1[2025安徽淮北期中,中]在$△ ABC$中,AD为BC边上的中线,若$△ ABD$与$△ ADC$的周长差为5,$AC=8$,则AB的长为 ()

A.2
B.13
C.3或13
D.2或12

1. C 【解析】①当△ABD 的周长大于△ADC 的周长时,
∵ AD 为 BC 边上的中线,
∴ BD = CD,
∴ △ABD 与 △ADC 的周长差 = ( AB + AD + BD)-( AC + AD + CD ) = AB - AC.
∵ △ABD 与△ADC 的周长差为 5,AC=8,
∴ AB-8=5,解得 AB=13. ②当△ADC 的周长大于△ABD 的周长时,
∵ AD 为 BC 边上的中线,
∴ BD = CD,
∴ △ADC 与 △ABD 的周长差 = ( AC + AD + CD)-( AB + AD + BD ) = AC - AB.
∵ △ABD 与△ADC 的周长差为 5,AC=8,
∴ 8-AB=5,解得AB=3. 综上,AB=3 或 13,故选 C.

2[2025 山西大同期中,中]在等腰三角形ABC中,AB=AC,若中线BD将该三角形的周长分为5和3两个部分,则该等腰三角形的底边长为
()

A.$\frac{4}{3}$
B.4
C.$\frac{4}{3}$或4
D.$\frac{5}{3}$或4

2. A 【解析】设腰长 AB=AC=x,底边长 BC=y.
∵ BD 是中线,
∴ $AD=CD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}x$.
∵ 中线BD 将该三角形的周长分为 5 和 3 两个部分,
$\therefore \begin{cases} AB+AD=5, \\ BC+CD=3 \end{cases}或\begin{cases} AB+AD=3, \\ BC+CD=5, \end{cases}\therefore \begin{cases} x+\frac{1}{2}x=5, \\ y+\frac{1}{2}x=3 \end{cases}$
或$\begin{cases} x+\frac{1}{2}x=3, \\ y+\frac{1}{2}x=5, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=\frac{10}{3}, \\ y=\frac{4}{3} \end{cases}$或$\begin{cases} x=2, \\ y=4. \end{cases}$当等腰三角形 ABC 腰长为$\frac{10}{3}$,底边长为$\frac{4}{3}$时,$\frac{10}{3}+\frac{4}{3}＞$$\frac{10}{3}$,可以组成三角形;当等腰三角形 ABC 腰长为 2,底边长为 4 时,2+2=4,不可以组成三角形,
∴ 该等腰三角形的底边长为$\frac{4}{3}$,故选 A.

3[2025山东东营期中,中]如图,D,E,F分别是BC,AD,AC的中点,若阴影部分的面积为6,则△ABC的面积是()

A.12
B.14
C.15
D.16

3. D 【解析】
∵ D,E,F 分别是边 BC,AD,AC 上的中点,
∴ $S_{△ ABD}=S_{△ ADC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$,$S_{△ BDE}=$$\frac{1}{2}S_{△ ABD}$,$S_{△ ADF}=\frac{1}{2}S_{△ ADC}$,$S_{△ DEF}=\frac{1}{2}S_{△ ADF}$,
∴ $S_{△ BDE}=\frac{1}{4}S_{△ ABC}$,$S_{△ DEF}=\frac{1}{8}S_{△ ABC}$,
∴ $S_{阴影部分}=$$S_{△ BDE}+S_{△ DEF}=\frac{1}{4}S_{△ ABC}+\frac{1}{8}S_{△ ABC}=\frac{3}{8}S_{△ ABC}$,
∴ $S_{△ ABC}=\frac{8}{3}S_{阴影部分}=\frac{8}{3}×6=16$,故选 D.

