正确的是（
A.$3×5 + 2x ＜ 30$
B.$3x + 2×5 ≤ 30$
C.$3×5 + 2x ≤ 30$
D.$3x + 2×5 ≥ 30$
C
）A.$3×5 + 2x ＜ 30$
B.$3x + 2×5 ≤ 30$
C.$3×5 + 2x ≤ 30$
D.$3x + 2×5 ≥ 30$
答案
2. C
解析
【分析】
遇到这类消费类不等式问题，可按以下思路思考：第一步先分别计算两种商品的总花费，单价×购买数量=单个商品总花费；第二步找准不等关系，“最多用30元”说明总花费不能超过30元，对应的不等符号是≤；第三步要注意变量x是火腿肠的数量，不要和方便面的数量、单价混淆，避免列错式子。
【解析】
首先计算购买方便面的总费用：已知方便面单价3元/袋，买了5袋，费用为$3×5$元；
再计算购买火腿肠的总费用：已知火腿肠单价2元/根，买了x根，费用为$2x$元；
总花费为两种商品费用之和，即$3×5 + 2x$；
因为总钱数为30元，总花费不能超过30元，因此可列不等式：$3×5 + 2x ≤ 30$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
列一元一次不等式；不等关系识别
【点评】
本题是不等式的基础应用题型，解题核心是准确计算总费用，正确理解“最多”对应的不等含义，同时要注意变量对应的商品类型，避免单价和数量错配。
【难度系数】
0.9
遇到这类消费类不等式问题，可按以下思路思考：第一步先分别计算两种商品的总花费，单价×购买数量=单个商品总花费；第二步找准不等关系，“最多用30元”说明总花费不能超过30元，对应的不等符号是≤；第三步要注意变量x是火腿肠的数量，不要和方便面的数量、单价混淆，避免列错式子。
【解析】
首先计算购买方便面的总费用：已知方便面单价3元/袋，买了5袋，费用为$3×5$元；
再计算购买火腿肠的总费用：已知火腿肠单价2元/根，买了x根，费用为$2x$元；
总花费为两种商品费用之和，即$3×5 + 2x$；
因为总钱数为30元，总花费不能超过30元，因此可列不等式：$3×5 + 2x ≤ 30$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
列一元一次不等式；不等关系识别
【点评】
本题是不等式的基础应用题型，解题核心是准确计算总费用，正确理解“最多”对应的不等含义，同时要注意变量对应的商品类型，避免单价和数量错配。
【难度系数】
0.9
3. 在学习了一元一次不等式的解法后，四位同学解不等式$\frac{1-x}{6} - \frac{1+x}{3} ≥ 1$的第一步“去分母”的解答过程都不同，其中正确的是（
A.$(1-x)-2(1+x)≥1$
B.$2(1-x)-(1+x)≥6$
C.$3(1-x)-6(1+x)≥1$
D.$(1-x)-2(1+x)≥6$
D
）A.$(1-x)-2(1+x)≥1$
B.$2(1-x)-(1+x)≥6$
C.$3(1-x)-6(1+x)≥1$
D.$(1-x)-2(1+x)≥6$
答案
3. D
解析
【分析】
这道题考查一元一次不等式去分母的步骤，解题思路如下：首先确定不等式中所有分母的最小公倍数，本题分母是6和3，最小公倍数为6；接下来根据不等式的性质，不等式两边每一项都要乘以这个最小公倍数，注意不能漏乘不含分母的常数项，分子是多项式时要看作整体，避免符号错误；最后将计算结果和选项对比即可选出正确答案。
【解析】
解：不等式$\frac{1-x}{6} - \frac{1+x}{3} ≥ 1$去分母步骤：
1. 找分母的最小公倍数：6和3的最小公倍数是6；
2. 不等式两边同时乘以6，不等号方向不变，且每一项都要乘6：
$\frac{1-x}{6} × 6 - \frac{1+x}{3} × 6 ≥ 1 × 6$
计算得：$(1-x) - 2(1+x) ≥ 6$
对比选项，只有D选项符合该结果。
