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6. 对于任意实数$a$，$b$，定义一种运算：$a*b=\dfrac{b}{a}-a+b$。例如$2*1=\dfrac{1}{2}-2+1=-\dfrac{1}{2}$。若$2*(x+2)≤ 4$，则$x$的取值范围为
$x≤2$
。答案
6. $x≤2$
解析
【分析】
这是一道结合新定义运算的一元一次不等式求解问题，解题思路分为两步：第一步先准确理解新定义运算“*”的规则：a*b等于b除以a的商，减去a，再加b；第二步将2对应a，(x+2)对应b，代入运算规则得到关于x的一元一次不等式，再按照解一元一次不等式的步骤求解即可得到x的取值范围。
【解析】
根据题中给出的新定义运算规则$a*b=\dfrac{b}{a}-a+b$，计算$2*(x+2)$时，$a=2$，$b=x+2$，代入得：
$\begin{aligned}2*(x+2)&=\dfrac{x+2}{2} - 2 + (x+2)\\&=\dfrac{x+2}{2} + x\end{aligned}$
结合题意$2*(x+2)≤4$，列不等式：
$\dfrac{x+2}{2} + x ≤4$
不等式两边同时乘2消去分母，得：
$x+2 + 2x ≤8$
合并同类项，得：
$3x +2 ≤8$
移项得：
$3x ≤6$
两边同时除以3，得：
$x≤2$
【答案】
$x≤2$
【知识点】
新定义运算，解一元一次不等式，代数式化简
【点评】
本题核心是正确理解新定义的运算规则，将特殊运算转化为常规的代数式和不等式，求解过程中要注意去分母、移项等运算的规范，避免因计算失误丢分。
【难度系数】
0.75
这是一道结合新定义运算的一元一次不等式求解问题，解题思路分为两步：第一步先准确理解新定义运算“*”的规则：a*b等于b除以a的商，减去a，再加b；第二步将2对应a，(x+2)对应b，代入运算规则得到关于x的一元一次不等式，再按照解一元一次不等式的步骤求解即可得到x的取值范围。
【解析】
根据题中给出的新定义运算规则$a*b=\dfrac{b}{a}-a+b$，计算$2*(x+2)$时，$a=2$，$b=x+2$，代入得：
$\begin{aligned}2*(x+2)&=\dfrac{x+2}{2} - 2 + (x+2)\\&=\dfrac{x+2}{2} + x\end{aligned}$
结合题意$2*(x+2)≤4$，列不等式：
$\dfrac{x+2}{2} + x ≤4$
不等式两边同时乘2消去分母，得：
$x+2 + 2x ≤8$
合并同类项，得：
$3x +2 ≤8$
移项得：
$3x ≤6$
两边同时除以3，得：
$x≤2$
【答案】
$x≤2$
【知识点】
新定义运算，解一元一次不等式，代数式化简
【点评】
本题核心是正确理解新定义的运算规则，将特殊运算转化为常规的代数式和不等式，求解过程中要注意去分母、移项等运算的规范，避免因计算失误丢分。
【难度系数】
0.75
7. 已知满足不等式$3(x-2)+5＜4(x-1)+6$的最小整数解是关于x的方程$2x-ax=3$的解，则a的值为
$\dfrac{7}{2}$
。答案
7. $\dfrac{7}{2}$
解析
【分析】
解题分两步进行：第一步先求解一元一次不等式，得出x的取值范围，从中找到最小整数解；第二步将这个最小整数解代入关于x的方程，得到只含a的一元一次方程，求解即可得到a的值。解不等式时要注意不等号方向变化的规则，找整数解时要注意边界值是否符合要求。
【解析】
1. 解不等式$3(x-2)+5＜4(x-1)+6$：
去括号，得：$3x - 6 + 5 ＜ 4x - 4 + 6$
合并同类项，得：$3x - 1 ＜ 4x + 2$
移项，得：$3x - 4x ＜ 2 + 1$
合并同类项，得：$-x ＜ 3$
系数化为1（不等号方向改变），得：$x ＞ -3$
满足$x ＞ -3$的最小整数为$x=-2$。
2. 将$x=-2$代入方程$2x - ax = 3$：
代入得：$2×(-2) - a×(-2) = 3$
计算得：$-4 + 2a = 3$
移项合并得：$2a = 7$
系数化为1得：$a = \dfrac{7}{2}$
【答案】
$\dfrac{7}{2}$
【知识点】
一元一次不等式解法，不等式的整数解，一元一次方程求解
【点评】
本题属于不等式与方程的基础综合题，核心考查基础运算能力，解题的关键是正确求解不等式并准确找到最小整数解，代入方程计算时注意符号不要出错。
【难度系数】
0.8