4[2025辽宁鞍山质检,中]
如图,已知△ABC的面积为1,分别倍长(延长一倍)边AB,BC,CA得到$△A_{1}B_{1}C_{1},$再分别倍长边$A_{1}B_{1},B_{1}C_{1},C_{1}A_{1}$得到$△A_{2}B_{2}C_{2},…,$按此规律,倍长2024次后得到的$△A_{2024}B_{2024}C_{2024}$的面积为 ()

A.$7^{2024}$
B.$5^{2024}$
C.$6^{2023}$
D.$4^{2023}$

4. A 【解析】如图,连接 $AB_1,BC_1,CA_1$,根据等底同高的三角形面积相等,可得 $△ A_1BC$,$△ A_1B_1C,△ AB_1C,△ AB_1C_1$, $△ ABC_1$, $△ A_1BC_1$,$△ ABC$ 的面积都相等,
∴ $S_{△ A_1B_1C_1}=7S_{△ ABC}$,同理可得 $S_{△ A_2B_2C_2}=7S_{△ A_1B_1C_1}=7^2S_{△ ABC},\dots$,则 $S_{△ A_{2\ 024}B_{2\ 024}C_{2\ 024}}=7^{2\ 024}S_{△ ABC}$. $\because S_{△ ABC}=1$, $\therefore △ A_{2\ 024}B_{2\ 024}C_{2\ 024}$的面积为 $7^{2\ 024}$. 故选 A.

5 [2025 江西景德镇质检，中]如图，△ABC的三条中线AD，BE，CF交于点G. 若AG:GD=2:1，$S_{△ ABC}=12$，则图中阴影部分的面积为.

5. 4 【解析】
∵ AD 是△ABC 的中线,
∴ $S_{△ ABD}=S_{△ ACD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×12=6$.
∵ $AG:GD=2:1$,
∴ $S_{△ ABG}=\frac{2}{3}S_{△ ABD}=\frac{2}{3}×6=4$,$S_{△ AGC}=\frac{2}{3}S_{△ ACD}=$$\frac{2}{3}×6=4$. 又
∵ BE,CF 是△ABC 的中线,
∴ 点E,F 分别是 AC,AB 的中点,
∴ $S_{△ GFB}=\frac{1}{2}S_{△ ABG}=\frac{1}{2}×4=2$,$S_{△ GCE}=\frac{1}{2}S_{△ AGC}=\frac{1}{2}×4=2$,
∴ $S_{阴影}=S_{△ GFB}+S_{△ GCE}=2+2=4$. 故答案为 4.

6[2025广西南宁期中,中]我们发现,“用不同的方式表示同一图形的面积”可以解决求线段长度的有关问题,这种方法称为等积法.
(1)如图(1),△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的高,则$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=$.
(2)在(1)的条件下,若AC=3,BC=4,AB=5,用等积法求CD的长.
(3)如图(2),在等腰三角形ABC中,AB=AC=13,BC=10,过A作AH⊥BC于点H,且AH=12,P为底边BC上的任意一点,过点P作PM⊥AB,PN⊥AC,垂足分别为M,N,连接AP,利用$S_{△ ABC}=S_{△ ABP}+S_{△ ACP}$,求PM+PN的值.

6.【解】(1)$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC·BC=\frac{1}{2}AB·CD$. 故答案为$\frac{1}{2}AB·CD$.
(2)由(1)可得 $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC·BC=\frac{1}{2}AB·CD$,则$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5×CD$,解得 $CD=\frac{12}{5}$.
(3)
∵ $AH ⊥ BC,PM ⊥ AB,PN ⊥ AC$,$S_{△ ABC}=S_{△ ABP}+S_{△ ACP}$,
∴ $\frac{1}{2}BC·AH=\frac{1}{2}AB·PM+\frac{1}{2}AC·PN$,
∴ $\frac{1}{2}×10×12=\frac{1}{2}×13PM+\frac{1}{2}×13PN=\frac{1}{2}×13(PM+PN)$,
∴ $PM+PN=\frac{120}{13}$.

7[2025吉林松原质检,中]已知$△ ABC$的面积为24,AD是BC边上的高(点D不与点B重合),若$AD=4$,$CD=5$,则BD的长为 ()

A.1
B.1或11
C.7
D.7或17

7. D 【解析】当 AD 在△ABC 内部时,如图(1).
∵ △ABC 的面积为 24,AD 是 BC 边上的高,AD=4,CD=5,
∴ $\frac{1}{2}BC·AD=\frac{1}{2}(BD+CD)·AD=\frac{1}{2}(BD+5)×4=24$,
∴ BD=7.

当 AD 在△ABC 外部时,如图(2).
∵ △ABC 的面积为 24,AD 是 BC 边上的高,AD=4,CD=5,
∴ $\frac{1}{2}BC·AD=\frac{1}{2}BC×4=24$,
∴ BC=12,
∴ BD=BC+CD=12+5=17. 综上所述,BD 的长为 7 或 17,故选 D.