12. 如图，有一个高度为20 cm 的容器，在容器中倒入100 cm³ 的水，此时水面的刻度显示为5 cm，现将大小规格不同的两种玻璃球（同种规格玻璃球完全相同）放入容器内，观察容器中水面的变化. 每放入1颗大玻璃球，水面就上升0.5 cm（水未溢出）.

（1）求每颗大玻璃球的体积；
（2）放入27颗大玻璃球后，水没有溢出，随后开始放入小玻璃球. 当放入5颗小玻璃球时，水还是没有溢出，若再放入1颗小玻璃球，则水就会溢出容器. 求每颗小玻璃球体积的范围.

12. 解：(1) 根据题意，得容器的底面积为 $100÷5=20\ (\mathrm{cm}^2).$ 每颗大玻璃球的体积为 $20×0.5=10\ (\mathrm{cm}^3).$
(2) 设每颗小玻璃球的体积是 $x\ \mathrm{cm}^3.$
由题意得$\begin{cases}100+10×27+5x≤20×20,\\100+10×27+6x＞20×20.\end{cases}$
解得 $5＜x≤6.$
答：每颗小玻璃球的体积大于 $5\ \mathrm{cm}^3$ 且不大于 $6\ \mathrm{cm}^3.$

【分析】
（1）第一问利用排水法原理求解：放入物体的体积等于水面上升部分的体积。首先根据初始水的体积和对应水面高度，计算出容器的底面积，再用底面积乘单颗大玻璃球导致的水面上升高度，即可得到单颗大玻璃球的体积。
（2）第二问先求出容器总容积，再根据两种临界情况列不等式组：放入5颗小玻璃球时水未溢出，说明此时水+所有大球+5颗小球的总体积小于等于容器总容积；放入6颗小玻璃球时水溢出，说明此时总体积大于容器总容积，解不等式组即可得到小玻璃球的体积范围。
【解析】
(1) 已知$100\ \mathrm{cm}^3$的水对应水面高度为$5\ \mathrm{cm}$，根据长方体体积公式$V=S· h$，可得容器底面积：
$S=100÷5=20\ (\mathrm{cm}^2)$
每颗大玻璃球放入后水面上升$0.5\ \mathrm{cm}$，上升部分水的体积等于大玻璃球的体积，因此单颗大玻璃球体积为：
$V_{\mathrm{大}}=20×0.5=10\ (\mathrm{cm}^3)$
(2) 设每颗小玻璃球的体积是$x\ \mathrm{cm}^3$，容器总容积为$20×20=400\ \mathrm{cm}^3$。
根据题意列不等式组：
$\begin{cases}100+10×27+5x≤20×20\\100+10×27+6x＞20×20\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}370+5x≤400\\370+6x＞400\end{cases}$
解第一个不等式：$5x≤30$，得$x≤6$
解第二个不等式：$6x＞30$，得$x＞5$
因此不等式组的解集为$5＜x≤6$
【答案】
(1) 每颗大玻璃球的体积为$\boldsymbol{10\ \mathrm{cm}^3}$；
(2) 每颗小玻璃球的体积大于$5\ \mathrm{cm}^3$且不大于$6\ \mathrm{cm}^3$。
【知识点】
长方体体积计算，一元一次不等式组应用，排水法求体积
【点评】
本题结合实际排水场景考察体积计算与不等式组的应用，解题核心是理解放入物体体积和水面上升体积的等量关系，准确把握“未溢出”“溢出”对应的不等关系，能有效锻炼学生从实际问题中提炼数学关系的能力。
【难度系数】
0.6