解题分两步进行：第一步先求解一元一次不等式，得出x的取值范围，从中找到最小整数解；第二步将这个最小整数解代入关于x的方程，得到只含a的一元一次方程，求解即可得到a的值。解不等式时要注意不等号方向变化的规则，找整数解时要注意边界值是否符合要求。
【解析】
1. 解不等式$3(x-2)+5＜4(x-1)+6$：
去括号，得：$3x - 6 + 5 ＜ 4x - 4 + 6$
合并同类项，得：$3x - 1 ＜ 4x + 2$
移项，得：$3x - 4x ＜ 2 + 1$
合并同类项，得：$-x ＜ 3$
系数化为1（不等号方向改变），得：$x ＞ -3$
满足$x ＞ -3$的最小整数为$x=-2$。
2. 将$x=-2$代入方程$2x - ax = 3$：
代入得：$2×(-2) - a×(-2) = 3$
计算得：$-4 + 2a = 3$
移项合并得：$2a = 7$
系数化为1得：$a = \dfrac{7}{2}$
【答案】
$\dfrac{7}{2}$
【知识点】
一元一次不等式解法，不等式的整数解，一元一次方程求解
【点评】
本题属于不等式与方程的基础综合题，核心考查基础运算能力，解题的关键是正确求解不等式并准确找到最小整数解，代入方程计算时注意符号不要出错。
【难度系数】
0.8
8. 如图，用图①中的a张长方形纸板和b张正方形纸板分别做侧面和底面，做成图②中的竖式和横式两种无盖纸盒.已知$295＜a+b＜305$，且用完这些纸板做竖式纸盒比横式纸盒多30个，则a的值为
225
.答案
8. 225
解析
【分析】
解题首先需明确两种无盖纸盒的纸板用量：1个竖式无盖纸盒需要4张长方形纸板、1张正方形纸板，1个横式无盖纸盒需要3张长方形纸板、2张正方形纸板。再根据“竖式纸盒比横式纸盒多30个”设未知数，用含未知数的式子分别表示出长方形纸板总数a和正方形纸板总数b，结合a+b的取值范围列不等式，求出整数解后代入计算即可得到a的值。
【解析】
设横式纸盒有$x$个，则竖式纸盒有$(x+30)$个。
根据两种纸盒的纸板用量可得：
长方形纸板总数$a=4(x+30)+3x=7x+120$，
正方形纸板总数$b=1×(x+30)+2x=3x+30$，
因此$a+b=(7x+120)+(3x+30)=10x+150$。
已知$295＜a+b＜305$，代入得不等式：
$295＜10x+150＜305$
不等式两边同时减去150，得：
$145＜10x＜155$
两边同时除以10，得：
$14.5＜x＜15.5$
因为$x$为纸盒数量，是正整数，所以$x=15$。
将$x=15$代入$a=7x+120$，得：
$a=7×15+120=225$
【答案】
225
【知识点】
一元一次不等式应用；代数式求值；整数解判定
【点评】
本题结合立体图形的构成考查不等式的实际应用，解题核心是准确梳理两种纸盒对应的纸板数量关系，同时要注意纸盒数量为正整数这一隐含条件，避免解出结果后忽略取值要求。
【难度系数】
0.6
解题首先需明确两种无盖纸盒的纸板用量：1个竖式无盖纸盒需要4张长方形纸板、1张正方形纸板，1个横式无盖纸盒需要3张长方形纸板、2张正方形纸板。再根据“竖式纸盒比横式纸盒多30个”设未知数，用含未知数的式子分别表示出长方形纸板总数a和正方形纸板总数b，结合a+b的取值范围列不等式，求出整数解后代入计算即可得到a的值。
【解析】
设横式纸盒有$x$个，则竖式纸盒有$(x+30)$个。
根据两种纸盒的纸板用量可得：
长方形纸板总数$a=4(x+30)+3x=7x+120$，
正方形纸板总数$b=1×(x+30)+2x=3x+30$，
因此$a+b=(7x+120)+(3x+30)=10x+150$。
已知$295＜a+b＜305$，代入得不等式：
$295＜10x+150＜305$
不等式两边同时减去150，得：
$145＜10x＜155$
两边同时除以10，得：
$14.5＜x＜15.5$
因为$x$为纸盒数量，是正整数，所以$x=15$。
将$x=15$代入$a=7x+120$，得：
$a=7×15+120=225$
【答案】
225
【知识点】
一元一次不等式应用；代数式求值；整数解判定
【点评】
本题结合立体图形的构成考查不等式的实际应用，解题核心是准确梳理两种纸盒对应的纸板数量关系，同时要注意纸盒数量为正整数这一隐含条件，避免解出结果后忽略取值要求。
【难度系数】
0.6
三、解答题
9. 已知关于$x$，$y$的二元一次方程组$\begin{cases}2x - 3y = -2, \\x - 2y = k\end{cases}$的解满足$x - y ＜0$.