【答案】
D
【知识点】
一元一次不等式去分母、不等式的基本性质
【点评】
本题是一元一次不等式解法的基础题型，核心易错点有两个：一是去分母时漏乘不含分母的常数项，二是没有将多项式分子作为整体运算导致符号错误，掌握去分母的规则即可快速解题。
【难度系数】
0.7
这道题考查一元一次不等式去分母的步骤，解题思路如下：首先确定不等式中所有分母的最小公倍数，本题分母是6和3，最小公倍数为6；接下来根据不等式的性质，不等式两边每一项都要乘以这个最小公倍数，注意不能漏乘不含分母的常数项，分子是多项式时要看作整体，避免符号错误；最后将计算结果和选项对比即可选出正确答案。
【解析】
解：不等式$\frac{1-x}{6} - \frac{1+x}{3} ≥ 1$去分母步骤：
1. 找分母的最小公倍数：6和3的最小公倍数是6；
2. 不等式两边同时乘以6，不等号方向不变，且每一项都要乘6：
$\frac{1-x}{6} × 6 - \frac{1+x}{3} × 6 ≥ 1 × 6$
计算得：$(1-x) - 2(1+x) ≥ 6$
对比选项，只有D选项符合该结果。
【答案】
D
【知识点】
一元一次不等式去分母、不等式的基本性质
【点评】
本题是一元一次不等式解法的基础题型，核心易错点有两个：一是去分母时漏乘不含分母的常数项，二是没有将多项式分子作为整体运算导致符号错误，掌握去分母的规则即可快速解题。
【难度系数】
0.7
4. 关于$x$的一元一次不等式组$\begin{cases}x-1＞0, \\ x-a≤0,\end{cases}$给出下列说法：①如果不等式组的解集是$1＜x≤4$，那么$a=4$；②当$a=1$时，不等式组无解；③如果不等式组的最大整数解是4，那么$4≤ a＜5$；④如果不等式组有解，那么$a≥2$。其中所有正确说法的序号是（ ）
A.①③④
B.①②③
C.①②④
D.②③④
A.①③④
B.①②③
C.①②④
D.②③④
答案
4. B
解析
【分析】
首先先分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，得到x＞1和x≤a，再结合不等式组解集的确定规则（大小小大中间找、大大小小找不到），逐个验证4个说法是否正确，注意边界值的判断。
【解析】
先解原不等式组：
1. 解不等式$x-1＞0$，移项得$x＞1$；
2. 解不等式$x-a≤0$，移项得$x≤a$。
接下来逐个分析说法：
①若解集为$1＜x≤4$，结合上述解得的两个范围，可得$a=4$，该说法正确；
②当$a=1$时，不等式组的解集为$1＜x≤1$，不存在满足条件的x，因此不等式组无解，该说法正确；
③若不等式组的最大整数解是4，说明4在解集中，且5不在解集中，因此$4≤a＜5$，该说法正确；
④若不等式组有解，需要满足$a＞1$即可，比如$a=1.5$时，解集为$1＜x≤1.5$，存在解，因此$a≥2$的结论错误，该说法错误。
综上，正确的说法是①②③。
【答案】
B
【知识点】
一元一次不等式组的解法；不等式组的解集判定；不等式组的整数解
【点评】
本题重点考查一元一次不等式组解集的相关判断，需要熟练掌握不等式组解集的确定规则，分析时要注意边界值的取舍，避免因忽略边界情况导致判断错误。
【难度系数】
0.7
首先先分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，得到x＞1和x≤a，再结合不等式组解集的确定规则（大小小大中间找、大大小小找不到），逐个验证4个说法是否正确，注意边界值的判断。
【解析】
先解原不等式组：
1. 解不等式$x-1＞0$，移项得$x＞1$；
2. 解不等式$x-a≤0$，移项得$x≤a$。
接下来逐个分析说法：
①若解集为$1＜x≤4$，结合上述解得的两个范围，可得$a=4$，该说法正确；
②当$a=1$时，不等式组的解集为$1＜x≤1$，不存在满足条件的x，因此不等式组无解，该说法正确；
