1[2026江苏无锡调研]如图，$AP_1$为$△ ABC$的中线，$AP_2$为$△ AP_1C$的中线，$AP_3$为$△ AP_2C$的中线，…，按此规律，$AP_{n+1}$为$△ AP_nC$的中线.若$△ ABP_1$的面积为1，则$△ AP_nC$的面积为（）

A.$2^n$
B.$2^{-n}$
C.$2^{n-1}$
D.$2^{1-n}$

（第1题图）
（第2题图）

1. D 【解析】$\because AP_1$为$△ ABC$的中线，$△ ABP_1$的面积为$1$，$\therefore S_{△ AP_1C}=S_{△ AP_1B}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=1$。$\because AP_2$为$△ AP_1C$的中线，$S_{△ AP_1C}=1$，$\therefore S_{△ AP_2C}=\frac{1}{2}S_{△ AP_1C}=\frac{1}{2}×1=\frac{1}{2}$。$\because AP_3$为$△ AP_2C$的中线，$S_{△ AP_2C}=\frac{1}{2}$，$\therefore S_{△ AP_3C}=\frac{1}{2}S_{△ AP_2C}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}=\frac{1}{2^2}$，…，$\therefore S_{△ AP_nC}=\frac{1}{2^{n-1}}=\frac{1}{2^{-(1-n)}}=2^{1-n}$，故选D。

2[2026辽宁大连期末]如图,CD是△ABC的中线,BC=a,AC=b,a＞b,则△BCD的周长比△ACD的周长长（用含a,b的代数式表示）。

2. $a-b$ 【解析】$\because CD$是$△ ABC$的中线，$\therefore BD=AD$，则$△ BCD$的周长$-$$△ ACD$的周长$=(BC+CD+BD)-(AC+CD+AD)=BC-AC=a-b$，$\therefore △ BCD$的周长比$△ ACD$的周长长$a-b$，故答案为$a-b$。

3[2026江苏苏州期中]如图，BD是$△ ABC$的边AC上的中线，AE是$△ ABD$的边BD上的中线，BF是$△ ABE$的边AE上的中线，连接CE，CF。若$△ ABC$的面积是16，则阴影部分的面积是。

（第3题图）
（第4题图）

3. 6 【解析】$\because BD$是$△ ABC$的边$AC$上的中线，$\therefore S_{△ ABD}=S_{△ BCD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$。$\because AE$是$△ ABD$的边$BD$上的中线，$\therefore S_{△ ABE}=S_{△ ADE}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}=\frac{1}{4}S_{△ ABC}$，$E$是$BD$的中点，$\therefore S_{△ CDE}=\frac{1}{2}S_{△ BCD}=\frac{1}{4}S_{△ ABC}$，$\therefore S_{△ ACE}=S_{△ ADE}+S_{△ CDE}=\frac{1}{4}S_{△ ABC}+\frac{1}{4}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$。$\because BF$是$△ ABE$的边$AE$上的中线，$\therefore S_{△ BEF}=\frac{1}{2}S_{△ ABE}=\frac{1}{8}S_{△ ABC}$，$F$是$AE$的中点，$\therefore S_{△ CEF}=\frac{1}{2}S_{△ ACE}=\frac{1}{4}S_{△ ABC}$。$\because S_{△ ABC}=16$，$\therefore S_{\mathrm{阴影部分}}=S_{△ BEF}+S_{△ CEF}=\frac{1}{8}S_{△ ABC}+\frac{1}{4}S_{△ ABC}=\frac{3}{8}S_{△ ABC}=6$，故答案为6。

4[2026安徽合肥调研]如图所示，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABD的角平分线.若∠BAC=80°,则∠EAD的度数是 ()

A.20°
B.30°
C.45°
D.60°

4. A 【解析】$\because ∠ BAC=80°$，$AD$是$△ ABC$的角平分线，$\therefore ∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=40°$。$\because AE$是$△ ABD$的角平分线，$\therefore ∠ EAD=\frac{1}{2}∠ BAD=20°$，故选A。

5[2025辽宁沈阳期中]三角形的三条角平分线的交点一定在三角形的（）

A.内部
B.外部
C.一边上
D.不确定

5. A 【解析】如图，三角形的三条角平分线的交点一定在三角形的内部。故选A。

6[2026浙江嘉兴质检]如图，BD是△ABC的角平分线，DE//BC，交AB于点E.图中∠EBD与∠EDB有什么数量关系？为什么？

6. 【解】$∠ EBD = ∠ EDB$。理由如下：$\because BD$是$△ ABC$的角平分线，$\therefore ∠ CBD = ∠ EBD$。$\because DE// BC$，$\therefore ∠ CBD = ∠ EDB$，$\therefore ∠ EBD = ∠ EDB$。

7[2026河北唐山期中]如图,下面是三位同学的折纸示意图,则AD依次是△ABC的 ()


A.角平分线、高、中线
B.高、中线、角平分线
C.角平分线、中线、高
D.中线、角平分线、高

7. A 【解析】由题图(1)得$∠ BAD = ∠ CAD$，$\therefore AD$是$△ ABC$的角平分线。由题图(2)得$∠ ADB = ∠ ADB'$。$\because ∠ ADB + ∠ ADB' = 180°$，$\therefore 2∠ ADB = 180°$，$\therefore ∠ ADB = 90°$，$\therefore AD$是$△ ABC$的高。由题图(3)得$BD = CD$，$\therefore AD$是$△ ABC$的中线。故选A。

8[2025河南信阳质检]如图，在$△ ABC$中，$AD ⊥ BC$，$CE ⊥ AB$，垂足分别为点D和点E，AD与CE交于点O，连接BO并延长交AC于点F，若AB=5，BC=4，AC=6，则$CE:AD:BF=$。

8. $12:15:10$ 【解析】在$△ ABC$中，$AD ⊥ BC$，$CE ⊥ AB$，$AD$与$CE$交于点$O$，$BO$的延长线交$AC$于点$F$，$\therefore BF ⊥ AC$，$\therefore \frac{1}{2}AB× CE=\frac{1}{2}BC× AD=\frac{1}{2}AC× BF$。$\because AB=5$，$BC=4$，$AC=6$，$\therefore \frac{1}{2}×5× CE=\frac{1}{2}×4× AD=\frac{1}{2}×6× BF$，$\therefore CE:AD:BF=12:15:10$。故答案为$12:15:10$。

9[2026江苏徐州质检]如图,在$△ ABC$中,AD为BC边上的高,CE平分$∠ ACD$交AD于点E,$∠ BAC:∠ CAD=3:2,∠ DCE=35°$.
(1)求$∠ CAD$的度数;
(2)求$∠ B$的度数.

9. 【解】(1) $\because CE$平分$∠ ACD$，$\therefore ∠ DCA=2∠ DCE$。$\because ∠ DCE=35°$，$\therefore ∠ DCA=2×35°=70°$。$\because AD$为$BC$边上的高，$\therefore ∠ ADB=90°$，$\therefore ∠ CAD=90°-∠ DCA=20°$。
(2) $\because ∠ BAC:∠ CAD=3:2$，$∠ CAD=20°$，$\therefore ∠ BAC=30°$，$\therefore ∠ BAD=∠ BAC+∠ CAD=30°+20°=50°$，$\therefore ∠ B=90°-∠ BAD=90°-50°=40°$。