（1）求$k$的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若不等式$(2k + 1)x ＜ 2k + 1$的解集为$x ＞ 1$，$k$为整数，求$k$的值.
9. 已知关于$x$，$y$的二元一次方程组$\begin{cases}2x - 3y = -2, \\x - 2y = k\end{cases}$的解满足$x - y ＜0$.
（1）求$k$的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若不等式$(2k + 1)x ＜ 2k + 1$的解集为$x ＞ 1$，$k$为整数，求$k$的值.
答案
9. 解：(1) $\begin{cases}2x - 3y = -2, ①\\x - 2y = k, ②\end{cases}$
①$-$②，得$x-y=-2-k$。
因为$x-y＜0$，所以$-2-k＜0$。
解得$k＞-2$。
(2) 因为不等式$(2k+1)x＜2k+1$的解集为$x＞1$，所以$2k+1＜0$。
解得$k＜-\dfrac{1}{2}$。
所以$-2＜k＜-\dfrac{1}{2}$。
因为$k$为整数，所以$k$的值为$-1$。
①$-$②，得$x-y=-2-k$。
因为$x-y＜0$，所以$-2-k＜0$。
解得$k＞-2$。
(2) 因为不等式$(2k+1)x＜2k+1$的解集为$x＞1$，所以$2k+1＜0$。
解得$k＜-\dfrac{1}{2}$。
所以$-2＜k＜-\dfrac{1}{2}$。
因为$k$为整数，所以$k$的值为$-1$。
解析
【分析】
（1）第一问无需单独求解x、y的值，观察方程组两个方程的系数特点，直接用第一个方程减去第二个方程，即可得到x-y关于k的代数式，再结合已知x-y＜0的条件，列出关于k的一元一次不等式，解不等式就能得到k的取值范围。
（2）第二问根据不等式的性质：不等式两边同时除以同一个负数时，不等号方向会发生改变。已知不等式$(2k+1)x＜2k+1$的解集为$x＞1$，不等号方向改变，说明系数$2k+1$是负数，据此列出不等式求出k的范围，再结合第一问得到的k的取值范围，找出范围内的整数k即可。
【解析】
(1) 记方程组为$\begin{cases}2x - 3y = -2, ①\\x - 2y = k, ②\end{cases}$
用①$-$②，得$x-y=-2-k$。
因为$x-y＜0$，所以$-2-k＜0$，
解得$k＞-2$。
(2) 因为不等式$(2k+1)x＜2k+1$的解集为$x＞1$，不等号方向发生改变，
所以$2k+1＜0$，
解得$k＜-\dfrac{1}{2}$。
结合(1)的结论，可得$k$的取值范围为$-2＜k＜-\dfrac{1}{2}$，
又因为$k$为整数，所以$k$的值为$-1$。
【答案】
(1) $k＞-2$；(2) $k=-1$
【知识点】
二元一次方程组的运算，解一元一次不等式，不等式的性质
【点评】
本题是基础综合题，将二元一次方程组与一元一次不等式相结合，重点考查不等式性质的应用，解题时需注意不等式两边同时乘除同一个负数时，不等号方向要改变，侧重对基础运算能力的考查。
【难度系数】
0.7
（1）第一问无需单独求解x、y的值，观察方程组两个方程的系数特点，直接用第一个方程减去第二个方程，即可得到x-y关于k的代数式，再结合已知x-y＜0的条件，列出关于k的一元一次不等式，解不等式就能得到k的取值范围。
（2）第二问根据不等式的性质：不等式两边同时除以同一个负数时，不等号方向会发生改变。已知不等式$(2k+1)x＜2k+1$的解集为$x＞1$，不等号方向改变，说明系数$2k+1$是负数，据此列出不等式求出k的范围，再结合第一问得到的k的取值范围，找出范围内的整数k即可。
【解析】
(1) 记方程组为$\begin{cases}2x - 3y = -2, ①\\x - 2y = k, ②\end{cases}$
用①$-$②，得$x-y=-2-k$。
因为$x-y＜0$，所以$-2-k＜0$，
解得$k＞-2$。
(2) 因为不等式$(2k+1)x＜2k+1$的解集为$x＞1$，不等号方向发生改变，
所以$2k+1＜0$，
解得$k＜-\dfrac{1}{2}$。
结合(1)的结论，可得$k$的取值范围为$-2＜k＜-\dfrac{1}{2}$，
又因为$k$为整数，所以$k$的值为$-1$。
【答案】
(1) $k＞-2$；(2) $k=-1$
【知识点】
二元一次方程组的运算，解一元一次不等式，不等式的性质
【点评】
本题是基础综合题，将二元一次方程组与一元一次不等式相结合，重点考查不等式性质的应用，解题时需注意不等式两边同时乘除同一个负数时，不等号方向要改变，侧重对基础运算能力的考查。
【难度系数】
0.7