③若不等式组的最大整数解是4，说明4在解集中，且5不在解集中，因此$4≤a＜5$，该说法正确；
④若不等式组有解，需要满足$a＞1$即可，比如$a=1.5$时，解集为$1＜x≤1.5$，存在解，因此$a≥2$的结论错误，该说法错误。
综上，正确的说法是①②③。
【答案】
B
【知识点】
一元一次不等式组的解法；不等式组的解集判定；不等式组的整数解
【点评】
本题重点考查一元一次不等式组解集的相关判断，需要熟练掌握不等式组解集的确定规则，分析时要注意边界值的取舍，避免因忽略边界情况导致判断错误。
【难度系数】
0.7
5. 某超市花费1 140元购进苹果100千克，销售中有5%的正常损耗，超市为了避免亏本（其他费用不考虑），则苹果的售价每千克至少定为多少元？
设售价为x元/千克，根据题意所列不等式正确的是 （
A.$100(1-5\%)x ≥ 1140$
B.$100(1+5\%)x ≥ 1140$
C.$100(1+5\%)x ≤ 1140$
D.$100(1-5\%)x ≤ 1140$
设售价为x元/千克，根据题意所列不等式正确的是 （
A
）A.$100(1-5\%)x ≥ 1140$
B.$100(1+5\%)x ≥ 1140$
C.$100(1+5\%)x ≤ 1140$
D.$100(1-5\%)x ≤ 1140$
答案
5. A
解析
【分析】
解题时首先明确核心要求“避免亏本”的含义：销售苹果的总收入要大于等于进货的总成本。首先确定实际可销售的苹果重量，因为存在5%的正常损耗，所以能售卖的苹果是总重量减去损耗的部分，也就是100×(1-5%)千克。再根据“总收入=实际销售重量×单价”算出总销售额，最后结合“总收入≥总成本”的不等关系列出不等式，对应正确选项即可。
【解析】
避免亏本需满足不等关系：销售总收入 ≥ 进货总成本。
1. 计算实际可销售的苹果重量：因为有5%的正常损耗，所以实际能售卖的重量为 $100×(1-5\%)$ 千克；
2. 计算销售总收入：总售价 = 实际销售重量 × 每千克售价，即 $100×(1-5\%)x$ 元；
3. 已知进货总成本为1140元，代入不等关系可得不等式：$100(1-5\%)x ≥ 1140$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次不等式应用；销售盈亏问题
【点评】
本题是不等式的基础应用题型，解题核心是找准“不亏本”对应的不等关系，易错点是容易混淆损耗的计算方向，或者写错不等号的方向，解题时要注意结合实际含义验证列式的合理性。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确核心要求“避免亏本”的含义：销售苹果的总收入要大于等于进货的总成本。首先确定实际可销售的苹果重量，因为存在5%的正常损耗，所以能售卖的苹果是总重量减去损耗的部分，也就是100×(1-5%)千克。再根据“总收入=实际销售重量×单价”算出总销售额，最后结合“总收入≥总成本”的不等关系列出不等式，对应正确选项即可。
【解析】
避免亏本需满足不等关系：销售总收入 ≥ 进货总成本。
1. 计算实际可销售的苹果重量：因为有5%的正常损耗，所以实际能售卖的重量为 $100×(1-5\%)$ 千克；
2. 计算销售总收入：总售价 = 实际销售重量 × 每千克售价，即 $100×(1-5\%)x$ 元；
3. 已知进货总成本为1140元，代入不等关系可得不等式：$100(1-5\%)x ≥ 1140$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次不等式应用；销售盈亏问题
【点评】
本题是不等式的基础应用题型，解题核心是找准“不亏本”对应的不等关系，易错点是容易混淆损耗的计算方向，或者写错不等号的方向，解题时要注意结合实际含义验证列式的合理性。
【难度系数】
0.8
